N? m? dere lene dere fram i sofaen, og fokusere. Fordi n? skal vi g? igjennom den geniale ideen til selveste the one and only the man the myth the legend DAVID G. Planen den er f?lgende:
STEP 1: F? kontroll p? satellitten tjommi.
STEP 2: F? tjommi til ? generere et sett med referanse bilder av himmelen.
STEP 3: Ta bilde av hvor TORTA peker mot og sammenlign dette med referansebildene, for ? se hvor vi peker p? himmelen.
Ferdig n? har vi en solid plan, men det er fortsatt mye som mangler. F?rst og fremst s? husker dere vel kanskje fra noen post siden at et kamera tar bilder i pixler. Som var sm? flate firkanter. Hvis ikke s? trykk p? denne linken. Men n?r vi ser ut mot himmelen s? bruker vi kule koordinater. Dette skal vi g? straks n?rmere utp?. Men bilde skal bli tatt med pixler som er flate firkanter. S? vi m? finne en m?te vi kan g? fra ? se p? himmelen som en kule til en flat firkant. Dette er allerede en metode med det vakre navnet stereografisk projeksjon. Vi skal g? n?rmere inn p? dette, men f?rst…..
NYTT KOORDINATSYSTEM!!!
Dere har brukt det kartesiske koordinatsystemet (x,y,z koordinatsystemet), og blitt helt sjefer med den. Men det fins mange andre koordinatsystemer som passer bedre i ulike scenarioer. Og n? s? skal dere bli introdusert til et helt nytt koordinatsystem som er veldig handy innen for astronomi. Og det er ingen andre enn selveste det sf?riske koordinatsystemet. Sf?risk koordinatsystem er bare et kjempe fancy navn f?r kule koordinater. N?r vi brukte det kartesiske koordinatsystemet s? s? vi bare p? rette linjer, men med kule koordinater s? ser vi p? vinkler og avstander. N?r satellitten v?r roterer rundt og tar bilder. Hva skjer da med posisjonen til satellitten sett fra den kartesiske koordinatsystemet??? Hvis du sa at den forblir den samme s? har du helt rett. Satellitten roterer bare rundt seg selv og vil ikke endre posisjonen sin sett fra det kartesiske koordinatsystemet. La oss n? bruke kule koordinater. Den brukte jo avstand og vinkel. N?r satellitten roterer s? forblir avstanden lik MEN vinkelen vil jo endre p? seg. Den vil jo fortelle oss hvordan rotasjonen v?r er i himmelen, med andre ord hvor i huleste er det vi peker hend. N? skal dere bli introdusert med hvordan vi noterer kule koordinatsystemet.
Det kartesiske koordinatsystemet noterte vi med \((x,y,z)\)
Men med det sf?riske koordinatsystemet(kule koordinater) noterer vi med \((r,\theta,\phi)\)
Under s? f?r dere se en illustrasjon av det sf?riske koordinatsystemet.
-navigation-software/img_0597.jpeg)
\(r\) er radiusen til kulen v?r. Hvis vi ser p? figur 1 ser vi at ingen ting begrenser hvor lang radiusen til kulen kan v?re. Vi kan skrive dette matematisk : \(0 ≤ r≤ \infty\)
\(\theta\) er vinkelen som beveger seg rundt den ?verste halvkulen. Hvis vi peker satellitten sitt kamera rett fram da er \(\theta=0\), men om du beveger den oppover s? endrer \(\theta\) seg. Med andre ord s? begynner kamera ? se h?yere opp p? himmelen. \(\theta\) beskriver hvor lavt eller h?yt satellitten v?r kan se. Grensen vi vil f? da er: \(0≤\theta≤\pi\)
\(\phi\) er vinkelen som g?r rundt hele kulen. Den beskriver i v?rt tilfelle retningen kamera peker i horisonten. Alts? peker vi nord-,s?r- ,?st- eller vestover. Grensen blir : \(0≤\phi≤2\pi\)
Nydelig dere, n? har dere l?rt dere det sf?riske koordinatsystemet. N? kan vi g? videre ? forklare hva stereografisk projeksjon er for noe.
-navigation-software/img_0596.jpeg)
TRANSFORMASJON!!!ER DET SNAKK OM TRANSFORMERS???
Ja, dette er litt transformers opplegg bare i matematikk!!! Det vi skulle gj?re var ? projisere kulebilder om til flate bilder. Dette heter stereografisk projeksjon. N?r dere h?rer dette s? antar vi at dette er noe helt nytt for dere. Men det er det faktisk ikke!!! Dere har faktisk kanskje v?rt borte i det under hele barneskolen. Dere tenker sikkert n?: ?Hva er det gutta yapper ( sett enn s?nn urban dictonary for frody) om n?. Men, dette er ikke yapp. Husker dere n?r dere gikk p? barneskolen, ogs? hadde dere et gigantisk verdenskart over tavlen som man kunne rulle ned. Ogs? hadde dere kanskje en globus som l? p? et av hyllene i klasserommet. Det store kartet som l? rullet over tavlen var bare en stereografisk projeksjon av globusen. WHATTTTTTTTTTTTT!!!!!!!! Ja, fordi det er jo et flatt bilde ( verdenskartet) av kulebildet (globusen). S? dette har dere sett. Men n? skal vi forklare matematikken bak det. Gj?r dere klare, fordi dette blir spennende!!!
-navigation-software/img_0628.jpeg)
Matematisk s? skal vi f? \((\theta,\phi) \rightarrow (x,y)\). Det her har vi en formel for, og den er f?lgende:
(1) \(X = k\sin{\theta}\sin{(\phi-\phi_0)}\)
(2) \(Y = k(\sin{\theta_0}\cos{\theta}-\cos{\theta_0}\sin{\theta}\cos{(\phi-\phi_0)})\)
Hvor (3) \(k = \frac{2}{1+\cos{\theta_0}\cos{\theta}+\sin{\theta_0}\sin{\theta}\cos{(\phi-\phi_0)}}\)
Slap av slapp av, ta det helt med ro dere. Vi skal ikke g? igjennom utledningen av disse formlene. Disse to formlene holder ikke helt. Dette er siden n?r vi tar bilder, s? vil ikke kamera klare ? projisere hele kuleflaten. Den vil v?re begrenset av synsfeltet til kameraet. Synsfeltet er definert som \(\alpha\). Den er gitt som:
\(\alpha_{\theta}=\theta_{maks}-\theta_{min}\) og \(\alpha_{\phi}=\phi_{maks}-\phi_{min}\)
Ved ? bruke dette resultatet her f?r vi grenseverdiene til koordinatene \(\theta\) og \(\phi\):
\(-\frac{\alpha_{\theta}}{2}≤\theta-\theta_0≤\frac{\alpha_{\theta}}{2}\)
\(-\frac{\alpha_{\phi}}{2}≤\phi-\phi_0≤\frac{\alpha_{\phi}}{2}\)
Dette er rett og slett maksimal og minimal vinklene. Hvis vi setter dette inn i utrykk (1) og (2), s? vil vi kunne f? utrykk for hva v?r \(X_{maks/min}\) og \(Y_{maks/min}\). Vi starter med \(X_{maks/min}\). Da er det f?rste ? se p? begrensningene til \(X\), ved ? sette \(Y=0\). N?r vi setter \(Y = 0\), s? blir \(\theta =\theta_0=\frac{\pi}{2}\). Dette setter vi inn i likning (1), og da f?r vi:
\(X_{maks/min}= k\sin{\frac{\pi}{2}}\sin{(\pm\frac{\alpha_{\phi}}{2})}\rightarrow \sin{\frac{\pi}{2}} = 1\), Her satt vi ogs? \(\phi-\phi_0=\pm\frac{\alpha_{\phi}}{2}\)
\(=k\sin{(\pm\frac{\alpha_{\phi}}{2})}\).
Nydelig n? st?r vi igjen med et mye chillere utrykk: \(X_{maks/min} = k\sin{(\pm\frac{\alpha_{\phi}}{2})}\). ELLER ER DET DET???????????? Vi setter inn utrykket v?rt for \(k\) fra likning (3) inn i det chille utrykket v?rt : \(X_{maks/min} = k\sin{(\pm\frac{\alpha_{\phi}}{2})}\).
Da f?r vi ???: \(X_{maks/min} = k\sin{(\pm\frac{\alpha_{\phi}}{2})} = \frac{2}{1+\cos{\theta_0}\cos{\theta}+\sin{\theta_0}\sin{\theta}\cos{(\pm\frac{\alpha_{\phi}}{2})}} \cdot \sin{(\pm\frac{\alpha_{\phi}}{2})}\)
Vent n? litt…..se litt n?ye p? utrykket v?rt. Husker dere at \(\theta=\theta_0=\frac{\pi}{2}\). Vi m? jo sette det inn i utrykket. La oss se hva som skjer hvis vi gj?r dette.
\(X_{maks/min}=\frac{2}{1+\cos{\frac{\pi}{2}}\cos{\frac{\pi}{2}}+\sin{\frac{\pi}{2}}\sin{\frac{\pi}{2}}\cos{(\pm\frac{\alpha_{\phi}}{2})}} \cdot \sin{(\pm\frac{\alpha_{\phi}}{2})}\)
\(= \frac{2\sin{(\pm\frac{\alpha_{\phi}}{2})}}{1+\cos{(\pm\frac{\alpha_{\phi}}{2})}} \)
H?…hva skjedde n?? Jo, \(\cos{\frac{\pi}{2}=0}\) dette f?rer til at cosinus blir fjernet. For sinusen vet vi jo at \(\sin{\frac{\pi}{2}=1}\) og det f?rer til at vi bare st?r igjen med \(\cos{(\pm\frac{\alpha_{\phi}}{2})}\)
Se p? det da. Det ble ikke s? ille som man skulle trodd. Utrykket vi st?r igjen med n? er: \(X_{maks/min} = \frac{2\sin{(\pm\frac{\alpha_{\phi}}{2})}}{1+\cos{(\pm\frac{\alpha_{\phi}}{2})}} \) \(=\pm\frac{2\sin{(\frac{\alpha_{\phi}}{2})}}{1+\cos{(\frac{\alpha_{\phi}}{2})}} \)
Da er vi ferdy med \(X_{maks/min}\) og n? kan vi hoppe over til \(Y_{maks/min}\). Denne gangen setter vi \(X=0\). Da f?r vi at \(\phi =\phi_0=0\). Da er det bare ? kj?re p? med samme prosess som vi gjorde for \(X_{maks/min}\). Sett setene godt fast fordi vi skal kruse oss igjennom dette!!!
Starter med ? sette inn \(\phi=\phi_0=0\) inn i likning (2):
\(Y_{maks/min} = k(\sin{\theta_0}\cos{\theta}-\cos{\theta_0}\sin{\theta}\cos{(\phi-\phi_0)}\)
\(= k(\sin{\theta_0}\cos{\theta}-\cos{\theta_0}\sin{\theta}\cos{(0-0)})\)
\( = k(\sin{\theta_0}\cos{\theta}-\cos{\theta_0}\sin{\theta})\)
Dette utrykket kan vi sette oppi en gryte og lage god mat av. Hvorfor det? Jo, vi kan jo bruke den trigonometriske identiteten : \(\sin{(u\pm v)}= \sin{u}\cos{v}\pm \cos{u}\sin{v}\)
La oss bruke den trigonometrisk identiteten p? utrykket v?rt.
\( Y_{maks/min}= k(\sin{\theta_0}\cos{\theta}-\cos{\theta_0}\sin{\theta})\)
\(= k(\sin{(\theta_0-\theta)}\)
\(=-k\sin{(\theta-\theta_0)}\)
\(= -k\sin{(\pm\frac{\alpha{\theta}}{2})} \), Her byttet vi ut \((\theta-\theta_0)\) med \(\pm{\frac{\alpha{\theta}}{2}}\)
N? ble jo utrykket v?rt fint, men vent n? litt….. Vi m? skrive ut \(k\) ?????
\( Y_{maks/min}=-\frac{2}{1+\cos{\theta_0}\cos{\theta}+\sin{\theta_0}\sin{\theta}\cos{(\phi-\phi_0)}}\cdot \sin{(\pm\frac{\alpha{\theta}}{2})} \)
Men slapp helt av, ta det tranquile. Fordi vi kan jo gj?re det samme som vi gjorde istad!!! Det er ? bruke at \(\phi=\phi_0\)
Da blir utrykket:
\( Y_{maks/min}=-\frac{2\sin{(\pm\frac{\alpha{\theta}}{2})}}{1+\cos{\theta_0}\cos{\theta}+\sin{\theta_0}\sin{\theta}}\)
Og n? bruker vi samme triks som istad og det er selveste trigonometriske identitet. Bare n? for : \(\cos{(u\pm v)}= \cos{u}\cos{v}\mp\sin{u}\sin{v}\)
Cheekyy den dere assa. Vi bruker denne identiteten p? utrykker og f?r f?lgende:
\(Y_{maks/min}=-\frac{2\sin{(\pm\frac{\alpha{\theta}}{2})}}{1+\cos{(\theta_0-\theta)}}\rightarrow\cos{(\theta_0-\theta)}=\cos{(\theta-\theta_0)}\)
\(=-\frac{2\sin{(\pm\frac{\alpha{\theta}}{2})}}{1+\cos{(\theta-\theta_0)}}\)
\(=-\frac{2\sin{(\pm\frac{\alpha{\theta}}{2})}}{1+\cos{(\pm\frac{\alpha{\theta}}{2})}}\)
\(=\mp\frac{2\sin{(\frac{\alpha{\theta}}{2})} }{1+\cos{(\frac{\alpha_{\theta}}{2})}}\)
N? er det bare ? gi dere selv en klapp p? skulderen. Dere har krigd dere igjennom lange utledninger og n? st?r vi endelig igjen med utrykk for \( X_{maks/min}\) og \( Y_{maks/min}\).
\((1_{ny})\) \(X_{maks/min}=\pm\frac{2\sin{(\frac{\alpha_{\phi}}{2})}}{1+\cos{(\frac{\alpha_{\phi}}{2})}} \)
\((2_{ny})\) \(Y_{maks/min}=\mp\frac{2\sin{(\frac{\alpha{\theta}}{2})} }{1+\cos{(\frac{\alpha_{\theta}}{2})}}\)
Da har vi disse to likningene som forteller oss hvor mye bildet strekker seg i \(Y\) og \(X\) retning i den stereografiske projeksjonen. N? som likningene og teorien er i boks. S? er det p? tide og dra frem kameraet ? kj?re p? med det spennende. La oss lage et himmelkart. Da er det bare ? gj?re seg klare til neste post
Logg inn for ? kommentere