Tidligere s? har vi laget en modell av atmosf?ren og funnet ut hva den best?r av. N? skal vi se p? hvordan luftmotstand vil p?virke landingen v?r, og hvordan vi kan bruke luftmotstanden p? riktig m?te for ? sikre en smooth landing. Tidligere s? har vi gjort en del antagelser om atmosf?ren. Vi bruker de samme antagelsene her, det vil si at atmosf?ren v?r blant annet er uniform, har sf?risk symmetri og er delt inn i en adiabatisk og isoterm sone. Vi starter litt fra scratch og introduserer deg for en kjent modell av luftmotstand.
Modellering av luftmotstanden
For ? modellere luftmotstanden til atmosf?ren vi er i ferd med ? stupe ned i, s? bruker vi en kjent modell. Denne modellen kalles drag-equation og kan uttrykkes matematisk slik:
\(F_d = \frac{1}{2}\rho C_d A v_\text{drag}^2\) \((1)\)
her er \(F_d\) er luftmotstanden som et objekt med tverrsnittareal \(A\) og fart \(v_\text{drag}\) relativt til lufta med tettheten \(\rho\). \(C_d\) er en konstant som kalles drag coefficient og vi setter denne er lik 1. I realiteten s? er ikke denne en konstant, men vil variere ut fra hvilken fasong objektet har. Luftmotstandskraften peker alltid i motsatt retning av bevegelsesretningen.
Hva mener vi med fart relativ til lufta?
Som du ser fra ligning \((1)\), s? tar vi hensyn til farta \(v_\text{drag}\) som romfart?yet har i forhold til lufta i atmosf?ren. Dette er ikke det samme som hastigheten romfart?yet har i forhold til planeten! Det f?rste vi m? gj?re, er ? finne hastigheten til atmosf?ren \(\vec w\). Jepp, du h?rte riktig, atmosf?ren har en hastighet! For ? skille de ulike hastighetene, s? kaller vi hastigheten romfart?yet har i forhold til planeten for \(\vec v\) og hastigheten atmosf?ren har i forhold til planeten for \(\vec w\). Vi kommer til ? anta at atmosf?rens hastighet f?lger planetens rotasjon, slik at vinkelhastigheten \(\omega\) er den samme som for rotasjonen planeten har om sin akse. Planeten v?r roterer om sin egen \(z\)-akse, slik at atmosf?ren kun vil ha en tangentiell komponent i \(\theta\)-retning. For ? unng? hodepine s? tar vi det for gitt at \(\omega\) (vinkelhastigheten) er konstant over hele atmosf?ren.
Vi kjenner formelen for den tangentielle hastigheten:
\(\vec v = \vec \omega \times \vec r\)
hvor \(\vec \omega\) (omega) er vinkelhastigheten som peker ut av planet og \(\vec r\) er retningsvektoren. I v?rt tilfelle blir den tangentielle hastigheten til atmosf?ren:
\(\vec w = \vec \omega \times \vec r\)
her er \(\vec r\) posisjonen til romfart?yet og \(\vec \omega\) er vinkelhastigheten (rotasjonen) til planeten. Vi kan beskrive disse ved hjelp av enhetsvektorene i polarkoordinater, som peker i \(r\), (radielt), \(\theta\) (horisontalt) og \(z\) (vertikalt). Dermed kan vi skrive \(\vec r = r\hat e_r\) hvor \(r\) er avstanden til planetens sentrum, og \(\vec v_\text{tangentiell} = w \hat e_\theta\) siden atmosf?ren f?lger planetens rotasjon. Da kan vi regne ut kryssproduktet:
\(\vec w = \omega \hat e_z \times r \hat e_r = \omega r \hat e_\theta\)
hvor \(\omega\) er vinkelhastigheten til planeten og \(r \) er avstanden til sentrum av planeten. Denne hastigheten peker i \(\theta\)-retning, som betyr at den peker tangentielt, som var det vi forventet.
Men hva er \(\omega\)? For ? finne denne st?rrelsen, s? kan vi bruke det vi vet fra Fysikk 2. Vi vet at vinkelhastighet er radianer per sekund, slik at \(\omega = \frac{2\pi}{T}\) hvor \(T\) er rotasjonsperioden til planeten. Nice! Da har vi et uttrykk for hastigheten til atmosf?ren som funksjon av avstand til planeten sentrum, og vet n? at denne peker i tangentiell (\(\theta\)) retning. Vi har alts? at
\(\vec w = (0, v_\theta, 0) = (0, \frac{2\pi r}{T}, 0)\)
N? som vi kjenner til hastigheten til atmosf?ren, s? kan vi finne hastigheten romfart?yet har i forhold til atmosf?ren, \(\vec v_\text{drag}\). Denne hastigheten m? jo v?re lik romfart?yets hastighet \(\vec v\) minus hastigheten til atmosf?ren \(\vec w\). Vi vet fra tidligere at romfart?yets hastighet er gitt ved \(\vec v = v_r\hat e_r + v_\theta \hat e_\theta\), hvor \(v_r\) er den radielle hastigheten til romfart?yet i forhold til planeten, og \(v_\theta\) er den tangentielle. Da finner vi at:
\(\vec v_\text{drag} = \vec v - \vec w = v_r \hat e_r + v_\theta \hat e_\theta - \frac{2\pi r}{T}\hat e_\theta = (v_r, v_\theta - \frac{2\pi r}{T},0)\)
Dette uttrykket forteller oss at hvis vi flyr langs med atmosf?ren slik at \(\vec v\) og \(\vec w\) peker i samme retning, s? er den relative hastigheten positiv hvis romfart?yets hastighet er st?rre en atmosf?rens hastighet ( \(v_\theta > \frac{2\pi r}{T}\)). Hvis romfart?yets hastighet er mindre enn atmosf?rens hastighet, s? er den relative farta negativ.
Hvis du husker tilbake til modellen v?r for luftmotstand, s? har vi n? alle uttrykkene vi trenger, slik at modellen ser slik ut:
\(\vec F_d = \frac{1}{2} \rho C_d A (v_r, v_\theta - \frac{2\pi r}{T}, 0) ^2\)
Omsider s? har vi laget en modell som beregner luftmotstanden som romfart?yet opplever p? sin seilas gjennom atmosf?ren, som funksjon av tverrsnittarealet \(A\) og dets posisjon \(r\) og hastighet \(v\) i forhold til planeten. Men hva har luftmotstanden ? si for oss i praksis n?r vi skal lande?
Vi utnytter luftmotstanden
Vi vil at luftmotstanden skal gj?re mesteparten av jobben n?r vi skal lande. Vi vil seile inn i atmosf?ren p? en slik m?te at vi f?r en smooth landing og slik at vi n?r terminalfarten. Dette er hastigheten romfart?yet har n?r romfart?yet er i fritt fall mot planeten, som er farten vi n?r luftmotstanden og gravitasjonskrafta som virker p? romfart?yet balanserer hverandre. Da vil netto kraft p? romfart?yet v?re 0, og if?lge Newtons 1.lov vil romfart?yet da ha konstant hastighet. Det er i v?r beste interesse at terminalhastigheten er lav nok til at vi kan gli elegant ned mot planetoverflaten. En ting vi kan gj?re for ? p?virke denne er ? ?ke st?rrelsen p? fallskjermen v?r.
Hva skjer med hastigheten?
Vi vet at romfart?yets hastighet kan uttrykkes med en radiell komponent og en tangentiell komponent. Med en gang vi bryter atmosf?ren, s? vil det virke luftmotstand p? romfart?yet som vil virke mot bevegelsesretningen. Siden vi har hastighetskomponenter i b?de radiell og tangentiell retning, s? vil luftmotstanden ogs? virke i begge disse retningene.
Den tangentielle hastigheten
Siden atmosf?ren har en tangentiell hastighet, s? vil den "dra" romfart?yet i tangentiell retning. Etter en stund s? vil den tangentielle hastigheten v?r \(v_\theta\) i forhold til atmosf?re bli lik 0. Dette er fordi i den tangentielle retningen s? er det kun luftmotstanden som virker, siden tyngdekraften peker radielt inn mot planetens sentrum. Siden luftmotstanden virker mot tyngden i radiell retning, mens det er kun luftmotstand i tangentiell retning, s? vil vi til slutt kun ha bevegelse i radiell retning i forhold til atmosf?ren. Dette betyr da at vi er "synkronisert" med atmosf?ren.
Den radielle hastigheten
I radiell retning s? har vi tyngdekraft og luftmotstand. I begynnelsen vil romfart?yet akselerer ned mot planetoverflaten. Luftmotstanden er avhengig av farta, s? n?r farta ?ker, s? ?ker luftmotstanden. Det kommer da til et punkt hvor luftmotstanden i radiell retning blir like stor som tyngdekraften. Da oppn?r vi terminalfarten, og seiler videre med konstant hastighet mot overflaten.
Veien videre
N? som vi vet litt mer om hastigheten til atmosf?ren og hvordan romfart?yet p?virkes av luftmotstand, s? m? vi finne et uttrykk for terminalhastigheten. Dette er jo barnemat for dere som er eksperter p? Newtons lover! Det eneste vi trenger ? gj?re er ? skrive opp summen av alle kreftene som virker p? romfart?yet. Vi antar n? at vi kun har radiell hastighet, det vil si at \(v_\theta = 0\). Da kan vi summere kreftene i radiell retning, siden vi vet at n?r vi n?r terminalhastigheten s? er summen av kreftene 0. Vi bruker Newtons gravitasjonslov til ? finne tyngdekraften som virker p? landingsfart?yet:
\(\begin{align} \sum \vec F_r &= \vec F_d - \vec F_g \\ \implies F_d &= F_g \\ \frac{1}{2} \rho C_d A v_\text{terminal}^2& = G\frac{Mm}{r^2} \\ \implies v_\text{terminal} &= \sqrt{\frac{2GMm}{r^2\rho C_dA}} \end{align}\)
hvor \(m = 90 \ \text{kg}\) er massen til landingsfart?yet, \(M\) er massen til planeten, \(G\) er gravitasjonskonstanten, \(A\) er tverrsnittarealet av landingsfart?yet og \(\rho\) er tettheten. Merk at tettheten varierer med avstanden til sentrum av planeten. Tettheten er st?rst ved planetoverflaten, slik at terminalhastigheten vil v?re lavere n?rmere overflaten. Dette er den maksimale hastigheten romfart?yet kan ha, og den er i radiell retning.
Hvor stor fallskjerm trenger vi?
St?rrelsen p? fallskjermen er selvf?lgelig essensiell n?r vi vil ha en s? my landing som mulig. For ? sikre en behagelig landingssekvens, s? kan vi maks ha en hastighet p? \(3 \ \text{m/s}\) n?r vi er n?rme overflaten. For ? finne et uttrykk for tverrsnittarealet \(A\) til landingsfart?yet og fallskjermen, s? kan vi stokke litt om p? uttrykket for terminalfarta. Uttrykket for tverrsnittarealet er gitt ved:
\(A = \frac{2GMm}{\rho C_d r^2v_{terminal}^2}\)
N?r vi modellerte atmosf?ren s? fant vi at ved overflaten s? er \(\rho = \rho_0 = 9.477 \ \text{kg} / \text m^3\). Da kan vi regne ut arealet:
\(A = \frac{2 \cdot 6.67\cdot 10^{-11} \ \text m^3 \text{kg}^{-1}\text s^{-2}\cdot 90 \ \text{kg} \cdot 1.00677\cdot 10^{24} \ \text{kg}}{9.477 \ \text{kg}/\text m^3 \cdot 1 \cdot / \cdot (3 \ \text{m/s})^2 \cdot (3689\cdot 10^3 \ \text m)^2} \approx 10.41 \ \text m^2\)
Dette estimatet tror vi er veldig lavt, og det kan godt hende vi trenger en mye st?rre fallskjerm (tverrsnittareal) enn dette. Vi har tross alt gjort en rekke forenklinger i v?re beregninger, slik at vi m? regne med ? m?tte justere st?rrelsen p? fallskjermen for ? unng? en kr?sjlanding.
Landingsmotorer for the rescue
? stole p? fallskjermen til ? b?re oss trygt ned til bakken er litt skummelt. Heldigvis, s? er ikke er vi ikke sunnm?ringer, slik at vi tok oss r?d og investerte i et par skikkelige landingsmotorer f?r vi la ut p? reisen v?r mot Casjoh. Disse kan v?re kjekke ? ha viss vi har for stor fart p? v?r kollisjonsreise mot Casjoh. Disse motorene utf?rer en kraft \(F_L\) p? landingsfart?yet som vil bremse farten v?r ned til \(3 \ \text{m/s}\), som er farta vi maks kan ha uten ? kr?sjlande. Vi ?nsker n? ? finne et uttrykk for denne bremsekrafta. Vi antar at p? det tidspunktet vi blir n?dt til ? bruke landingsmotorene, s? har vi allerede n?dd terminalfarta. Med andre ord s? er \(F_d = F_g\) n?r vi tar i bruk motorene.
Kreftene som virker p? landingsfart?yet n?r vi bruker landingsmotorene er:
\(\vec F_L = \vec F_g - \vec F_d \)
Alle disse kreftene peker i radiell retning. Vi ?nsker ? oppn? den maksimale farta som sikrer oss en myk landing, \(v_\text{safe} = 3 \ \text{m/s}\). N?r vi oppn?r denne farten, s? skrur vi av landingsmotorene, slik at \( F_L = 0\). Landingsmotorene m? alts? motvirke forskjellen mellom luftmotstanden fra terminalhastigheten og luftmotstanden fra den trygge hastigheten. Ved terminalhastighet s? har vi at tyngdekraften er lik luftmotstanden, alts? at \(F_g = F_d = \frac{1}{2} \rho_0C_d Av_\text{terminal}^2\). N?r vi bruker landingsmotorene for ? oppn? den trygge hastigheten (som er lavere enn terminalhastigheten), s? er luftmotstanden ved denne hastigheten \(F_d = \frac{1}{2} \rho_0 C_d A v_\text{safe}^2\). Kraften landingsmotorene m? utf?re er derfor:
\(F_L = F_g - F_d = \frac{1}{2} \rho_0 Av_\text{terminal}^2 - \frac{1}{2}\rho_0A v_\text{safe}^2 = \frac{1}{2} \rho_0 A(v_\text{terminal}^2-v_\text{safe}^2)\)
hvor vi har brukt at tettheten n?rme/ved overflaten er \(\rho_0\) og at \(C_d = 1\). Denne kraften er kraften landingsmotorene m? p?f?re landingsfart?yet for ? oppn? den ?nskede hastigheten \(v_\text{safe}\). Vi regner med at disse var en god innvestering, siden vi vil helst lande uten ? s?le kaffekoppen v?r. Du vil ikke vite hva som skjer om landingen f?rer til sl?sing av kaffe.
Halleluja! N? har vi det vi trenger ? vite om luftmotstanden i atmosf?ren, og attp? til har vi tenkt p? b?de fallskjerm og landingsmotorer. N? skal vi f? til en smooth landing gutta! Bli med videre...