Kepler var en smart and?!

Hallo venner?! 

N? som vi har simulert banene til planetene v?re er vi n?dt til ? forsikre oss om at resultatene v?re stemmer?! Vi har allerede sett litt p? de, men for ? v?re s? sikre som vi kan bli, kan vi bruke Keplers lover?! 

Men hvem s?ren er Kepler???

Johannes Kepler var en Tysk astronom og matematiker som levde p? 1600-tallet. Det var han som var hjernen bak Keplers lover, naturlig nok?. Disse lovene beskriver kort sagt hvordan planetene beveger seg i forhold til stjernen de g?r i bane rundt?. Kepler oppdaget tre slike lover, og slik som med alle smartinger, navnga han de etter seg selv?. La oss se hva lovene g?r ut p?, og hvor bra de passer med banene v?re!

Den f?rste loven1??!

Keplers f?rste lov handler om stjernens plassering i forhold til banen til planeten. Loven sier at stjernen skal v?re plassert i det ene brennpunktet til banen til planeten slik som p? figur 1, der Lumin er plassert i det ene oransje brennpunktet¨L?

La oss se hvordan dette samsvarer med resultatene vi har f?tt for hver enkelt planet?. Hvis verdien til aphel, punktet der radien er lengst p? banen, er st?rre enn verdien til perihel, punktet der radien er kortest p? banen, stemmer resultatene overens med Keplers f?rste lov?. Vi g?r da i rekkef?lge etter posisjonene til planetene slik at vi beveger oss lengre og lengre vekk fra Lumin.

Planet 0: Primara

Perihel: 2.1434626890717343 AU

Aphel: 2.2440670299788668 AU

Planet 1: Pyronis

Perihel: 2.9925005522535892 AU

Aphel: 3.1715345145105127 AU

Planet 6: Tenebris

Perihel: 3.68498623225962 AU

Aphel: 4.724819649969555 AU

Planet 4: Glacies

Perihel: 5.3345035478979215 AU

Aphel: 6.24237069225983 AU

Planet 3: Lapidem

Perihel: 10.357603699398494 AU

Aphel: 10.429959527422678 AU

Planet 2: Aeris 

Perihel: 13.27144209994436 AU

Aphel: 15.124925323787055 AU

Planet 5: Hadronia

Perihel: 20.273039530108985 AU

Aphel: 22.950184363821922 AU

Vi ser da at siden ingen av lengdene er like, s? er alle banene ellipser og f?lger dermed Keplers f?rste lov?! S? selv om banene s? veldig sirkul?re ut p? forrige bloggpost, s? var de alts? ikke det?. Noen av planetene har st?rre forskjell mellom lengdene, som Hadronia og Aeris. N?r banene har st?rre forskjell f?lger de en mer elipseformet bane. Mens planeter som Primara, som har veldig liten forskjell, f?lger en mer tiln?rmet sirkelbane. Det vil si at planetene v?re alts? ikke g?r i samme type bane, men forskjellige alle sammen?! Dette gir jo veldig mening, da planetene har lik tyngde og hastighet.

Den andre loven2??!

Keplers andre lov forteller oss at radiusen mellom planeten og stjernen farer over like store flater over like lange tidssteg. Alts?, hvis vi reiser ulike lengder over like lang tid, vil vi lage et areal mellom startsvektoren og sluttvektoren som er like stort uansett hvor p? banen de er?. 

For ? spare oss for tid velger vi ? se p? denne loven p? v?r egen hjemplanet, Primara?. Dette kan vi gj?re fordi hvis dette stemmer p? v?r egen planet, er det stor sannsynlighet for at det vil stemme p? de andre planetene ogs? fordi de er simulert likt?. Vi sjekker f?rst om arealet blir det samme i to "vinduer" rundt aphel og perihel. Dette vinduet starter 200 tidssteg f?r perihel eller aphel, og slutter 200 tidssteg etter perihel eller aphel. S? sjekker vi ogs? forholdet mellom banelengden til de to arealene. Slik ble resultatene??

Planet 0: Primara

Perihel-indeks: 158864, vindu: [158664,159064], areal = 0.2473779 AU².

Aphel-indeks:  635459, vindu: [635259,635659], areal = 0.2473779 AU².

Forskjell mellom arealene i prosent: 7.41 * 10^-12%.

 

Banelengde perihel: 0.2308184 AU.

Banelengde aphel: 0.2204750 AU.

Differanse i banelengde for de to arealene i prosent: 4.481191835319971%.

Som vi kan se her er det ekstremt liten forskjell mellom de to arealene, vi er ganske overbevist om at det er vanskelig ? f? en mer n?yaktig simulering enn det her?!  Banelengdene er ogs? veldig like, men ikke p? samme m?te som med arealene. Vi vet jo at lengdene p? radiusen er forskjellig p? de to punktene, s? da er det kanskje ikke s? rart ut banelengden er litt forskjellig ogs??. Tross alt sier bare Keplers lov at arealene er like for det samme tidsrommet, og dette stemmer definitivt for v?r planet?!

Den tredje loven3??!

Keplers tredje, og siste, lov sier at kvadratet av oml?pstiden er lik den store halvakse i tredje potens slik som dette?  \(P^{2} = a^{3}\), der P er oml?pstiden og a er lengden til den store halvakse?. Men?... i senere tid fant Sir. Newton ut at han kunne utlede Keplers lover fra gravitasjonsloven! Og da fikk vi en ny formel for Keplers tredje lov, korrigert av Newton?. Det var denne fine formelen her? \(P^{2} = \frac{4 \pi^{2} a^{3}}{G M}\), der P fremdeles st?r for oml?pstiden, a er fremdeles lengden til den store halvakse, G er gravitasjonskonstanten og m er den totale massen til planeten og stjernen?.

Planet 0: Primara

Simulert periodetid: 2.4441 ?r.

Keplers periodetid: 3.249265 ?r.

Newtons korrigerte periodetid: 2.444072 ?r.

Differanse mellom Keplers og Newtons periodetid i prosent: 32.94473%.

Differanse mellom Simulert og Newtons periodetid i prosent: 0.00115%.

Planet 1: Pyronis

Simulert periodetid: 4.0699000000000005 ?r.

Keplers periodetid: 5.410690 ?r.

Newtons korrigerte periodetid: 4.069887 ?r.

Differanse mellom Keplers og Newtons periodetid i prosent: 32.94448%.

Differanse mellom Simulert og Newtons periodetid i prosent: 0.00032%.

Planet 2: Aeris 

Simulert periodetid: 40.242000000000004 ?r.

Keplers periodetid: 53.499434 ?r.

Newtons korrigerte periodetid: 40.241387 ?r.

Differanse mellom Keplers og Newtons periodetid i prosent: 32.94630%.

Differanse mellom Simulert og Newtons periodetid i prosent: 0.00152%.

Planet 3: Lapidem

Simulert periodetid: 25.2053 ?r.

Keplers periodetid: 33.508916 ?r.

Newtons korrigerte periodetid: 25.205200 ?r.

Differanse mellom Keplers og Newtons periodetid i prosent: 32.94446%.

Differanse mellom Simulert og Newtons periodetid i prosent: 0.00039%.

Planet 4: Glacies

Simulert periodetid: 10.4755 ?r.

Keplers periodetid: 13.926500 ?r.

Newtons korrigerte periodetid: 10.475418 ?r.

Differanse mellom Keplers og Newtons periodetid i prosent: 32.94457%.

Differanse mellom Simulert og Newtons periodetid i prosent: 0.00078%.

Planet 5: Hadronia

Simulert periodetid: 75.572 ?r.

Keplers periodetid: 100.468690 ?r.

Newtons korrigerte periodetid: 75.565824 ?r.

Differanse mellom Keplers og Newtons periodetid i prosent: 32.95520%.

Differanse mellom Simulert og Newtons periodetid i prosent: 0.00817%.

Planet 6: Tenebris

Simulert periodetid: 6.4859 ?r.

Keplers periodetid: 8.622515 ?r.

Newtons korrigerte periodetid: 6.485801 ?r.

Differanse mellom Keplers og Newtons periodetid i prosent: 32.94450%.

Differanse mellom Simulert og Newtons periodetid i prosent: 0.00153%.

 

N? har vi f?tt sett p? periodetiden til alle planetene, og her var det kanskje noen uventede resultater...? V?r simulerte periodetid er jo nesten identisk med Newtons periodetid for alle 7 planetene?. Men, vi kan se at det er faktisk ganske s? stor forskjell mellom Keplers og Newtons formler for periodetid?! Det er jo over 32% forskjell for alle planetene?! Hvorfor er det s?nn? Vel, Newtons periodetid tar hensyn til massene i systemet, som jo p?virker banen til planetene og stjernen. Vi kan derfor si at Keplers oml?pstid er en mer teoretisk tiln?rming, ut fra planetens bane, mens Newtons periodetid er mer praktisk da resultatene er p?virket av tyngdekraften?. Og dette er jo akkurat det vi ser i v?re oml?pstider ogs??! 

N?r vi ser tilbake p? resultatene v?re kan vi jo kanskje si at periodetidene regnet ut med Keplers tredje lov blir litt urealistiske, s? det er nok bedre ? holde seg til Newtons korrigerte versjon?. Vi vet jo ogs? fra tidligere at planetene v?re f?lger elipsebaner, s? resultatene av verdiene til aphel og perihel virker jo ogs? veldig realistiske?!

N? som vi har alt om banene v?re p? plass kan vi legge dette i sekken? og ta det fram n?r vi skal begynne ? planlegge reisen v?r! Vi gleder oss?, og vi h?per dere gleder dere ogs??!

Pax?