M?let er ? kunne si hvor alle planetene i Solsystemet kommer til ? v?re for et hvilket som helst tidspunkt. Vi begynte med ? f? tak i m?linger av posisjon og hastighet til alle planetene for ett bestemt tidspunkt. Siden planetene kun blir p?virket an gravitasjonskraften, kan man da, ved ? regne ut denne, finne bevegelsene til alle planetene.
I praksis m? vi igjen gj?re noen forenklinger. For det f?rste antar vi at alle planetene beveger seg i samme plan, s? vi kan begrense beregningene til to dimensjoner. Siden massen til stjernen er mye st?rre enn massen til noe annet i Solsystemet, ser vi bort fra tyngdekraften mellom planetene, kraften fra planetene p? stjernen, og alle andre objekter i Solsystemet, som m?ner og asteroider. Vi ser ogs? bort fra b?de generell og spesiell relativitetsteori, da effekten, selv om den er m?lbar, ikke har stor p?virkning.
Posisjonen til planetene er kontinuerlig, men det g?r ikke an ? regne den ut for et uendelig antall tidspunkt. L?sningen er ? velge et tidssteg, det vil si et fast tidsintervall mellom hver utregnete posisjon. For hvert tidssteg regner vi ut posisjon og hastighet basert p? posisjon og hastighet tidssteget f?r. Det er flere metoder ? gj?re dette p?, alle med sine fordeler og ulemper. Vi brukte den s?kalte 'leapfrog-metoden', som har den fordel at energi er bevart. I denne situasjonen betyr det at planetene beveger seg i stabile baner. Andre metoder er mer presise, men hvis feilen alltid er samme vei – det vil si alltid litt for stor eller alltid litt for liten – vil planeten g? i spiral utover i solsystemet, eller falle i spiral inn mot stjernen.
Vi definerte et koordinatsystem med stjernen i origo og Hjemplaneten p? \(x\)-aksen, og lagde en funksjon \(g(x,y) = -G\frac{m_*}{x^2+y^2}\)for akselerasjonen fra gravitasjonskraften. Gravitasjonskraften, og dermed akselerasjonen, peker alltid inn mot stjernen. S? var det ? velge et tidssteg. Hvis det er for stort vil resultatet bli feil, men jo mindre det er jo lenger til tar det ? regne ut alt. Vi testet tre kriterier for ? finne lite nok tidssteg: de simulerte banene m? stemme med de vi regnet ut tidligere (se forrige bloggpost), de m? stemme med observasjoner av planetene, og de m? ikke v?re betydelig forskjellige fra det vi ville f?tt med et litt mindre tidssteg. Vi fant at et tidssteg p? \(10^{-5}\)?r, eller ca. 5,26 min, var passe.
.png)
Figur 1 viser planetbanene simulert for tre ?r fram i tid. De gule banene er de vi regnet ut tidligere, og som dere kan se stemmer de nesten perfekt med de simulerte. I figur 2 simulerte vi for én rotasjon til Hjemplaneten, og det gir et godt bilde p? hvor fort planetene beveger seg. Vi sammenliknet simuleringene med observasjoner gjort over et helt ?r, og det st?rste avviket er p? 0,0447%, for Hjemplaneten. Siden den er n?rmest stjernen og g?r raskest rundt er det naturlig at det st?rste avviket blir her, og 0,0447% er godt innenfor feilmarginen p? 1% som er n?dvendig n?r vi skal planlegge reisen til raketten.