Situasjon
Her fokuserer vi hovedsakelig p? fotoner n?r de beveger seg gjennom et gravitasjonsfelt er et resultat av et sort hull. De viktigste objektene og hendelsene av interesse i dette scenarioet er:
- Fotoner: Dette er partiklene som vi analyserer bevegelsen til i gravitasjonsfeltet.
- Gravitasjonsfelt: Generert av et massivt objekt (et sort hull). Dette p?virker banen og hastigheten til fotonene.
- Skallobservat?r: En observat?r plassert i et spesifikt referansesystem, brukt til ? m?le den radielle lyshastigheten \(dr_{skall}\over dt_{skall}\).
De viktigste sp?rsm?lene vi ?nsker ? finne svar p? er:
- Hvordan p?virker gravitasjon bevegelsen av lys? Vi s?ker ? forst? hvordan gravitasjonsfeltet endrer banen og hastigheten til fotoner, ved ? studere konseptet med innvirkningsparameteren \(b\).
- Kan vi definere et effektivt potensial for lys? Ved ? unders?ke spesifikke ligninger, skal vi fors?ke ? skissere et effektivt potensial, basert p? skallhastighet, for lys i et gravitasjonsfelt.
- Er en stabil bane for lys mulig? Gjennom skissering av potensialet, ?nsker vi ? finne ut om lys kan opprettholde en stabil bane i gravitasjonsfeltet, og hvilke forhold som kan tillate det.
Metode
N?r vi studerer dette bruker vi flere grunnleggende prinsipper.
-
Generell Relativitetsteori: Som de fleste sikkert har skj?nt skal vi benytte generell relativitet, som beskriver hvordan gravitasjon er krumning av romtiden for?rsaket av masse.
-
Bevegelsesligninger for et Foton: Vi bruker spesifikke bevegelsesligninger for et foton, spesielt de som er uttrykt i form av innvirkningsparameteren \(b\). Innvirkningsparameteren er viktig da den relaterer til den n?rmeste avstanden et foton ville passere et massivt objekt hvis det ikke ble avb?yd av gravitasjon. Disse ligningene hjelper oss med ? forst? hvordan lysbanen og hastigheten endres i n?rheten av et gravitasjonsfelt.
-
Schwarzschild-metrikken: Dette er en l?sning p? Einsteins feltligninger som beskriver det gravitasjonsfeltet utenfor en sf?risk masse. Schwarzschild-metrikken er relevant fordi den lar oss beregne hvordan romtiden krummes av et massivt objekt som et sort hull, og dermed p?virker fotoners bane.
-
Effektivt Potensial for Lys: Vi ser p? ? definere et effektivt potensial for lys, som hjelper til med ? forst? energidynamikken til lys i et gravitasjonsfelt. Dette konseptet er n?dvendig for ? vurdere om lys kan opprettholde en stabil bane rundt det sorte hullet.
-
Grafisk Analyse: Skissering av potensialet er en viktig metode for ? visualisere mulige baner for lys. Ved grafisk ? representere det effektive potensialet, kan vi utlede betingelsene der lys kan oppn? en stabil bane eller bli fanget av gravitasjonsfeltet.
Konklusjon
N? har vi unders?kt hvordan lys oppf?rer seg i n?rheten av et sort hull, et objekt med ekstrem masse. Gjennom analyser og grafiske fremstillinger av potensialkurven som du kan se under, har vi kommet frem til flere viktige konklusjoner om lysets oppf?rsel i et slikt kraftig tyngdefelt.
For det f?rste fant vi at lys faktisk kan g? i bane rundt et sort hull, noe som understreker det sorte hullets sterke gravitasjonelle p?virkning. Dette er spesielt interessant fordi det viser en direkte konsekvens av generell relativitetsteori i ekstreme kosmiske forhold.
Vi identifiserte tre mulige utfall for lys som n?rmer seg et sort hull:
- Lys som Passerer og Forlater: Lys som kommer inn i tyngdefeltet og reiser ut igjen, liknende en komet som avb?yes av en planets tyngdefelt f?r den kastes ut mot universet igjen. Dette skjer n?r lyset ikke n?r det kritiske potensialet.
- Lys som Blir Fanget: Lys som reiser for n?rt det sorte hullet, overkommer det kritiske potensialet, og blir sugd inn i det sorte hullet. Dette utfallet er uunng?elig ettersom lyset ikke kan reise raskere enn lyshastigheten for ? unnslippe.
- Lys i Ustabil Bane: Lys som treffer akkurat den radien der det ligger p? den ustabile potensial-bakketoppen (det kritiske potensialet) og g?r i en sv?rt ustabil sirkelbane rundt det sorte hullet. Enhver liten forstyrrelse kan sende lyset enten ut i universet eller inn i det sorte hullet.
Beregninger
N? skal vi gj?re noen beregninger for ? se p? den radielle lyshastigheten sett fra skallobservat?ren. Vi begynner med ? ta utgangspunkt i bevegelsesligningen for lys. Den er gitt ved
\( dr = \pm \sqrt{1 - \frac{2M}{r}} \sqrt{1 - \left(\frac{L}{Er}\right)^2 \left(1 - \frac{2M}{r}\right)} dt \)
Videre innf?rer vi en ny parameter kalt innvirkningsparameteren. Den kaller vi \(b\) og definerer med \(b = \frac{L}{p}\). For lys har vi \(p=E\) for lys, og f?r derfor \(b = \frac{L}{E}\). Vi kan sette dette inn i bevegelseligningen for lys og f?r
\( dr = \pm \sqrt{1 - \frac{2M}{r}} \sqrt{1 - \left(\frac{b}{r}\right)^2 \left(1 - \frac{2M}{r}\right)} dt \)
\( \implies \left(\frac{dr}{dt}\right)^2 = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^2 \left(1 - \left(\frac{b}{r}\right)^2 \left(1 - \frac{2M}{r}\right)\right) \)
Videre kan vi bruke relasjonen mellom \(dr\) og \(dr_{skall}\), og \(dt\) og \(dt_{skall}\).
\( dr = \frac{r}{\sqrt{1 - \frac{2M}{r}}} dr_{skall}, \quad dt = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{2M}{r}}} dt_{skall} \)
Dette gir oss
\( \left(\frac{dr}{dt}\right)^2 = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^2 \left(\frac{dr_{skall}}{dt_{skall}}\right)^2 \)
Dersom vi setter dette inn i uttrykket over f?r vi
\( \frac{1}{\left(\frac{dr_{skall}}{dt_{skall}}\right)^2} = 1 - \left(\frac{b}{r}\right)^2 \left(1 - \frac{2M}{r}\right) \)
Da f?r vi til slutt f?lgende uttrykk:
\( \frac{1}{b^2} \left(\frac{dr_{SH}}{dt_{SH}}\right)^2 = \frac{1}{b^2} - \left(1 - \frac{2M}{r}\right) \frac{1}{r^2} \)
N? ?nsker vi ? finne et uttrykk for det effektive potensialet for lyset basert p? skallhastigheten. Vi begynner med ? ta utgangspunkt i f?lgende ligning:
\( \left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 = \left(\frac{E}{m}\right)^2 - \left(1 - \frac{2M}{r}\right) \left(1 + \left(\frac{L}{mr}\right)^2\right) \)
Gjennom ? bruke ligningen for energi per masse kan vi uttrykke \(d\tau\) slik:
\( d\tau = \left(1 - \frac{2M}{r}\right) \frac{m}{E} dt \)
Kombinerer vi dette med ligningen over f?r vi
\( \left(\frac{dr}{dt}\right)^2 = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^2 \left(1 - \left(\frac{b}{r}\right)^2 \left(1 - \frac{2M}{r}\right)\right) \)
Dersom vi bruker innvirkningsparameteren fra forrige oppgave f?r vi for en skallobservat?r dette:
\( \frac{1}{b^2} \left(\frac{dr_{skall}}{dt_{skall}}\right)^2 = \frac{1}{b^2} - \left(1 - \frac{2M}{r}\right) \frac{1}{r^2} \)
Videre kan vi flytter p? leddene slik at alle de konstante er p? en side, mens de andre er p? andre siden. Da f?r vi
\( \frac{1}{b^2} \left(\frac{dr_{skall}}{dt_{skall}}\right)^2 + \left(1 - \frac{2M}{r}\right) \frac{1}{r^2} = \frac{1}{b^2} \)
Dette kan gjenkjennes fra f?lgende ligning:
\( Bv^2_{skall,r} + V(r)^2 = A \)
Herfra ser vi at vi kan skrive potensialet p? f?lgende m?te:
\( V(r)^2 = \left(1 - \frac{2M}{r}\right) \frac{1}{r^2} \Rightarrow V(r) = \sqrt{\left(1 - \frac{2M}{r}\right)} \)
Da var vi ferdige med generell relativitetsteori, og skal se videre p? stjernen i solsystemet v?rt i de siste blogginnleggene.