Vi har to satellitter i sirkelbane langs ekvator, \(9\ 745{,}643\text{ km}\) fra sentrum av planeten og med en hastighet p? \(3{,}119733\text{ km/s}\). Satellittene sender signaler ned til overflaten med sin egen posisjon og tid da signalet ble sendt.
Vi mottar f?rste signal ved tid \( t = 12{,}2753835\text{ s}?? \) m?lt p? overflaten. Signalene er:\(\begin{align} \text{Sat}_1 &: t = 12{,}2389560\text{ s} & &r=(-1\ 061{,}638{\bf,} -9\ 687{,}646)\text{ km} \\ \text{Sat}_2 &: t = 12{,}2338324\text{ s} & &r=(\?\?\? 3\ 924{,}418{\bf,} -8\ 920{,}566)\text{ km} \end{align}\)
Vi begynte med ? se p? situasjonen uten ? ta hensyn til relativitet. Vi kjenner avstandene fra sentrum av planeten til b?de satellittene og mottakeren p? overflaten – den siste er \(3\,845{,}9707459\text{ km}\) – og vi kan finne avstanden fra mottakeren til satellittene ved \(|r_\text{sat} - r| = c\Delta t\), der \(\Delta t\) er tiden fra signalet ble sendt til vi mottok det, og \(c\) er lysets hastighet i vakuum – lyset g?r litt saktere i atmosf?ren, men det er neglisjerbart. Herfra er det to m?ter ? finne posisjonen p?. Vi kan finne vinklene \(\alpha_1\) og \(\alpha_2\), eller vi kan bruke trilaterasjon.
Man skulle forvente at metodene ga samme svar, men det viste seg ? v?re betydelige avvik mellom dem. Den beste forklaringen vi har kommet fram til er at det er en feil p? utstyret. Vi ble n?dt til ? velge én av metodene, helst den der en feil sl?r minst ut p? sluttresultatet. Siden er liten feil i vinkelen vil gi en stor feil i posisjonen (1° tilsvarer ca. \(67\text{?m}\) p? overflaten) valgte vi ? bruke trilaterasjon i resten av eksperimentet.
\(\begin{cases} \mathsf{posisjon\ funnet\ med\ trilaterasjon\ :} &(-3\,739{,}264\,,\, ? 899{,}698\,) \text{ km}\\ \end{cases}\)
S? tok vi med relativitetsteori. Her m? det tas hensyn til b?de gravitasjonelle og spesielle relativistiske effekter. Klokkene p? satellittene g?r med et annet tempo enn klokken p? overflaten, s? for ? finne riktig avstand mellom mottakeren og satellittene m? vi finne tidspunktene n?r signalene ble sendt m?lt p? med mottakerens klokke.
Vi vet at klokkene var synkroniserte ved tid \(t = 0\), og at begge m?ler egentid i sitt system. Vi relaterer begge systemene til den samme langt-vekk-observat?ren, som m?ler tidromsavstander \(\Delta s_\text{p}\) for mottakeren og \(\Delta s_\text{sat}\) for en satellitt over en tid \(\Delta t\). Vi f?r
\(\begin{align} \Delta\tau_\text{p}^2 &= \Delta s^2_\text{p} = \left(1-\frac{2M}{r_\text{p}}\right)\Delta t^2 - r_\text{p}^2\Delta\phi_\text{p}^2 & &\Rightarrow \frac{\Delta\tau_\text{p}^2}{\Delta t^2} = 1-\frac{2M}{r_\text{p}} - v_{\phi,\text{p}}^2\\ \Delta\tau_\text{sat}^2?&= \Delta s_\text{sat}^2 = \left(1-\frac{2M}{r_\text{sat}}\right)\Delta t^2 - r_\text{sat}^2\Delta\phi_\text{sat}^2 & &\Rightarrow \frac{\Delta\tau_\text{sat}^2}{\Delta t^2} = 1-\frac{2M}{r_\text{sat}} - v_{\phi,\text{sat}}^2 \end{align}\)
Vi har alts? uttrykk for forholdet mellom egentiden og tiden m?lt av langt-vekk-observat?ren. Leddet \(\frac{2M}{r}\) gir effekten fra gravitasjonsfeltet, og leddet \(v^2_\phi\) gir effekten fra spesiell relativitet. Siden tiden \(\Delta t\) er m?lt av langt-vekk-observat?ren er den det samme i begge uttrykkene, s? vi f?r \(\frac{\Delta\tau_\text{p}^2}{\Delta\tau_\text{sat}^2} = \frac{ 1-\frac{2M}{r_\text{p}}-v_{\phi,\text{p}}^2 } {1-\frac{2M}{r_\text{sat}}-v_{\phi,\text{sat}}^2}\). Her er alle verdiene gitt i naturlige enheter.
Tiden vi f?r i signalet til satellitten tilsvarer \(\Delta\tau_\text{sat}\), s? vi kan n? finne tiden \(\Delta\tau_\text{p}\) som hadde g?tt p? planeten da signalet ble sendt. Vi beregner s? tiden fra signalet ble sendt til signalet ble mottatt i mottakerens system, og bruker den til ? beregne posisjonen. For det f?rste signalsettet er forskjellen i tid mellom de to systemene p? under \(2\text{?ns}\), og posisjonene er like til meteren.
Forskjellen i de to systemene kommer av at tiden g?r saktere p? overflaten enn i bane, og tidsdilatasjon fra hastigheten til satellittene er alt for liten til ? veie opp for det. Det betyr at jo lenger tid som har g?tt siden klokkene ble synkronisert, jo st?rre vil tidsforskjellen – og dermed posisjonsavviket – bli. N?r vi gj?r de samme beregningene p? et senere tidspunkt forventer vi alts? at det er stor forskjell mellom posisjonene beregnet med og uten relativitetsteori.
Vi mottar det siste signalet ved tid \(t = 12\ 250{,}8326834\text{ s}\) m?lt p? overflaten. Signalene er:\(\begin{align} \text{Sat}_1 &: t = 12\ 250{,}791136\text{ s} & &r=(7\ 552{,}703{\bf,\ } 6\ 159{,}077)\text{ km} \\ \text{Sat}_2 &: t = 12\?250{,}792572\text{ s} & &r=(3\ 461{,}295{\bf,\ } 9\ 110{,}269)\text{ km} \end{align}\)
Vi beregnet posisjonen til mottakeren p? nytt, b?de med og uten relativistiske effekter, og som forventet vikk vi en mye st?rre forskjell. Tidsforskjellen mellom de to systemene er omtrent \(1000\) ganger st?rre en ved den f?rste m?lingen, og vi v?r betydelige avvik i posisjonen.
\(\begin{align} \mathsf{uten\ relativitet}\; &(-3\,618{,}256\, , \,1\,002{,}494\,)\text{ km} \\ \mathsf{med\ relativitet}\; &(-3\,618{,}654\, , \,1\,034{,}651\,)\text{?km} \end{align}\)
Her ser man at posisjonen blir feil med flere hundre meter hvis man ikke tar hensyn til relativistisk effekter. Og dette er etter kun litt under 3,5 timer, s? det er ?penbart at GPS hadde v?rt helt ubrukelig hvis man ikke hadde tatt med p?virkningen fra relativitetsteori.