Situasjon
Vi ser p? et objekt som beveger seg gjennom tre punkter i rommet, hvert med ulik radiell avstand fra en sentral masse. Objektets bane og tidsintervallene det tar ? krysse disse banene skal vi se p? i denne analysen. Hovedsp?rsm?lene vi ?nsker ? svare p?, er: Hvordan forholder objektets bevegelse mellom disse punktene seg til begrepet maksimal aldring? Og kan vi p?vise at spinnet bevares i dette scenarioet?
Metode
For ? gj?re dette skal vi bruke Schwarzschild-linjeelementet, som beskriver romtiden rundt en ikke-roterende, sf?risk symmetrisk masse. Dette elementet brukes for ? forst? romtidens geometri i den generelle relativitetsteorien. Vi bruker det til ? beregne de riktige tidsintervallene for ulike deler av objektets bane. Prinsippet om maksimal aldring, som sier at et objekt i fritt fall i romtiden alltid vil ta den banen som maksimerer egentiden, brukes til ? utlede en sammenheng mellom objektets ispinn og bevegelse. Dette forholdet sammenlignes deretter med klassiske konsepter for spinn for ? se hvordan de konvergerer ved lave hastigheter.
Konklusjon
Eksperimentet demonstrerer bevaring av spinn i en relativistisk kontekst, og viser at det er konsistent med klassisk fysikk under visse betingelser. Som vi har sett konvergerer forutsigelsene i den generelle relativitetsteoriens med klassisk mekanikk n?r det gjelder lave hastigheter. Dette er med p? ? styrke ideen om at klassisk fysikk er et spesialtilfelle innenfor relativitetsteorien. Vi ser ogs? hvor viktig den generelle relativitetsteorien er for ? forst? hvordan objekter beveger seg i sterke gravitasjonsfelt, og f?r bedre forst?else for de grunnleggende prinsippene i den generelle relativitetsteorien.
Beregninger
N? skal vi studere bevegelsen til et objekt som passerer gjennom tre punkter til bestemte tider, med en variabel vinkelposisjon som den frie parameteren, og antar konstant radius mellom disse punktene. Punktene er gitt i polarkoordinater ved \((r_1,\phi_1)\), \((r_2,\phi_2)\) og \((r_3,\phi_3)\). Objektet befinner seg ved de ulike punktene ved tidene \(t_1\), \(t_2\) og \(t_3\). N? skal vi fors?ke ? finne et uttrykk for tidsintervallet fra \(t_1\) til \(t_3\).
For ? gj?re det skal vi bruke Schwarzschild-linjeelementet, som er en matematisk beskrivelse av tidrommet rundt en sf?risk, ikke-roterende masse, som brukes i generell relativitetsteori for ? forst? gravitasjonens effekter.
Den er gitt ved
\(ds^2 = -\left(1 - \frac{2M}{r}\right) dt^2 + \frac{1}{1 - \frac{2M}{r}} dr^2 + r^2 d\phi^2 + r^2 \sin^2\theta d\theta^2\)
Men for radiell bevegelse (hvor \(\theta\) og \(\phi\) er konstante), forenkles linjeelementet til:
\( ds^2 = -\left(1 - \frac{2M}{r}\right) dt^2 + \frac{1}{1 - \frac{2M}{r}} dr^2 \)
I dette tilfellet er vi kun interessert i den vinkul?re delen, s? den relevante delen av linjeelementet blir:
\( ds^2 = -\left(1 - \frac{2M}{r}\right) dt^2 + r^2 d\phi^2 \)
Det ekte tidsintervallet (\(\Delta\tau\)) er relatert til linjeelementet ved \(ds^2=-d\tau^2\). Derfor kan vi for hver del av reisen skrive:
\( \Delta\tau_{12}^2 = \left(1 - \frac{2M}{r_A}\right) \Delta t_{12}^2 - r_A^2 \Delta\phi_{12}^2 \)
\( \Delta\tau_{23}^2 = \left(1 - \frac{2M}{r_B}\right) \Delta t_{23}^2 - r_B^2 \Delta\phi_{23}^2 \)
Det totale ekte tidsintervallet fra \(t_1\) til \(t_3\) er summen av intervallene for hver del:
\( \Delta\tau_{13} = \Delta\tau_{12} + \Delta\tau_{23} \)
Ved ? sette inn uttrykkene for \(\Delta\tau_{12}\) og \(\Delta\tau_{23}\) i denne ligningen f?r vi:
\( \Delta\tau_{13} = \sqrt{\left(1 - \frac{2M}{r_A}\right) \Delta t_{12}^2 - r_A^2 \Delta\phi_{12}^2} + \sqrt{\left(1 - \frac{2M}{r_B}\right) \Delta t_{23}^2 - r_B^2 \Delta\phi_{23}^2} \)
N? skal vi bruke prinsippet om maksimal aldring i generell relativitetsteori for ? demonstrere bevaring av en spesifikk st?rrelse relatert til spinnet. I henhold til dette prinsippet maksimerer banen til et objekt i fritt fall i romtiden egentiden som objektet opplever.
For ? vise matematisk at \(r^2 \frac{d\phi}{d\tau}\) er en bevart st?rrelse ved bruk av prinsippet om maksimal aldring, vurderer vi to segmenter av et objekts bane i et gravitasjonsfelt. La oss betegne disse segmentene som \(\Delta\tau_{12}\) og \( \Delta\tau_{23}\), som tilsvarer de riktige tidsintervallene for stiene mellom punktene \((r_1,\phi_1)\), \((r_2,\phi_2)\) og \((r_3,\phi_3)\). Radiene for disse segmentene er \(r_A\) og \(r_B\).
For det f?rste segmentet, kan spinn per enhetsmasse uttrykkes som:
\(\frac{r_A^2 \Delta\phi_{12}}{\Delta\tau_{12}} \)
Tilsvarende, for det andre segmentet, er det:
\(\frac{r_B^2 \Delta\phi_{23}}{\Delta\tau_{23}}\)
I henhold til prinsippet om maksimal aldring, vil banen som maksimerer den riktige tiden \(\Delta \tau\) v?re den som objektet f?lger. Dette prinsippet f?rer til bevaring av spinn i generell relativitetsteori.
For ? vise at \(r^2 \frac{d\phi}{d\tau}\) er bevart, setter vi uttrykkene fra de to segmentene lik hverandre:
\(\frac{r_A^2 \Delta\phi_{12}}{\Delta\tau_{12}} = \frac{r_B^2 \Delta\phi_{23}}{\Delta\tau_{23}}\)
N? skal vi og uttrykke denne konserverte st?rrelsen i form av skallobservat?rens tangentialhastighet og Lorentz-faktor.
Vi har vist at \(r^2 \frac{d\phi}{d\tau}\) er bevart i Schwarzschild-geometrien, noe som representerer vinkelmoment per enhetsmasse.
En skallobservat?r ved en fast radial avstand i et gravitasjonsfelt opplever tidsdilatasjon, beskrevet av Lorentz-faktoren \(\gamma_{\text{skall}}\) og beveger seg med en tangensiell hastighet \(v_{\phi,\text{skall}}\).
Det bevarte spinnet per enhetsmasse \(r^2 \frac{d\phi}{d\tau}\) kan relateres til skallobservat?rens bevegelse. Ved ? bruke Schwarzschild-metrikken, kan vi uttrykke denne bevarte st?rrelsen i form av \(\gamma_{\text{skall}}\) og \(v_{\phi,\text{skall}}\).
Resultatet er \(r^2 \frac{d\phi}{d\tau} = \gamma_{\text{skall}} r v_{\phi,\text{skall}}\).
La oss n? se hva som skjer med spinnet dersom vi ser p? ikke-relativistiske hastigheter. I klassisk mekanikk er spinnet per masseenhet \(\frac{L}{m}\) for en partikkel som beveger seg i en sirkel med radius \(r\) og tangensiell hastighet \(v\) gitt ved \(rv\).
I grensen for sm? hastigheter \(v \ll c\) n?rmer Lorentz-faktoren \(\gamma\) seg 1, og de relativistiske effektene blir ubetydelige. Dermed reduseres uttrykket \(\gamma_{\text{skall}} rv_{\phi,\text{skall}}\) til \(rv_{\phi,\text{skall}}\), som er det klassiske uttrykket for spinn per masseenhet.
Derfor, i grensen for sm? hastigheter, blir det relativistiske uttrykket \(\gamma_{\text{skall}} rv_{\phi,\text{skall}}\) ekvivalent med det klassiske uttrykket \(\frac{L}{m}\) \), noe som demonstrerer konsistensen av generell relativitetsteori med klassisk mekanikk i denne grensen.
Da har vi kommet oss gjennom prinsippet om maksimal aldring og skal i neste blooginnlegg se videre p?