N? skal vi se p? hvilke termodynamiske og andre effekter som finner sted inne i Trulte, vi skal se p? trykk, hydrostatisk likevekt og veldig h?ye temperaturer.
Vi begynner f?rst med ? lage en masseprofil av stjernen v?r, og en masseprofil det er ganske enkelt en matematisk funksjon som beskriver massen til stjernen innenfor et kuleskall om senteret som en funksjon av radiusen i dette kuleskallet. Vi vet at stjerner er runde s? vi tenker at dette burde v?re en funksjon som involverer formelen for volum av en kule. S? vi kan vel si at massen vil v?re gitt ved tettheten til stjernen ganget volumet til en kule en viss avstand fra senter av stjernen. S? da f?r vi f?lgende uttrykk: \(M(r) = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho_0 \) her er \(\rho_0\) den gjennomsnittlig tettheten til stjernen og gitt ved massen til stjernen delt p? volumet.
Det neste vi skal gj?re er ? se p? er hydrostatisk likevekt fordi vi ?nsker ? finne et uttrykk for temperaturen til stjernen som en funksjon av radiusen s? vi ser p?: \(\frac{d}{dr} P(r) = -\rho g \) Hydrostatisk likevekt for stjerner er n?r trykket fra str?lingen i kjernen er lik trykket fra tyngdekraften, alts? presset innover er lik presset utover.
her har vi igjen en tetthet som varierer over tid og vi har igjen tyngdeaksellerasjonen g. Formelen over er for hydrostatisk likevekt og den sier at den deriverte av trykket med hensyn p? radiusen er lik den negative tettheten ganget med tyngdeaksellerasjonen.
kilde: http://large.stanford.edu/courses/2011/ph241/olson1/
Men s? har vi ogs? en sammenheng fra termodynamikken om ideelle gasser som tillater oss ? finne et uttrykk for P som vi kan sette inn p? venstre side av likningen, vi har da at\(P=\frac{\rho k T}{\mu m_H}\) . S? da f?r vi:
\(\frac{d}{dr} \frac{\rho k T(r)}{\mu m_H} = -\rho g \)
Da m? s? finne et uttrykk for g og da setter vi inn \(g = \frac{GM(r)}{r^2}\) som vi har fra newtons lover.
Videre:
\(\frac{d}{dr} \frac{\rho k T(r)}{\mu m_H} = -\frac{\rho G M(r)}{r^2} \)
\(\frac{d}{dr} T(r) = -\frac{G M(r) \mu m_H}{k r^2} = -\frac{4\pi}{3} \cdot G \cdot \rho \cdot\frac{\mu m_H}{k} r \)
Vi setter inn for M(r) og f?r da et uttrykk vi kan integrere opp mellom r = 0 og til r = R for hele radiusen til stjernen og p? den m?ten finne en funksjon som beskriver temperaturen til stjernen som en funksjon av radiusen fra sentrum. Vi integrerer opp og finner at
\(T(r) = \int \limits_{0}^{R} -\frac{4\pi}{3} \cdot G \cdot \rho \cdot\frac{\mu m_H}{k} r dr \)
Vi integrerer da dette uttrykket mellom 0 og R, her blir T(R) = overflatetemperaturen og T(0) blir kjernetemperaturen. S? da har vi videre:
\(T(R) -T(0) = -\frac{2\pi}{3} \cdot G \cdot \rho \cdot\frac{\mu m_H}{k} R^2\)
\(T(0) = T_c\) kjernetemperaturen
\(T_c= T(R) + \frac{2\pi}{3} \cdot G \cdot \rho \cdot\frac{\mu m_H}{k} R^2 = 12.9\cdot 10^{6} K \)
S? da vet vi kjernetemperaturen til stjernen v?r, dette kommer til ? v?re nyttig senere n?r vi skal pr?ve ? modellere og se p? de forskjellige kjernereaksjonene. De er jo avhengige av temperaturen. S? da har vi klart ? komme frem til et uttrykk for temperatur ved ? anta hydrostatisk likevekt og ideell gass og satt disse uttrykkene opp mot hverandre.
S? er denne temperaturen i det hele tatt fornuftig? Burde ikke temperaturen v?re mye h?yere? For hvis vi sammenligner igjen med noe vi kjenner godt s? vet vi at sola til Tellus har en kjerne temperatur p? omtrentlig 15 millioner grader kelvin. S? siden vi har en st?rre og tyngre stjerne burde ikke den ha en varmere kjerne? Vi har jo definitivt en varmere overflate den er jo faktisk nesten 50% st?rre s? burde ikke kjernen f?lge etter? Jo den burde egentlig det, stjerner m? oppn? hydrostatisk likevekt alts? m? trykket ut v?re lik tyngdekraften, og tyngdekraften blir st?rre jo st?rre stjernen er, s? da m? jo trykket ut og temperaturen f?lge etter, men vi har jo antatt en konstant massetetthet som ikke stemmer s? vi vet jo at vi f?r feil. Vi burde vel egentlig f? noe omtrent 17-20 millioner grader kelvin. S? da har vi sett litt p? hva slags feil man f?r n?r man gj?r antakelser og vi har f?tt oss en direkte l?repenge for hvilke feil vi f?r n?r vi gj?r noe som ikke er riktig.
S? da sees vi p? neste.
-LSE Marius
Logg inn for ? kommentere