(6) Detter vi inn i det sorte hullet?

Situasjon

I denne situasjonen er hovedobjektet en rakett som er skutt opp fra en avstand p? \(20M\) (der \(M\) er massen til det sorte hullet) fra et sort hull. Rakettens initielle hastighet og vinkel ved oppskytningen er henholdsvis \(v_{skall}=0.993\) og \(\theta=167^\circ\). 

Hovedsp?rsm?l vi ?nsker ? teste/svare p?:

1. Rakettens skjebne: Vil raketten unnslippe det sorte hullets gravitasjonskraft, eller vil den bli fanget av det? Dette er det hovedsp?rsm?let, og det krever en forst?else av hvordan gravitasjon p?virker objekters bevegelse i rommet.

2. Gravitasjonspotensial og unnslippsbetingelser: Hvordan ser gravitasjonspotensialet rundt et sort hull ut, og hvilke betingelser m? v?re oppfylt for at et objekt skal unng? ? bli absorbert av det?

3. Beregning av energi og spinn: Vi m? beregne energien per masse for raketten ved hjelp av generelle relativitetsteoretiske formler og bestemme rakettenes vinkelmoment. Disse beregningene er avgj?rende for ? forutsi rakettenes bane.

4. Effektivt potensial og baneanalyse: Ved ? plotte det effektive potensialet mot avstanden fra det sorte hullet, kan vi visuelt vurdere rakettenes potensielle bane og bestemme om den vil bli fanget av det sorte hullet.

5. Tid til singularitet: Hvis raketten blir fanget, vil vi beregne tiden det tar for en astronaut inne i raketten ? n? singulariteten til det sorte hullet, ved ? bruke eksemplet med det sorte hullet i sentrum av Melkeveien.

6. Fysiske effekter ved singulariteten: Til slutt vil vi utforske de fysiske effektene p? astronauten n?r de n?rmer seg singulariteten, med tanke p? de ekstreme gravitasjonskreftene som er i spill.

Tabell over Hendelser og Posisjoner:

Hendelse	Beskrivelse	Posisjon
Lansering	Rakett lansert fra en avstand p? 20M fra et sort hull	20M fra sort hull
Baneanalyse	Bestemmelse av rakettenes bane og skjebne	I bane rundt sort hull
Potensialanalyse	Analyse av det effektive potensialet og unnslippsbetingelser	Variabel (avhengig av bane)
Tid til Singularitet	Beregning av tid til singularitet hvis fanget	Fra horisonten til singulariteten
Effekter ved Singulariteten	Vurdering av fysiske effekter p? astronauten n?r singulariteten	Ved singulariteten

Metode

I dette eksperimentet skal vi unders?ke om en rakett som reiser fra et skall n?r et sort hull, vil bli fanget av det sorte hullet eller ikke. Vi baserer analysen p? generell relativitetsteori og spesiell relativitetsteori, samt konsepter om gravitasjonspotensialer og effektive potensialer i Schwarzschild-geometri.

Fysiske Prinsipper og Relevante Ligninger

1. Gravitasjonspotensial for et Sort Hull:

   • Vi skisserer f?rst et typisk gravitasjonspotensial for et sort hull. Dette hjelper oss ? forst? hvordan gravitasjonskraften varierer med avstand fra det sorte hullet.
   • Vi bruker dette til ? identifisere kriterier for at et objekt i fritt fall skal unng? ? bli absorbert av det sorte hullet.

2. Energi per Masse for Rakett:

   • Vi anvender den generelle relativistiske uttrykket for energi per masse (\(E/m\)) for ? beregne den totale energien per masse for raketten.
   • Dette er relevant fordi energien til raketten vil p?virke dens evne til ? unnslippe det sorte hullets gravitasjon.

3. Effektivt Potensial og Ekstremumspunkter:

   • Vi bruker den generelle relativistiske uttrykket for det effektive potensialet for ? finne minimum og maksimum av det effektive potensialet. Disse punktene indikerer mulige stabile og ustabile baner for raketten.
   • Ved ? bestemme disse punktene kan vi forutsi rakettenes bane.

4. Vinkelmoment per Masse for Rakett:

   • Vi beregner spinnet per masse (\(L/m\)) for raketten. Dette er viktig for ? forst? rakettenes rotasjonsdynamikk og hvordan dette p?virker banen.

5. Numerisk Analyse og Plotting:

   • Vi setter inn tall i uttrykket for \(L/m\) og plotter det effektive potensialet. Dette gir oss en visuell representasjon av de mulige banene for raketten og hjelper oss ? avgj?re om den vil bli fanget av det sorte hullet.

6. Tid til Singulariteten:

   • Hvis raketten blir fanget, beregner vi tiden det tar for astronauten ? n? singulariteten fra det ?yeblikket han krysser hendelsehorisonten. 

7. Astronautens Skjebne N?r Singulariteten:

   • Vi diskuterer hva som skjer med astronauten f?r han n?r singulariteten, med fokus p? konseptet om "spagettifisering" p? grunn av ekstreme forskjeller i gravitasjonskrefter.

Konklusjon

1. Vinkelmoment per Masse: Vi fant at spinn per masse for raketten er omtrent \(37.9\). Dette tallet er et direkte resultat av rakettenes hastighet, vinkel ved utskyting, og dens avstand fra det sorte hullet. Spinnet spiller en kritisk rolle i ? bestemme rakettenes bane, og denne relativt h?ye verdien indikerer en betydelig rotasjonell bevegelse i forhold til det sorte hullet.

2. Analyse av Effektivt Potensial: Ved ? bruke dette tallet i en analyse av det effektive potensialet, kan vi forst? mer om rakettenes bane. Spesielt kan vi bruke dette til ? vurdere om raketten har nok energi til ? unng? ? bli fanget av det sorte hullet. Hvis rakettenes totale energi per masse er lavere enn det maksimale effektive potensialet, vil den bli fanget. Omvendt, hvis energien er h?yere, har den en sjanse til ? unnslippe. Et typisk plott vil se noe slikt ut:

 

 

 

 

 

 

 

Her ser vi toppen som illustrerer den kritiske energien per masse. Dersom man har en kritisk energi per masse som er mindre vil man falle inn i hullet. 

For det sorte hullet i dette eksperimentet fikk vi f?lgende graf:

Som vi ser er energien per masse her over den kritiske energien per masse som er ved toppen til plottet. Dermed kan vi konkludere med at vi ikke vil falle inn mot det sorte hullet.

Fall inn mot det sorte hullet: 

• Ekstreme gravitasjonskrefter: Etter hvert som astronauten n?rmer seg singulariteten, blir forskjellen i gravitasjonskraft mellom de delene av kroppen som befinner seg n?rmest singulariteten og de delene som befinner seg lenger unna, ekstremt stor.
• Spagettifisering: Resultatet er at astronautens kropp blir strukket i retning mot singulariteten (radialt) og komprimert langs de vinkelrette aksene. Denne strekk- og sammentrykkingseffekten kalles p? folkemunne "spagettifisering".
• Astronautens form: Like f?r astronautens kropp n?r singulariteten, vil den p? grunn av enorme gravitasjonskreftene bli forlenget til en sv?rt tynn, spagettilignende form.

I figuren under kan du se en visualisering av spagettifiseringen.

Beregninger

Vi begynner med ? vise at vi kan skrive \(\frac{E}{m} = \sqrt{1-{2M\over r}}\gamma_{skall}\). La oss begynne med ligningen for energi per masse. Den er gitt ved

\(\frac{E}{m} = \left(1 - \frac{2M}{r}\right) \frac{dt}{d\tau}\)

N? kan vi bruke noen kjente relasjoner mellom \(dt\) og \(dt_{skall}\), og mellom \(d\tau\) og \(d\tau_{skall}\). Da f?r vi

\(dt = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{2M}{r}}} dt_{\text{skall}} \)

\( d\tau = \frac{1}{\gamma_{\text{skall}}} dt_{\text{skall}} \)

\(\implies \frac{dt}{d\tau} = \frac{\sqrt{\gamma_{\text{SH}}}}{\sqrt{1 - \frac{2M}{r}}}\)

Jeg vil nevne at relasjonen 

\(d\tau = \frac{1}{\gamma_{\text{skall}}} dt_{\text{skall}}\)
ikke alltid gjelder. Dette stemmer kun lokalt for skallobservat?ren og fritt-fallende observat?r n?r de er n?r hverandre.

Videre setter vi dette inn i likningen for energi per masse, og f?r

\(\frac{E}{m} = \left(1 - \frac{2M}{r}\right) \frac{dt}{d\tau} = \left(1 - \frac{2M}{r}\right) \frac{\sqrt{\gamma_{\text{skall}}}}{\sqrt{1 - \frac{2M}{r}}} \)

\(\implies\frac{E}{m} = \frac{r}{\sqrt{1 - \frac{2M}{r}}} \gamma_{\text{skall}}\)

Videre skal vi finne et uttrykk for avstanden fra det sorte hullet som gir et maksimum og minimum for det effektive potensialet.

For ? finne potensialet kan vi bruke denne ligningen:

\(\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 = \left(\frac{E}{m}\right)^2 - \left(1 - \frac{2M}{r}\right) \left(1 + \left(\frac{L}{mr}\right)^2\right)\)

\( \implies V(r) = \sqrt{\left(1 - \frac{2M}{r}\right) \left(1 + \left(\frac{L}{mr}\right)^2\right)}\)

For ? finne \(r_{extremum}\) kan vi l?se \({dV(r)\over dr}=0\). Vi bruker at

\(\frac{d}{dt} \sqrt{x(t)} = \frac{x'(t)}{2\sqrt{x(t)}}\)

Fra dette f?r vi 

\(\frac{dV(r)}{dr} = \frac{\left(1 - \frac{2M}{r}\right)'}{\left(1 + \left(\frac{L}{mr}\right)^2\right)} + \frac{\left(1 - \frac{2M}{r}\right)}{\left(1 + \left(\frac{L}{mr}\right)^2\right)'} \frac{2}{r\left(1 - \frac{2M}{r}\right)\left(1 + \left(\frac{L}{mr}\right)^2\right)} = 0\)

I tillegg ser vi at 

\(\left(1 - \frac{2M}{r}\right)' = \frac{2M}{r^2}\)

\(\left(1 + \left(\frac{L}{mr}\right)^2\right)' = 2 \left(\frac{L}{m}\right)^2 \frac{1}{r^3} \)

Dette gir videre 

\(\frac{dV(r)}{dr} = \frac{M}{r^2} \left(1 + \left(\frac{L}{mr}\right)^2\right) - \frac{\left(1 - \frac{2M}{r}\right) \left(\frac{L}{m}\right)^2}{r^3} \frac{1}{r\left(1 - \frac{2M}{r}\right)\left(1 + \left(\frac{L}{mr}\right)^2\right)} = 0 \)

Da gjenst?r kun det i telleren av br?ken. Det gir oss 

\(\frac{M}{r^2} \left(1 + \left(\frac{L}{mr}\right)^2\right) - \frac{\left(1 - \frac{2M}{r}\right) \left(\frac{L}{m}\right)^2}{r^3} = 0 \)

\(\frac{M}{r^2} + \frac{M\left(\frac{L}{m}\right)^2}{r^4} - \frac{\left(\frac{L}{m}\right)^2}{r^3} + \frac{2M\left(\frac{L}{m}\right)^2}{r^4} = 0 \quad \cdot r^4 \)

\(Mr^2 - \left(\frac{L}{m}\right)^2 r + 3M\left(\frac{L}{m}\right)^2 = 0 \)

Ved hjelp av abc-formelen kan vi l?se dette og f?r:

\(r = \frac{\left(\frac{L}{m}\right)^2 \pm \sqrt{\left(\frac{L}{m}\right)^4 - 4 \cdot 3M^2\left(\frac{L}{m}\right)^2}}{2M} \)

Alts? er \(r_{extremum}\) gitt ved

\(r_{\text{ekstremum}} = \frac{\left(\frac{L}{m}\right)^2}{2M} \left(1 \pm \sqrt{1 - \frac{12M^2}{\left(\frac{L}{m}\right)^2}}\right) \)

Fra skissen av potensialet kan vi konkludere med at den minste \(r_{extremum}\) er for maksimum av potensialet, og at den st?rste \(r_{extremum}\) er for minimum. Dermed vet vi at 

\(r_{\text{max}} = \frac{\left(\frac{L}{m}\right)^2}{2M} \left(1 - \sqrt{1 - \frac{12M^2}{\left(\frac{L}{m}\right)^2}}\right) \)

og 

\(r_{\text{min}} = \frac{\left(\frac{L}{m}\right)^2}{2M} \left(1 + \sqrt{1 - \frac{12M^2}{\left(\frac{L}{m}\right)^2}}\right) \)

N? skal vi fors?ke ? relatere forholdet mellom masse og spinn til blant annet hastigheten til skallobservat?ren. Fra definisjonen av spinn har vi

\(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})\)

Ved bruk av enhetsvektorer kan dette skrives om til \( \vec{v} = v_r \vec{e}_r + v_\phi \vec{e}_\phi, \quad \vec{r} = r \vec{e}_r \). Her er \(v_\phi=r{d\phi\over dt}\). Fordi \(\vec{e_r}\times\vec{e_r}=0\) f?r vi

\( \vec{L} = m(\vec{r} \times \vec{v}) = r^2 \frac{d\phi}{dt} (\vec{e}_r \times \vec{e}_\phi) \\ \)

Vi vet at \((\vec{e_r}\times\vec{e_\phi})\) gir en annen enhetsvektor i dette koordinatsystemet, og at massen er invariant. Derfor f?r vi at f?lgende \({L\over m}={|\vec L|\over m}\) blir 

\( \frac{L}{m} = r^2 \frac{d\phi}{dt} \\ \)

Siden vi her ser p? egentid velger vi ? sette \(t=\tau\) s? vi f?r

\( \frac{L}{m} = r^2 \frac{d\phi}{d\tau} \\ \)

Kryssproduktet over ga f?lgende:

\( L = rp \cdot \sin\phi \)

Fra figuren ser vi at oppskytningen skjer ved  \(r = R = 20M\) og \(\phi=\theta\). Dersom det er skallobservat?ren som observerer er \(p=p_{skall}\). Det gir videre

\(L = R \cdot p_{\text{skall}} \cdot \sin \theta \\ \)

Fordi vi har en skallobservat?r kan vi for alle lokale hendelser bruke prinsipper fra spesiell relativitetsteori, og der er \(p_{skall}\) gitt ved

\(p_{\text{skall}} = m \cdot \gamma_{\text{skall}} \cdot v_{\text{skall}}\)

Ved ? kombinere dette med forrige uttrykk ser vi at 

\(\frac{L}{m} = R \cdot \gamma_{\text{skall}} \cdot v_{\text{skall}} \cdot \sin \theta\)

N? skal vi regne ut hvor lang tid det vil ta for astronauten, m?lt fra hans klokke, ? komme inn til singulariteten dersom han faller inn i det sorte hullet. Med utgangspunkt i at \({E\over m}\neq1\) m? vi utvikle en ny tiln?rming. Vi begynner med energi per masse-ligningen:

\( \frac{E}{m} = \left( 1 - \frac{2M}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \\ \)

Dette f?rer oss til at

\(d\tau^2 = \left( 1 - \frac{2M}{r} \right) \left( \frac{E}{m} \right)^{-2} dt^2\)

\(\frac{dt}{d\tau} = \frac{E}{m} \left( 1 - \frac{2M}{r} \right)^{-1}\)

Vi vet at \(d\tau^2 = dS^2\), og anvender Schwarzshild-geometrien.

Vi antar ingen bevegelse i \(\phi\)-retningen, som tilsier at \(L=0\). Dermed f?r vi:

\( \left( 1 - \frac{2M}{r} \right) dt^2 - \frac{dr^2}{1 - \frac{2M}{r}} = \left( 1 - \frac{2M}{r} \right) \left( \frac{E}{m} \right)^{-2} dt^2 \\ \)

\(\Rightarrow \left( 1 - \frac{2M}{r} \right) - \left( \frac{dr}{dt} \right)^2 \left( 1 - \frac{2M}{r} \right) = \left( 1 - \frac{2M}{r} \right) \left( \frac{E}{m} \right)^{-2} \\ \)

\( \Rightarrow \left( \frac{dr}{dt} \right)^2 = \left( 1 - \frac{2M}{r} \right)^2 \left( 1 - \left( 1 - \frac{2M}{r} \right) \left( \frac{E}{m} \right)^{-2} \right) \\ \)

\(\frac{dr}{dt} = \left( 1 - \frac{2M}{r} \right) \sqrt{1 - \left( 1 - \frac{2M}{r} \right) \left( \frac{E}{m} \right)^{-2}} \\ \)

Inne i hendelsehorisonten til et sort hull, mister \(dt\) sin relevans, og vi m?ler i stedet \(\tau\). 

Vi omformer \(\frac{dr}{d\tau} = \frac{dr}{dt} \cdot \frac{dt}{d\tau}\), som gir:

\(\frac{dr}{d\tau} = \left( 1 - \frac{2M}{r} \right) \sqrt{1 - \left( 1 - \frac{2M}{r} \right) \left( \frac{E}{m} \right)^{-2}} \cdot \frac{E}{m} \left( 1 - \frac{2M}{r} \right)^{-1} \\ \)

\( = \sqrt{\left( \frac{E}{m} \right)^2 - \left( 1 - \frac{2M}{r} \right)} \\ \)

Dette samsvarer med hva vi ville forvente n?r \(L=0\).

Vi separerer og integrerer begge sider for ? finne tiden fra hendelsehorisonten til singulariteten:

\( d\tau = \left( \left( \frac{E}{m} \right)^2 - \left( 1 - \frac{2M}{r} \right) \right)^{-\frac{1}{2}} dr \\ \)

\( \tau = \int_{0}^{2M} \left( \left( \frac{E}{m} \right)^2 - \left( 1 - \frac{2M}{r} \right) \right)^{-\frac{1}{2}} dr \\ \)

Dette resulterer i at \(\tau \approx 0.242 M\). Ved ? sette inn \(M = 4 \cdot 10^6 M_{\odot}\), finner vi at det tar \(\tau \approx 4.767s\) ? n? singulariteten fra hendelsehorisonten.

Da var vi ferdige med ? se p? hva som skjer dersom vi faller inn i det sorte hullet. I neste blogginnlegg skal vi se videre p? relativistiske effekter p? fotoner.