N?r NASA sendte oss hit med utstyret var sonden Michelle allerede innstilt p? ? gj?re bestemte ting. Deriblant skulle hun sende oss data som vi kan bruke til ? finne ut hvor mange planeter vi har i solsystemet v?rt, hvordan planetbanene ser ut og hvordan de beveger seg ved et hvilket som helst tidspunkt. Dette er hva hun har sendt oss:
Vi har alts? syv planeter i solsystemet v?rt, nesten som hjemme. N? gjelder det ? finne ut hvordan vi kan bruke resten av dataene til ? bestemme planetbanene og bevegelsen til planeten. Det gir mening at vi trenger startposisjon og starthastighet til ? beregne bevegelsen til planetene. Men hva med lengste halvakse og eksentrisitet? Hva er det, og hva skal vi med det? Begge deler har noe med ellipser ? gj?re. En ellipse ligner p? en sirkel. Husk at en sirkel er gitt ved likningen:
\(x^2 + y^2 = r^2\)
der r er radiusen til sirkelen. Ellipsen har en tilsvarende likning:
\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)
Her er a lengste halvakse og b korteste halvakse. Disse faktorene f?rer til at ellipsen blir nesten som en sirkel, bare utstrukket:
Som vist p? figuren er lengste og korteste halvakse akkurat det de h?res ut som, nemlig den lengste og korteste avstanden fra sentrum ut til ellipsens kurve. Eksentrisiteten forteller oss hvor mye ellipsen er utstrukket:
\(e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
Hvis b = a er ellipsen en sirkel med radius r = a = b. Da ser vi at eksentrisiteten blir 0. Jo st?rre a er i forhold til b, jo st?rre blir eksentrisiteten. l. Med andre ord: jo h?yere eksentrisiteten er, jo mer utstrukket er ellipsen.
Greit, n? har vi definert et par st?rrelser som har noe med ellipser ? gj?re. Men hva skal vi med dette? Peder og jeg husker ? ha l?rt litt om Keplers lover, og har en liten anelse om at disse kan v?re nyttige n?r vi skal bestemme planetbanene. Lovene er som f?lger:
- Planetenes baner er elliptiske med solen i ett av sine brennpunkter.
- En linje mellom solen og planeten sveiper ut like arealer over like tidsintervaller.
- Banens periode rundt solen og den lengste halvaksen er relatert gjennom P2 = a3.
Keplers f?rste lov forteller oss alts? at planetenes baner er elliptiske. Dermed kan vi bruke
det vi kan om ellipser til ? tegne planetbanene. Men f?rst m? vi gj?re en liten endring p? ellipse-likningen v?r: vi m? skrive den om til polarkoordinater. Da f?r likningen formen:
\(r = \frac{a(1-e^2)}{1+e \, cosf}\)
Her er r avstanden til et av fokuspunktene og f vinkelen til planeten i forhold til lengste halvakse. I l?pet av ett oml?p vil en planet g? fra 0 til 2π radianer. Siden Michelle har gitt oss data som forteller st?rrelsene til a og e for alle planetene har vi alt vi trenger for ? plotte banene deres. Med denne likningen tar vi utgangspunkt i at stjernen v?r befinner seg i origo. Da blir det slik:
Dette ser jo riktig ut; banene ser ut som ellipser, akkurat som Keplers f?rste lov fortalte oss. Alt vi trengte for ? finne planetbanene var alts? eksentrisiteten og lengste halvakse for hver planet. Men hva var da vitsen med at Michelle sendte startposisjon og starthastighet til oss?
Her er det en liten ting vi har glemt av. Formelen vi nettopp brukte forteller oss bare hvor planetene befinner seg ved en vinkel f i forhold til lengste halvakse. Den har ikke tid som en av variablene sine. Vi vet alts? ingenting om n?r planeten vil befinne seg p? de ulike punktene i banen. Det hadde jo v?rt praktisk ? vite, n?r vi ser opp p? himmelen vil vi jo gjerne vite hvor vi skal se etter planetene! Vi m? finne en m?te ? beregne posisjonen til planetene ved et bestemt tidspunkt istedenfor ved en bestemt vinkel.
Det ser ut til at vi m? starte helt p? nytt igjen. Heldigvis vet vi hvor vi skal starte: v?r gamle venn Newton kunne visst ett og annet om tyngdekraft. Han oppfant Newtons gravitasjonslov, som ser slik ut:
\(\vec{F} = -\frac{GmM}{r^2}\hat{r}\)
Der m og M er massen til legemene som virker p? hverandre og r er avstanden mellom planetene. Merk at symbolet \(\hat{r}\) er en enhetsvektor i radiell retning mellom planetene. Det betyr rett og slett at gravitasjonskraftens retning er mot legemet som virker med en kraft. At det er en enhetsvektor betyr at den har lengde 1. Hvis vi kjenner retningsvektoren kan vi dermed regne ut enhetsvektoren med
\(\hat{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} = \frac{\vec{r}}{r}\)
Setter vi dette inn i Newtons gravitasjonslov, f?r vi
\(\vec{F} = -\frac{GmM}{r^3}\vec{r}\)
Hvis vi ser p? en planet med masse m som g?r i bane rundt en stjerne med masse M kan vi bruke Newtons andre lov til ? sette opp at kraften som virker p? planeten er
\(\vec{F} = m\vec{a} = -\frac{GmM}{r^3}\vec{r}\)
som gir at akselerasjonen p? planeten er
\(\vec{a} = -\frac{GM}{r^3}\vec{r}\)
Vi ser at akselerasjonen er avhengig av posisjon. Siden planeten hele tiden flytter p? seg vil alts? akselerasjonen hele tiden endre p? seg. Derfor blir det vanskelig ? l?se likningen med penn og papir. Nok en gang m? vi ta frem datamaskinen v?r.
Situasjonen vi befinner oss i ligner veldig p? da vi skulle regne ut bevegelsen til Michelle under oppskytningen fra Domum i forrige uke. Da er det rimelig ? tro at vi kan bruke samme metode igjen. Det vil si at vi kan ta tiden vi skal simulere planeten og dele opp i bittesm? tidsintervaller Δt. For hvert tidsintervall kan vi regne ut akselerasjonen. Da blir endringen i hastighet lik akselerasjonen ganget med Δt, og endring i posisjon blir hastigheten ganget med Δt. Gjentar vi dette i alle tidsintervall Δt, f?r vi ut posisjonen til planeten i ethvert tidspunkt.
Peder og jeg har satt oss ned og f?tt datamaskinen til ? gj?re beregningene for oss. For ? verifisere resultatene v?re kan vi plotte posisjonene til alle planetene sammen med plottet vi hadde av den analytiske l?sningen vi tidligere fant ved hjelp av Keplers lover. Da blir det slik:
I det store bildet ser beregningene vi gjorde ut til ? stemme veldig godt. Men hvis vi tar en n?rmere titt, s? ser vi at banene vi f?r ved ? bruke Newtons gravitasjonslov ikke blir det samme for hvert oml?p:
Dette betyr ikke at vi har motbevist Newton og hans gravitasjonslov. Det er nok vi selv som har gjort noen sm? feil i beregningene v?re. Metoden vi har brukt har nemlig noen begrensninger siden vi har delt tiden opp i intervallene Δt, som f?rer til at datamaskinen gj?r noen bittesm? feil i hvert intervall. N?r vi simulerer planetene v?re i flere ?r blir det fort noen meter forskjell fra tidligere ?r. Vi kunne gjort Δt enda mindre for ? f? mer presise resultater, men da m?tte vi hatt litt mer tid p? oss eller en kraftigere datamaskin.
Men s? flott, da kan vi jo si at beregningene v?re stemmer! Eller?
Som de gode forskerne Peder og jeg er, trekker vi ikke konklusjoner s? fort. Vi m? nok g? dypere inn i beregningene v?re enn som s?. Dette f?r vi utsette inntil videre, for n? er vi ganske slitne. F?lg med p? bloggen!
Logg inn for ? kommentere