Hei du som klikket deg inn p? matten, mange sier kanskje matte er kjedelig, men sannheten er uten matte kunne vi ikke gjort kule ting som ? skyte opp raketten v?r. Jeg anbefaler og stoppe opp etter hvert steg og tenke p? hvorfor jeg gj?r de stegene.
F?r vi begynner vil jeg ta frem to utrykk som er skjente fra f?r, kilden min til disse er Prosjekt1, 2025. De to integralene er:
\(\int_0^\infty xe^{-x}dx = 1 \\ \int_0^\infty x^\frac32e^{-x}dx = \frac34 \sqrt{\pi}\)
Beviset for disse integralene er forbi denne bloggen. Men ?penbart trivielle...
|
F?rst l?ser vi farts integralet. \(\langle v \rangle = \int_{0}^{\infty} 4\pi v^2 (\frac m{2\pi kT})^{3/2}e^{-\frac12\frac{mv^2}{kT}} \cdot v\ dv = 4 \sqrt{\frac m{2\pi kT}}\int _0 ^\infty \frac{mv^2}{2kT}e^{-\frac{mv^2}{2kT}}\frac{kT}{m}\frac{mv}{kT} dv\) Her kan vi gj?re substitusjonen: \(u = \frac{mv^2}{2kT}, du =\frac{mv}{kT}dv \) og f? integralet: \(= 4\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\int_0^\infty ue^{-u} du \) Siden dette integralet er definert lik 1 f?r vi at: \(\langle v\rangle = 4 \sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\)
|
|---|
|
Energi integralet: \(\langle E \rangle = \langle \frac12 mv^2 \rangle = \int_0^\infty 4\pi v^2 (\frac m{2\pi kT})^{3/2}e^{-\frac12\frac{mv^2}{kT}} \cdot \frac12mv^2\ dv = \frac {2m} {\sqrt{\pi}} \int_0^\infty (\frac{mv^2}{2kT})^\frac32 e^{-\frac12\frac{mv^2}{kT}}\frac{kT}m \frac{mv}{kT}dv \) Her kan vi igjen gj?re den samme substitusjonen \(u = \frac{mv^2}{2kT}, du =\frac{mv}{kT}dv \) og f?r integralet: \(= \frac {2kT}{\sqrt{\pi}} \int_0^\infty u^\frac32 e^{-u} du \) Igjen kan vi ogs? se at dette er ett av de gitte integralene, da f?r vi: \(= \frac{2kT}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac34\sqrt\pi = \frac32kT\) |
|---|
|
Trykk Integralet: \(P = \frac n3 \int^∞_0 p v P(p) dp = \frac n3 \int^∞_0 \frac {p^2}m(\frac1{2πmkT})^{3/2}e ^{? \frac 12 \frac {p^2}{mkT}} 4πp^2 dp = \frac {4n}{3m\sqrt \pi}\int_0^\infty (\frac {p^2}{2mkT})^{\frac32}e^{-\frac{p^2}{2mkT}} mkT \frac{p}{mkT}dp\) Her er det ogs? en fin substitusjon vi kan gj?re: \(u = \frac{p^2}{2mkT} ; du = \frac p{mkT} dp\) Da f?r vi integralet \(\frac{4nkT}{3\sqrt\pi} \int_0^\infty u^{\frac32} e^{-u} du \) Igjen gjenkjener vi ett av de gitte integralene og f?r: \(\frac{4nkT}{3\sqrt\pi} \cdot \frac 34\sqrt\pi = nkT\)
|
|---|
