En mini-solform?rkelse!!

TORTA suser av g?rde ut i verdensrommet, her chiller vi maxxxx. Vi ser p? stjerner, planeter, gj?r noen observasjoner og bare nyter livet. HEEEELT amazing liv!! MEN! En gang i ny og ne legger vi merke til at lyset fra sola liksom blir svakere. Hva kommer det av? Det er planetene som g?r mellom oss og sola! For ? gj?re forklaringen enklere, ser vi for oss at vi st?r p? x-aksen og ser mot sola, med planetbanen mellom oss og sola:

Det er alts? en del av banen, hvis forholdene legger opp til det, hvor planeten legger seg mellom oss og sola og form?rker den! Men OBS! Dette gjelder n?r inklinasjonsvinkelen mellom siktlinja og normalen til banen er tiln?rmet 90 grader! Hvis dette ikke er tilfelle observerer vi ikke form?rkelsen!

Noe av det kuleste man kunne se p? Thestral var fullstendige solform?rkelser... Wow det savner vi faktisk. Midt p? dagen kunne plutselig stjernene dukke opp, hele sola ble skygget for! S? vi m? v?re helt ?rlige med dere, det er ikke snakk om noen total solform?rkelse, men egentlig en mini-mini-versjon. Dere ser p? figur 2 at ikke akkurat hele sola dekkes! Vi kan imidlertid registrere en liten nedgang i lysfluksen fra stjerna, alts? mengden lys som str?les ut over en gitt tidsperiode. Dette er faktisk ganske kult ? unders?ke, for dette er en m?te ? finne ekstrasolare planeter p?! Hvis vi observerer at lysfluksen fra en stjerne har jevnlige nedganger, tyder det p? at det er en planet som g?r i bane rundt den! I solsystemet v?rt er Forlan den planeten med st?rst radius, s? nedgangen i fluks vil v?re st?rst n?r den passerer foran sola. Hvordan ser da flukskurven ut?

N?r vi m?ler den relative fluksen fra stjerna, finner vi en liten nedgang i den tidsperioden Forlan passerer foran. Akkurat som forventet! Vi rakk dessverre ikke ? gj?re m?linger under den faktiske solform?rkelsen, vi ble for grepet av ?yeblikket, s? dette kommer fra en simulering vi gjorde i etterkant. Da er det alltid viktig ? sp?rre seg om dette resultatet gir mening. ?n m?te ? sjekke det p? er ? se om Forlan har forflyttet seg den strekningen vi forventer at den skal gj?re. Vi vet jo at den skal forflytte seg 2 ganger sin egen radius fra den begynner ? dekke solskiva til hele planeten er innenfor, og 2 ganger solas radius n?r hele dekker sola. N?r planeten er p? vei ut av solas "synsfelt" skal den igjen forflytte seg 2 ganger sin egen radius. Simulerer vi ogs? det samme? Vi definerer fase 1 til ? v?re n?r planeten er p? vei inn foran stjerna, fase 2 n?r hele planeten er foran stjerna og fase 3 n?r planeten er p? vei ut. Merk at her bruker vi Euler-metoden for ? integrere farten, og dermed finne strekningen:

\(s=s_0+v\cdot\Delta t\)

Tallene er ikke s? verst, men det er noe avvik her alts?! Hvordan kan vi beregne strekningen mer presist? Kanskje vi kan bruke en annen integrasjonsmetode? Orakelet v?rt Frode Hansen har gitt oss en oversikt over ulike m?ter ? integrere p?. Hva om vi velger en som er mer presis? Her finner vi at Runge-Kutta 4 er veldig presis. Vi pr?ver ? implementere den integrasjonsmetoden i stedet!

Det gjorde rett og slett ingen verdens ting ? integrere med Runge-Kutta 4... Hmm ja vi f?r tenke litt mer p? det. N? er vi uansett altfor gira p? ? gj?re noe mye kulere!!

Vi kan nemlig bruke en slik kurve for fluksen som figur 3 til ? estimere radiusen og tettheten til planeten som passerer foran stjerna! ?kke det kult??!! Vi sender derfor blikket ut mot fjerne stjerner ute i verdensrommet og gj?r m?linger av lysfluksen. Etter en del arbeid fikk vi til slutt en interessant kurve:

Fluksen er alts? f?rst normalisert til ? v?re lik 1, for s? ? minke n?r planeten passerer. P? x-aksen har vi tid i ?r, s? hvis vi finner ut hvor lang tid det g?r fra fluksen begynner ? minke til den er p? minimum, kan vi finne ut hvor stor radiusen til planeten er!! Vi vet jo fra f?r at planeten  beveger seg to ganger sin egen radius innenfor dette tidsrommet!

Da m? vi rett og slett lese av grafen. Vi trekker linjer fra de aktuelle punktene, og ser hvilke verdier de svarer til.

Det er ikke en supern?yaktig metode, men vi leser av flere verdier og finner gjennomsnittstiden:

Slik fortsetter vi for flere verdier, og finner gjennomsnittstiden planeten bruker fra den delvis er innenfor solas "synsfelt" til den er helt innenfor. P? samme vis finner vi gjennomsnittstiden den bruker p? ? bevege seg helt ut av solas rand. Vi tar til slutt gjennomsnittet av disse to tidene ogs?.

Med denne metoden f?r vi at planeten bruker i snitt en halvtime p? denne delen av passasjen foran sola.

M?let v?rt er ? finne radiusen til planeten. Vi vet n? at den bruker omtrent 30 min p? ? bevege seg en strekning som tilsvarer 2 ganger sin egen radius. Hvis vi definerer radiusen til planeten til ? v?re \(R\), har vi at

\(2R=\frac{(v_*+v_p)}{\bar t}\)

Hvor \(v_*\) er farten til stjerna relativt til massesenteret, \(v_p\) er planetens fart relativt til massesenteret og \(\bar{t}\) er gjennomsnittstiden vi fant overfor. 

\(v_p=v_*\frac{m_*}{m_p}\)

Hvor \(m_*\) er stjernas masse og \(m_p\) er planetens masse. 

Stjerna og planeten vi observerer n? er faktisk de samme vi fikk signaler om tidligere i bloggen! Da kan vi bruke massen vi beregnet for planeten, sammen med farten og massen til stjerna for ? finne planetens fart! Her m? vi huske p? at inklinasjonsvinkelen n? er 90 grader, slik at

\(v_r=v_*\sin(90)=v_*\)

Vi antar ogs? sirkul?re baner, som gir at \(v_*\)og \(v_p\) er konstante. Da kan vi lese av radiell-hastighets-kurven og finne \(v_*\), gitt som amplituden \(K\)

\(v_*=K=0.0065 \frac{AU}{?r}\)

Vi har funnet ut fra f?r:

\(m_p=0.005692\) solmasser

\(m_*=2.35707\) solmasser

N?r vi setter alt dette inn i formelen f?r vi at

\(R=23634\) AU     (HVAAA???)

ET ALTFOR STORT TALL!!! HJ?LP! Vi har regnet veldig feil! Men vent n? litt... Se p? aksene i figur 6, ser dere at det nederst i h?yre hj?rnet ved x-aksen st?r 1e6? Det betyr at hvert punkt p? aksen er i millioner ?r! Det virker jo ogs? litt rart kanskje? Men vi ser hva som skjer dersom vi justerer for dette:

\(R=354\cdot 10^3\) km

Dette tallet gir mer mening! Nok et eksempel p? ? f?lge n?ye med p? aksene!! Men wow, denne planeten er jo enorm! Tenk bare p? at sola deres har en radius p? \(696\cdot10^3\) km; denne planeten er ikke mindre enn halvparten av sola i radius.

Sjekk figur 7 da! Den kj?re planeten til dere lesere er tegnet i midten, som en liten bl? sirkel, mens denne mystiske planeten (gr?nn sirkel) omringer jorda. Med den massen vi beregnet planeten til ? ha er den faktisk klassifisert som en Super-Jupiter, ettersom den har st?rre masse enn Jupiter.

Med denne radiusen f?r vi at tettheten til planeten er 

\(\rho_p=\frac{m_p}{4/3\pi R^3}\approx6.1 \cdot 10^4 \frac{tonn}{km^3}\)

Ok, s? vi har i hvert fall kommet frem til at det er en veldig stor planet.

N?r orakelet forkynner, lytter vi, og denne gangen har Frode Hansen fortalt oss at vi skal f? vite den riktige verdien for radiusen og tettheten til planeten. Vi blir fortalt at planeten vi har observert faktisk har en radius p? 113354 km. Vi har alts? estimert en radius som er omtrent dobbelt s? stor.

Vi ser med andre ord at de absolutte usikkerheten er veldig store... Her er det alts? noe som ikke stemmer helt! Radiusen er for stor!!

Vi ser over uttrykkene vi har brukt:

\(v_p=v_*\frac{m_*}{m_p}\)

\(2R=\frac{(v_*+v_p)}{\bar t}\)

Vi ser da at radiusen ?ker dersom fartene \(v_*\) og \(v_p\) ?ker, eller dersom \(\bar{t}\) minker.  Det er mulig at \(\bar{t}\) er for liten, men ut ifra den flukskurven vi har n? virker det ikke logisk ? ?ke tidsintervallet. Men kanskje \(v_*\) er for stor? Denne verdien er avhengig av hvordan vi har lest av amplituden i kurven for den radielle farten til stjerna. Det er mulig at vi ikke har gjort gode nok m?linger av denne kurven, og derfor f?tt et h?yt tall. Vi vet at vi fant et godt estimat for massen til planeten (se forrige innlegg), s? da st?r det p? beregningen av \(v_*\). \(v_*\)kan for eksempel f? feil verdi p? grunn av all st?yen p? fartskurven, denne gj?r det vanskelig ? trekke ut noen helt presise tall fra kurven! Eller s? kan det rett og slett v?re un?yaktig avlesning. Kanskje vi burde lest av flere verdier? I forrige innlegg diskuterer vi mer hvordan avlesningen av farten kunne v?rt bedre.

Det var litt kjipt ? avslutte v?r unders?kelse av ekstrasolare planeter p? denne m?ten, men alt i alt har det v?rt en superkul opplevelse!!