Situasjon
I denne situasjonen er hovedobjektene vi ser p? to GPS-satellitter som beveger seg i en sirkul?r bane rundt ekvatoren p? en planet, og en observat?r som befinner seg p? et fast punkt p? planetens overflate. Satellittene sender kontinuerlig ut signaler som inneholder informasjon om posisjonen deres \((x,y)\) og tidspunktet signalet ble sendt, m?lt p? satellittens klokke. Observat?ren, utstyrt med en planetklokke, mottar disse signalene og bruker dem til ? bestemme sin egen posisjon p? planeten.
Hovedsp?rsm?lene vi ?nsker ? besvare gjennom denne ?velsen er:
- Hvordan kan vi bruke signalene fra GPS-satellittene til ? n?yaktig bestemme v?r posisjon p? planeten?
- Hvordan p?virker relativistiske effekter, b?de fra generell og spesiell relativitetsteori, n?yaktigheten av v?r posisjonsbestemmelse?
Vi vil unders?ke hvordan tidsforskjeller p? grunn av relativistiske effekter kan p?virke synkroniseringen mellom satellitt- og planetklokker, og hvordan dette igjen p?virker v?r evne til ? bestemme n?yaktige posisjoner. Ved ? utf?re beregninger b?de med og uten korreksjon for relativistiske effekter, vil vi kunne observere og forst? forskjellene som oppst?r.
For ? illustrere situasjonen mer detaljert, har jeg laget f?lgende tabell:
| Hendelse/Objekt | Beskrivelse |
|---|---|
| GPS-satellitt 1 | Sender ut posisjons- og tidssignaler fra sin bane rundt ekvatoren. |
| GPS-satellitt 2 | Ligner satellitt 1, og bidrar til ? gi en mer n?yaktig posisjonsbestemmelse. |
| Observat?r | Mottar signaler fra begge satellittene for ? bestemme sin posisjon p? planeten. |
Metode
For ? studere scenarioet med GPSen brukte vi en rekke fysiske prinsipper og teorier, hovedsakelig fra omr?dene himmelmekanikk og relativitetsteori. Disse prinsippene brukes for ? tolke signalene vi mottar fra GPS-satellittene, og for ? beregne posisjonen v?r p? planeten.
-
Himmelmekanikk og Kepler's Lover: Disse lovene er grunnleggende for ? forst? satellittbaner og bevegelsen deres rundt en planet. Ved ? bruke Kepler's lover kan vi beregne satellittenes h?yde og hastighet i bane, noe som er n?dvendig for ? forst? tidsforsinkelsen i signalene de sender.
-
Lysutbredelse og Hastigheten til Lys: I dette tilfellet antar vi at signalene fra satellittene beveger seg med lysets hastighet. Dette er viktig for ? beregne tidsforsinkelsen fra n?r et signal sendes til det mottas, og dermed bestemme avstanden til satellitten.
-
Relativitetsteori: B?de generell og spesiell relativitetsteori er relevante her. Generell relativitetsteori hjelper oss ? forst? hvordan gravitasjonen fra planeten kan p?virke tidsforl?pet p? satellittene sammenlignet med p? planeten. Spesiell relativitetsteori er relevant for ? forst? hvordan satellittenes hastighet p?virker tidsforl?pet om bord sammenlignet med p? planeten.
Noen grunnleggende ligninger som er relevante:
-
Lysutbredelsesligningen: \(c={\Delta d\over\Delta t}\), hvor \(c\) er lysets hastighet, \(\Delta d\) er avstanden lyset har reist, og \(\Delta t\) er tidsforskjellen mellom utsendelse og mottak av signalet. Denne ligningen brukes til ? beregne avstanden til satellittene basert p? tidsforsinkelsen av deres signaler.
-
Relativistiske korreksjoner: For ? korrigere for relativistiske effekter, m? vi ta hensyn til b?de tidsdilatasjon p? grunn av satellittenes hastighet (spesiell relativitet) og gravitasjonell tidsdilatasjon (generell relativitet). Disse effektene justerer tiden som er registrert p? satellittene til tiden som ville blitt m?lt p? planeten.
Ved ? anvende disse prinsippene og ligningene, kan vi n?yaktig beregne posisjonen v?r p? planeten ved ? analysere GPS-signalene, b?de med og uten korreksjon for relativistiske effekter. Dette vil vise oss hvordan relativitetsteorien p?virker praktiske anvendelser som satellittnavigasjon.
Konklusjon
Denne ?velsen har demonstrert viktigheten av ? ta hensyn til relativistiske og gravitasjonelle effekter n?r man beregner posisjoner ved hjelp av GPS. Gjennom ? analysere satellittsignaler og deres interaksjon med ulike fysiske lover, har vi sett hvordan selv sm? avvik i tidsm?linger kan f?re til betydelige feil i posisjonsbestemmelse over tid.
Ved ? bruke Newtons lover, lysutbredelse og Schwarzchild-geometri, kunne vi f?rst beregne en n?yaktig posisjon basert p? satellittdata. Imidlertid, n?r vi tok hensyn til relativistiske effekter, oppdaget vi at posisjonsbestemmelsen avvek betydelig over tid. Etter omtrent tre og en halv time viste v?re beregninger en feil p? nesten 160 meter. Dette understreker at selv sm? tidsforskjeller, for?rsaket av relativistiske effekter, kan f?re til store feil i posisjonsbestemmelse over tid.
Form?let med denne ?velsen var ? demonstrere hvordan grunnleggende fysikkprinsipper, spesielt innen relativitetsteori, er avgj?rende for n?yaktigheten i moderne teknologier som GPS. Selv om GPS er et ekstremt n?yaktig verkt?y, er det avhengig av kontinuerlige korreksjoner for relativistiske effekter for ? opprettholde sin n?yaktighet. Dette viser den dype sammenkoblingen mellom teoretisk fysikk og praktiske anvendelser i v?r daglige teknologi. Uten disse korreksjonene ville GPS-systemet gradvis bli mindre n?yaktig, noe som illustrerer viktigheten av ? forst? og anvende relativistiske prinsipper i moderne teknologi.
Beregninger
N? skal vi gj?re noen beregninger knyttet til GPS-satellitter for ? finne posisjonen. Vi begynner med ? lage en fil der vi ser p? posisjonen til to satellitter og tidspunktene n?r de sender ut et lyssignal. Vi befinner oss p? et annet tidspunkt der vi mottar signalet ved en gitt tid.
F?rst skal vi finne h?yden til satellittene over planeten. Vi har at vektorene er
\(\vec{r_1}=(-8761.510,-16391.601)km\)
\(\vec{r_2}=(-15738.491,-9814.787)km\)
Fra Pytagoras f?r vi da at h?ydene til de to satellittene over planetens sentrum er
\(r_1=|\vec{r_1}|=18586.25km\)
\(r_1=|\vec{r_1}|=18548.05\)
Fra Newtons gravitasjonslov har vi \(v=\sqrt{\gamma M\over r}\)
Det gir
\(v_1=3885.4m/s\)
\(v_2=3889.4m/s\)
Videre skal vi fors?ke ? finne posisjonen til personen p? planeten som mottar signalene fra satellittene. Ved ? bruke trilaterasjonsteknikker, kan vi bestemme v?r egen posisjon. Avstanden til satellittene kan uttrykkes som \(c\Delta t\), som representerer avstanden str?lingen fra satellitten m? tilbakelegge for ? n? oss.
\(\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}_{\text{sat}} \right| = c\Delta t\)
For ? beregne vinkelen \(\alpha\) mellom to vektorer, benytter vi f?lgende metode:
\((\mathbf{r} - \mathbf{r}_{\text{sat}})^2=c^2\Delta t^2\)
\(|\mathbf{r}|^2 - 2\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}_{\text{sat}} + |\mathbf{r}_{\text{sat}}|^2 = c^2\Delta t^2\)
\(2|\mathbf{r}| \cdot |\mathbf{r}_{\text{sat}}| \cdot \cos\alpha = |\mathbf{r}|^2 + |\mathbf{r}_{\text{sat}}|^2 - c^2\Delta t^2\)
\(\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{|\mathbf{r}|^2 + |\mathbf{r}_{\text{sat}}|^2 - c^2\Delta t^2}{2|\mathbf{r}| \cdot |\mathbf{r}_{\text{sat}}|}\right)\)
Vinkelen \(\alpha\) m? n? enten legges til eller trekkes fra satellittvektorens vinkel \(\theta\), for ? finne v?r posisjonsvinkel \(\phi\).
For ? konvertere fra polarkoordinater til kartesiske koordinater, benytter vi
\(\mathbf{r} = (r_p \cos\phi, r_p \sin\phi) \)
Med f?lgende beregninger:
\(\Delta t = t - t_{\text{sat}}\)
\(\alpha_r = \cos^{-1}\left(\frac{|\mathbf{r}_p|^2 + |\mathbf{r}_r|^2 - c^2\Delta t^2}{2|\mathbf{r}_p| \cdot |\mathbf{r}_r|}\right) = \pm 2.2214\\ \)
\(\alpha_b = \cos^{-1}\left(\frac{|\mathbf{r}_p|^2 + |\mathbf{r}_b|^2 - c^2\Delta t^2}{2|\mathbf{r}_p| \cdot |\mathbf{r}_b|}\right) = \pm 1.6978 \)
Satellittenes vinkler finnes fra deres kartesiske koordinater:
\(\theta_r = \tan^{-1}\left(\frac{-6349.44}{18943.565}\right) = -2.0616 \\ \)
\(\theta_b = \tan^{-1}\left(\frac{-1026.955}{10920.075}\right) = -2.5853 \)
Dette gir oss posisjonsvinklene:
\(\phi = -2.0616 \pm 2.2214 \)
\(\phi = -2.5853 \pm 1.6978 \)
\(\phi_r = -4.28304 \)
\(\mathbf{r} = (-5116.132km, 4165.155km)\)
Videre kan man regne p? det relativistisk for ? se betydningen av relativitetsteoriene. Da vil man se at det vil v?re betydelige avvik i posisjon. Vi velger her ? la det v?re en oppgave til leseren ? utforske det videre.
I neste blogginnlegg skal vi se videre p? en rakett rundt et sort hull.