P? engelsk kaller man ofte den beboelige sonen for ?Goldilocks Zone?, oppkalt etter eventyret om Gullh?r og de tre bj?rnene. Gullh?r smaker p? tre sk?ler med gr?t og finner ut at hun liker best den som ikke er for varm eller for kald, men som har den helt riktige temperaturen. Det er akkurat dette den beboelige sonen er: Omr?det i solsystemet hvor vann ikke fryser til is eller fordamper til vanndamp, men har den helt riktige temperaturen til ? forekomme i flytende form. Vann i flytende form er nemlig hovedingrediensen til liv slik vi kjenner det, og en beboelig planet m? dermed ha en overflatetemperatur et sted mellom null og hundre grader celsius (omtrent). Oppgaven v?r n? er alts? ? finne et omr?de i solsystemet hvor overflatetemperaturen til en planet vil v?re et sted mellom null og hundre grader celsius.
Som vi allerede vet er det den elektromagnetiske str?lingen fra solen som er varmekilden i et solsystem. Derfor kan det v?re fornuftig ? sette seg ned og studere nettopp dette for ? forst? hvordan temperaturen er fordelt i solsystemet. Fra fysikken p? videreg?ende husker vi at solen er et s?kalt sort legeme: Et legeme som absorberer all str?lingen den mottar. Siden legemet har en varme, vil den fortsatt str?le ut. Denne str?lingen vil v?re fordelt over alle mulige frekvenser. For at vi skal forst? relasjonen mellom legemets varme og str?ling m? vi g? inn p? et felt som Peder og jeg ikke kan s? mye om: Kvantefysikk. Noe av det lille vi vet om dette er at intensiteten \(B\) til str?lingen er avhengig av frekvensen \(\nu\):
\(B(\nu) = \frac{2hv^3}{c^2}\frac{1}{e^{hv/(kT)}-1}\)
Dette kalles for Plancks str?lingslov. Insensiteten er en av flere faktorer som bestemmer hvor mye av energien fra str?lingen som blir mottatt av et legeme. De andre faktorene er tid, frekvens, areal, romvinkel og vinkel i forhold til str?lingen. Det kan h?res litt abstrakt ut, men hvis du vet hvordan man bruker et speilreflekskamera har du et godt utgangspunkt for ? forst? det.
Tenk deg at du g?r tur ute en vakker h?stkveld og legger merke til at m?nen ser ekstra stor og gul ut. Du bestemmer deg for ? ta et bilde med speilreflekskameraet ditt. Det viser seg at m?nen blir alt for m?rk p? bildet, s? du setter deg ned for ? justere innstillingene til kameraet. Er du st?dig p? h?nden, s? vet du at det hjelper ? ?ke lukkertiden til kameraet: Siden lukkeren tar inn lys over en lengre tid, vil det bli eksponert for mer lys. Du kan ogs? ?ke st?rrelsen p? blender-?pningen slik at enda mer lys slipper inn. Resultatet blir kjempeflott! M?nen ser akkurat like stor og gul ut som i virkeligheten, med alle stjernene i bakgrunnen. Dette demonstrerer at energien mottatt er avhengig av tid og areal. Men hvorfor ser m?nen s? gul ut? Jo, som vi husker fra Plancks lov er intensiteten avhengig av b?lgelengde. Str?lingen m? v?re mest intenst for det gule lyset, slik at vi oppfatter m?nen som gul.
Hva med dette mystiske begrepet romvinkel? En romvinkel er nesten som en vinkel, bare i tre dimensjoner. Den er relatert til en kule istedenfor en sirkel, slik en vanlig vinkel er. Vi husker at vinkelen i en sirkel m?lt i radianer er buelengden som blir utspent av vinkelen. Tilsvarende er romvinkelen m?lt i enheten steradianer, og er definert som arealet p? kuleflaten som blir utspent av romvinkelen.
Str?lingen fra m?nen blir sendt ut i alle retninger, og utspenner dermed et slags kuleskall. Arealet til blender?pningen vil utgj?re en liten del av dette kuleskallet, som da vil v?re romvinkelen til str?lingen mellom m?nen og oss. Dette forklarer hvorfor m?nen er s? tydelig i forhold til stjernene i bakgrunnen. Selv om stjernene er langt mer lyssterke, er de s? langt unna at kuleskallet utspent av str?lingen blir veldig stort og arealet til blenderen utgj?r en forsvinnende liten andel av kuleskallet. Romvinkelen til str?lingen mellom stjernen og oss blir langt mindre enn for str?lingen fra m?nen.
Energien vi mottar vil kun v?re fra det arealet som st?r vinkelrett fra str?lingen. Derfor vil vinkelen vi har i forhold til str?lingen ogs? spille en rolle for hvor mye energi som blir mottatt i kameralinsen v?r. Dermed kan vi skrive energien mottatt som
\(dE = B(\nu)\cos{\theta} \, d\nu \, dA \, d\Omega \, dt\)
N? er vi p? riktig spor. Vi har en forst?else for hvordan energi mottatt fra str?lingen avhenger av ulike st?rrelser, og er klar til ? anvende det for ? finne overflatetemperaturen til et sort legeme. For ? gj?re dette m? vi beregne fluksen fra legemet, det vil si energien som str?ler ut per areal per tid:
\(F = \frac{dE}{dAdt}\)
Dersom vi bruker uttrykket vi tidligere fant for \(dE\), f?r vi f?lgende integral for fluksen:
\(F = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{4\pi} B(\nu) \cos{\theta} \, d\Omega \, d\nu\)
Dette integralet ser vanskelig ut. Og det er det. Etter en stor mengde arbeid der vi m?tte innom b?de gammafunksjonen \(\Gamma(z)\) og Riemanns zeta-funksjon \(\zeta(s)\) kom vi frem til f?lgende resultat:
\(F = \frac{2\pi^5k^4}{15h^3c^2}T^4\)
Merk at alt som st?r i br?ken her er konstanter. Vi d?per denne br?ken \(\sigma\) og st?r alts? igjen med f?lgende uttrykk:
\(F = \sigma T^4\)
Og der har vi akkurat det vi ?nsket! Vi har funnet en relasjon mellom energien (her representert ved fluks) og temperaturen til et sort legeme. N? er det bare ? sette i gang med ? finne temperaturfordelingen i solsystemet v?rt ved hjelp av denne relasjonen. F?rst m? vi definere én st?rrelse til: luminositet:
\(L = \frac{dE}{dt}\)
Vi ser at luminositeten er, i motsetning til fluksen, uavhengig av arealet vi mottar den p?. Luminositeten kan dermed anses for ? v?re hvor lys en stjerne "egentlig" er, slik vi ville sett den hvis vi stod n?rt den. Fluksen er relatert til luminositeten gjennom arealet til kuleskallet p? randen til stjernen:
\(L = \int_A F \, dA\)
Her betyr A at vi skal integrere fluksen over hele arealet til stjernen. For at vi skal finne temperaturfordelingen i solsystemet m? vi sjonglere frem og tilbake mellom fluks og luminositet ved hjelp av denne relasjonen. Spenn fast setebeltet og f?lg n?ye med.
F?rst kan vi bruke relasjonen direkte og regne ut luminositeten fra stjernens overflate. Det blir rett og slett fluksen fra et sort legeme ganget med overflatearealet til stjernen (husk at overflatearealet \(A = 4 \pi r^2\) for en kule med radius \(r\)):
\(L_* = \sigma T_*^4 4 \pi R_*^2\)
der \(T_*\) er overflatetemperaturen til stjernen og \(R_*\) er stjernens radius. N? skal vi flytte oss til en avstand \(r\) fra stjernen og se hvor mye fluks vi mottar fra stjernen. Da m? vi igjen bruke relasjonen mellom luminositeten og fluksen. Fluksen mottatt blir stjernens luminositet delt p? arealet til kuleskallet utspent av radien \(r\):
\(F_{mottatt} = \frac{L_*}{4 \pi r^2} = \frac{\sigma T_*^4 R_*^2}{r^2}\)
N? er vi nesten helt i m?l. Siden uttrykket for fluksen gjelder i en vilk?rlig avstand \(r\) kan vi bruke dette til ? finne energien mottatt per tid p? en vilk?rlig planet. Som vi s? n?r vi holdt p? med Plancks str?lingslov tidligere, er det kun str?lingen som treffer vinkelrett p? planetens overflate som bidrar til den mottatte energien. Bruker vi areal-relasjonen nok en gang, kan vi finne str?lingens effekt p? planeten med radius \(R_p\):
\(P = \frac{dE}{dt} = F_{mottatt} \cdot \pi R_p^2 = \frac{\pi \sigma T_*^4 R_*^2 R_p^2}{r^2}\)
der \(r\) er planetens avstand fra stjernen. Dersom vi antar at planeten er et sort legeme, kan vi g? tilbake til formelen vi fant for fluksen fra et sort legeme for ? finne overflatetemperaturen til planeten. Siden planeten str?ler ut i alle retninger, vil fluksen fra planeten v?re effekten vi fant delt p? overflatearealet til planeten:
\(F_{p} = \frac{P}{4 \pi R_p^2} = \frac{\sigma T_*^4 R_*^2}{4r^2}\)
N? er det bare ? sette inn i formelen for fluksen fra et sort legeme, s? finner vi planetens overflatetemperatur \(T_p\):
\(\frac{\sigma T_*^4 R_*^2}{4r^2} = \sigma T_p^4\)
\(T_p = \sqrt[4]{\frac{T_*^4 R_*^2}{4r^2}} = \sqrt{\frac{R_*}{2r}}T_*\)
Og der har vi det vi ?nsket! Siden vi allerede har beregnet planetbanene i solsystemet v?rt, kan vi bruke dette til ? kartlegge n?yaktig hvor i solsystemet den beboelige sonen er. Ved hjelp av datamaskinen v?r kan vi beregne ved hvilken avstand \(r\) temperaturen er slik at vann kan forekomme i flytende form. Gjennom data vi har mottatt fra Michelle vet vi at stjernens radius \(R_*\) og overflatetemperatur \(T_*\) er
\(T_* = 6470.54 \text{ K}, \ R_* = 583993.29 \text{ km}\)
Vann kan forekomme i flytende form ved temperaturer mellom 260 K og 390 K avhengig av planetens trykk. Bruker vi dette, f?r vi at den beboelige sonen i solsystemet v?rt blir det gr?nne omr?det i plottet av planetbanene:
Og der var vi endelig i m?l. Dersom vi har lyst til ? flytte inn i dette solsystemet m? det bli til en av planetene innenfor det gr?nne omr?det. Peder og jeg tror det er en god idé ? sende Michelle til en av disse planetene, men f?r vi kan bestemme oss helt m? vi ta en n?rmere titt p? planetene. F?lg med i neste innlegg!
PS: Det ble veldig mye regning i dette innlegget. Hvis du fulgte n?ye med, la du kanskje merke til at arealet til et kuleskall gikk mye igjen. Slik er det ikke bare n?r man sjonglerer mellom fluks og luminositet. Det g?r faktisk igjen i sv?rt mange omr?der i fysikken. Ta for eksempel Newtons gravitasjonslov:
\(F = \frac{GmM}{r^2}\)
eller Coulombs lov for kraften mellom elektriske ladninger:
\(F = \frac{1}{\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{4 \pi r^2}\)
Begge disse er omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden \(r\). Dette skjer av samme ?rsak som med fluksen til str?lingen fra stjernen: Kraften virker i alle retninger i rommet, og fordeler seg over et kuleskall utspent av avstanden \(r\) som har et overflateareal \(A = 4 \pi r^2\).
Logg inn for ? kommentere