Hovedpoenget er ? analysere oppf?rselen til lyssignaler som sendes ut fra begge referansesystemene, og unders?ke hvordan disse signalene oppfattes forskjellig p? grunn av relativistiske effekter som tidsdilatasjon og gravitasjonsr?dforskyvning. I tillegg skal vi beregne og tolke ulike st?rrelser, for eksempel energien per masse i det fallende romskipet og forholdet mellom tidsintervallene i de ulike bildene.
Situasjon
Vi starter med en satellitt som befinner seg i n?rheten av en planet som g?r i bane rundt et svart hull i en avstand p? 1 astronomisk enhet (AU). Denne satellitten, som er en del av det vi kaller "planetsystemet", st?r stille i forhold til planeten. Parallelt med dette har vi et romskip i fritt fall som beveger seg radielt mot det svarte hullet med en hastighet p? \(\vec v\) n?r det passerer satellitten. Dette systemet i fritt fall med romskipet kalles "romskipssystemet". Romskipet sender ut bl? lyssignaler med jevne mellomrom sett fra sitt eget referansesystem, mens satellitten sender ut r?de lyssignaler med jevne mellomrom sett fra planetsystemets perspektiv. I utgangspunktet antar vi at lyssignalet registreres ?yeblikkelig av den andre observat?ren n?r det sendes ut, og ser bort fra lyssignalets faktiske reisetid. Denne antagelsen vil bli revidert senere i ?velsen.
Relativitetsteorien er sv?rt avhengig av hvilket perspektiv man betrakter et problem fra, noe som ofte f?rer til interessante og kontraintuitive situasjoner. I v?rt tilfelle ser vi p? tre forskjellige typer observat?rer:
Fjernobservat?ren: Denne observat?ren befinner seg i stor avstand fra det sorte hullet. De betrakter hendelsene ved hjelp av Schwarzschild-geometrien til romtiden, som tar hensyn til den store krumningen for?rsaket av det svarte hullet. Denne observat?ren bruker standardkoordinater \((r,t,\phi)\), der "r" er den radiale avstanden fra det svarte hullet, "\(t\)" er tiden m?lt i observat?rens system, og "\(\phi\)" er den azimutale vinkelposisjonen.
Observat?r i fritt fall: Som navnet antyder, befinner denne observat?ren seg i fritt fall. For denne observat?ren inntreffer alle hendelser i koordinatsystemets origo, og observat?ren kan tiln?rme seg en Lorentz-geometri av romtiden for hendelser som inntreffer i n?rheten av observat?ren i l?pet av kort tid. Denne observat?rens posisjon er alltid null, og den m?lte tiden er deres egentid τ.
Skallobservat?r: Denne observat?ren befinner seg p? et stasjon?rt skall med konstant radius og observerer hendelser rundt seg. De st?ter p? unike utfordringer n?r de skal m?le avstander p? grunn av den ekstreme krumningen av romtiden p? grunn av det svarte hullet. Skallobservat?ren bruker koordinater merket med en indeks \((r_{skall},t_{skall},\phi_{skall})\) og har to m?ter ? m?le posisjonen sin p?: enten ved hjelp av omkretsen av skallet de befinner seg p?, eller ved hjelp av avstanden til et annet skall.
Hovedsp?rsm?l ? utforske
Karakterisering av observat?rene: Vi ?nsker ? kategorisere hver observat?r - fjernobservat?ren, skallobservat?ren og observat?ren i fritt fall - basert p? deres ulike perspektiver og implikasjonene av disse perspektivene p? hvordan de oppfatter og m?ler hendelser i n?rheten av et svart hull.
Forst?else av signaloverf?ring: Vi vil fors?ke ? forst? hvordan de bl? og r?de lyssignalene som sendes ut fra henholdsvis romskipet og satellitten, oppfattes og m?les av de ulike observat?rene, med tanke p? de relativistiske effektene av tidsdilatasjon og gravitasjonsr?dforskyvning.
Metode
For ? studere situasjonen har vi brukt en rekke prinsipper fra fysikken. Noen av de viktigste er:
Schwarzschild-geometri: Dette prinsippet er grunnleggende for ? beskrive romtiden rundt et ikke-roterende, sf?risk symmetrisk svart hull. Schwarzschild-metrikken gj?r det mulig ? forst? hvordan romtiden krummes av masse. Det er spesielt relevant for observat?ren som befinner seg langt unna, og som bruker Schwarzschild-koordinater \((r,t,\phi)\) til ? m?le avstander og tid.
Lorentz-transformasjon: Lorentz-transformasjonen, som er sentral i den spesielle relativitetsteorien, relaterer tids- og romkoordinatene til to observat?rer som beveger seg med konstant hastighet i forhold til hverandre. Den er spesielt relevant for ? forst? hvordan observat?ren i fritt fall og observat?ren i skallet oppfatter tid og rom.
Tidsdilatasjon og gravitasjonsmessig r?dforskyvning: Tidsdilatasjon i relativitetsteorien forklarer hvordan tiden kan g? med ulik hastighet i ulike referansesystemer. Gravitasjonell r?dforskyvning er prosessen der elektromagnetisk str?ling fra en kilde i et gravitasjonsfelt f?r redusert frekvens, eller r?dforskyves, n?r den observeres i et omr?de med et sterkere gravitasjonsfelt. Dette er avgj?rende for ? forst? hvordan lyssignalene (bl?tt og r?dt) oppfattes ulikt av observat?rer i ulike synsfelt.
Relativistisk dopplereffekt: Dette prinsippet vil bidra til ? forst? hvordan lysets frekvens endres p? grunn av den relative bevegelsen til kilden og observat?ren, noe som er spesielt relevant n?r man analyserer fargen p? lyssignalene som observeres av ulike observat?rer.
Konklusjon
Hovedfunnene var f?lgende:
Ulike observat?rers perspektiver: Vi unders?kte rollene til tre typer observat?rer - fjernobservat?ren, observat?ren i fritt fall og observat?ren i skallet. Hver observat?r opplever hendelsene forskjellig p? grunn av sine unike posisjoner og bevegelser i forhold til det svarte hullet.
Relativistiske effekter p? lyssignaler: Lyssignalene, de bl? fra romskipet og de r?de fra satellitten, ble oppfattet forskjellig av observat?rer i ulike observasjonsrammer. Etter hvert som romskipet n?rmet seg det svarte hullet, f?rte den gravitasjonsmessige r?dforskyvningen til at de bl? lyssignalene ble stadig mer r?dforskyvet n?r de ble observert fra satellitten. Fra romskipet virket de r?de lyssignalene fra satellitten derimot bl?forskyvet og ble mottatt med stadig kortere intervaller.
Beregninger av energi per masse: Energien per masse i det fallende romskipet ble beregnet og viste betydelige energiniv?er etter hvert som romskipet n?rmet seg det svarte hullet.
Effekter av tidsdilatasjon: Observasjonene viste at tidsdilatasjon spiller en avgj?rende rolle for hvordan signaler oppfattes. Satellitten observerte at signalene fra romskipet kom stadig lengre ut i tid, mens romskipet observerte det motsatte for signalene fra satellitten.
Beregninger
Vi kan begynne med ? finne et uttrykk for energien per masse for ? konvertere mellom skall-observat?r og fjerne observat?rer. Vi har allerede fra Schwarzschild-geometrien at
\({E\over M}=\left(1-{2GM\over r}\right){dt\over d\tau}\)
Her representerer \(r\) avstanden fra det sorte hullet, \(dt\) er tidsintervallet for en fjern observat?r, som p?virkes av gravitasjonsfeltet og for?rsaker tidsdilatasjon og \(d\tau\)er egentidsintervall for en fallende observat?r, eller den tiden observat?ren opplever i fritt fall, up?virket av gravitasjonens tidsdilatasjon der vedkommende befinner seg.
Videre har vi f?lgende transformasjon for tiden i de to referansesystemene
\(dt={1\over\sqrt{1-{2GM\over r}}}dt_{skall}\)
Kombinerer man disse f?r man
\({E\over M}=\sqrt{1-{2GM\over r}}{dt_{skall}\over d\tau}\)
Videre kan vi omforme dette uttrykket enda mer. For en skallobservat?r med fast radius \(r\), bruker vi begrepet lokale treghetssystemer, der den spesielle relativitetsteorien gjelder. Skallobservat?rens ramme kan tiln?rmes som en treghetssystem for en kort periode. I dette systemet er:
\(\gamma_{skall}={1\over\sqrt{1-v_{skall}^2}}\) Lorentz-faktoren der \(v_{skall}\) er skallobservat?rens hastighet relativt til det fallende objektet.
I tillegg har vi at tidsdialasjon er gitt ved \(dt_{skall}=\gamma_{skall}d\tau\), der \(\gamma_{skall}={1\over\sqrt{1-v_{skall}^2}}\). Dersom man substituerer \(dt_{skall}\) for \(\gamma_{skall}d\tau\) f?r vi
\({E\over M}=\sqrt{1-{2GM\over r}}\gamma_{skall}\)
La oss n? bruke uttrykket for ? finne energien per masse for det fallende skipet. Vi har uttrykket \({E\over M}=\sqrt{1-{2M\over r}}\gamma_{skall}\)
Her er \(\gamma_{skall}={1\over\sqrt{1-v_{skall}^2}}\)
Ved ? sette inn tall vi har f?tt fra simuleringen f?r vi det enhetsl?se svaret \({E\over M}\approx0.878\). I SI-enheter f?r vi derimot \({E\over M}\approx7.892\cdot10^8{16}{J\over kg}\).
La oss n? finne tidsintervallet \(\Delta\tau\) for det fallende skipet. Her kan vi bruke
\({E\over M}=\sqrt{1-{2M\over r}}{\Delta t\over\Delta\tau}\)
Dette gir
\(\Delta\tau={\left(1-{2M\over r}\right)\Delta t\over{E\over M}}\)
N? kan vi finne en sammenheng mellom egentiden og skalltiden ved ? bruke relasjonen mellom langt-vekk-tid og skall-tid.
\(\Delta t={1\over\sqrt{1-{2M\over r}}}\Delta t_{skall}\)
Ved ? sette dette inn i uttrykket over f?r vi
\(\Delta \tau={\left(1-{2M\over r}\right)\over{E\over M}}{1\over\sqrt{1-{2M\over r}}}\Delta t_{skall}={\sqrt{1-{2M\over r}}\over{2M\over r}}\Delta t_{skall}\)
Til slutt skal vi finne avstanden fra romskipet som faller inn mot det sorte hullet ved det f?rste og siste signalet som blir sendt inn. For ? gj?re det kan vi bruke forholdet mellom egentiden og skalltiden som vi akkurat fant. Denne kan brukes for ? lage en tiln?rming til Schwarzschild-koordinaten \(r\). Vi har
\({\Delta \tau\over \Delta t_{skall}}={\sqrt{1-{2M\over r}}\over{2M\over r}}\)
\(\left({\Delta \tau\over\Delta t_{skall}}\cdot{E\over M}\right)^2=\left(1-{2M\over r}\right)\)
\(r-r\left({\Delta \tau\over\Delta t_{skall}}\cdot{E\over M}\right)=2M\)
\(r={2M\over 1- \left({\Delta \tau\over\Delta t_{skall}}\cdot{E\over M}\right)^2}\)
Vi kan sette inn de m?lte verdiene for ? finne avstandene. Vi f?r da at
\(r_{1,2}=1.21\cdot10^{11}m=0.809AU\)
\(r_{30,31}=4.28\cdot10^{10}m=0.285AU\)
Dette virker fornuftig, siden romskipet beveger seg fra oss og n?rmer seg det sorte hullet. Ettersom vi befinner oss ved \(r=1AU\), gir det mening at romskipet holder seg innenfor en avstand kortere enn \(1AU\). Det er ogs? rimelig ? anta at romskipets posisjon er n?rmere det svarte hullet mellom signal 30 og 31 i stedet for mellom signal 1 og 2, ettersom det sender ut disse signalene betydelig senere enn signal 1 og 2.
La oss til slutt se p? litt tall for de ulike observat?rene
De f?rste parene med lyssingnaler var som f?lgende:
\(t_{skall,1} = 0s\), \(\tau_1=0s\), \(t_{skall,2}=30.0208s\), \(\tau_2=27.5415s\).
Det gir tidsintervallene \(\Delta t_{skall,1,2}=30.0208s\) og \(\Delta\tau_{1,2}=27.5415s\)
Det siste paret med lyssignaler var som f?lgende:
\(t_{skall,30}=1124.11s\), \(t_{skall,31}=1430.99s\),
Dette gir \(\Delta t_{skall,30,31}=306.88s\), og vi antar at \(\Delta \tau_{30,31}=27.5415s\) slik som i sted.
Videre kan vi bruke uttrykket vi utledet for posisjonen for ? finne avstandene. Vi fikk da \(r_{1,2}=1.211\cdot10^{11}m=0.809AU\) og \(r_{30,31}=4.277\cdot 10^{10}m=0.285AU\). Dette viser at romskipet n?rmer seg det sorte hullet.
I neste blogginnlegg fortsetter vi ? utforske den generelle relativitetsteorien gjennom samme eksperiment, men vi skal se p? andre deler av det.