Situasjonen
Scenarioet involverer to observat?rer: en i en avstand fra skallet (\(r\)) fra en sentral masse (et sort hull), og en annen langt unna denne massen. Observat?ren i skallet sender ut en laserstr?le med b?lgelengden (\(\lambda_{skall}\)). Vi er interessert i ? finne b?lgelengden \(\lambda\)slik den observeres av observat?ren langt unna. N?kkelsp?rsm?lene er hvordan tidsintervallet mellom b?lgetoppene (\(\Delta\lambda\) og \(\Delta\lambda_{skall}\)) er forskjellig for disse to observat?rene, og hvordan denne forskjellen gir seg utslag i en endring i den observerte b?lgelengden.
Metode
Metoden inneb?rer ? anvende prinsipper fra den generelle relativitetsteorien, spesielt begrepet tidsdilatasjon i et gravitasjonsfelt. Tidsintervallet mellom b?lgetoppene p?virkes av massens gravitasjonspotensial. Forholdet mellom tidsintervallene m?lt av de to observat?rene er gitt ved:
\(\Delta t={\Delta t_{skall}\over\sqrt{1-{2M\over r}}}\)
Denne ligningen er utledet med tanke p? hvordan en klokke ville oppf?re seg ved skallet \(r\). For ? finne gravitasjonsdopplerformelen bruker vi forholdet mellom frekvens og b?lgelengde, med tanke p? at frekvensen er omvendt proporsjonal med tidsintervallet mellom b?lgetoppene. Endringen i b?lgelengde er da gitt ved:
\({\Delta\lambda\over\lambda_{skall}}={\lambda-\lambda_{skall}\over\lambda_{skall}}={1\over\sqrt{1-{2M\over r}}}-1\)
For avstander \(r>>2M\) kan dette forenkles ved Taylor-ekspansjoner til
\({\Delta\lambda\over\lambda_{skall}}={M\over r}\)
Konklusjon
Dette demonstrerer effekten av gravitasjonell r?dforskyvning, og viser hvordan lysets b?lgelengde ?ker (r?dforskyves) n?r det beveger seg bort fra et massivt objekt. Dette er en grunnleggende forutsigelse i den generelle relativitetsteorien, og illustrerer hvordan gravitasjon kan p?virke lysets egenskaper.
Beregninger
Vi kan g? litt mer i detalj for ? finne et uttrykk for \(\Delta t\). Vi begynner med ? finne b?lgelengden \(\lambda\) som den stasjon?re personen langt unna det sorte hullet observerer. Observat?ren ved skallet sender ut lys en b?lgelengde \(\lambda_{skall}\) som jeg fra n? av skal kalle \(\lambda_s\). Da vil frekvensene til lyset for de to observat?rene v?re \(\nu_s={1\over\Delta t_s}\) og \(\nu={1\over\Delta t}\). Her viser tidsintervallene til tiden mellom to b?lgetopper i lyset.
For ? finne forholdet mellom de to tidsintervallene kan vi benytte Schwartzschild-linjeelementer. Schwarzschild-metrikken uttrykker matematisk hvordan rom og tid krummes av et massivt objekt, og forutsier fenomener som gravitasjonstidsdilatasjon og eksistensen av en hendelseshorisont rundt sorte hull.
Vi g?r fram slik:
\(\Delta S^2=\left(1-{2M\over r}\right)\Delta t^2-{\Delta r^2\over\left(1-{2M\over r}\right)}-r^2\Delta\phi^2\)
Ved hjelp av Lorentz-linjeelementer kan vi komme fram til f?lgende:
\(\Delta S^2=\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2=\Delta t^2-\Delta r^2-r^2\Delta\phi^2\)
Det siste leddet kommer fra at vi konverterer til polare koordinater. Her er \(\Delta S\) et s?kalt tidromselement, som forteller om hvordan avstander blir m?lt. \(\Delta \phi\) er vinkelavstanden mellom to hendelser i det polare koordinatsystemet.
Videre kan vi sette \(\Delta S^2=\Delta S_s^2\), med \(\Delta S_s^2=\Delta t_s^2-\Delta r_s^2-r_s^2\Delta\phi^2\). Da har vi
\(\Delta t_s^2-\Delta r_s^2-r_s^2\Delta\phi^2=\left(1-{2M\over r}\right)\Delta t^2-{\Delta r^2\over\left(1-{2M\over r}\right)}-r^2\Delta\phi^2\)
Vi har her at \(r^2\Delta \phi^2=r_s^2\Delta\phi^2=0\) fordi vi her studerer to hendelser som ligger p? linje langs den radielle komponenten fra origo. Alts? er vinkelforksjellen mellom dem lik 0. Fordi vi ser p? tiden mellom to b?lgetopper, som er en veldig kort tid, kan vi neglisjere bort \(\Delta r_s^2\) og \(\Delta r^2\). Da st?r vi igjen med
\(\Delta t^2={\Delta t_s^2\over\sqrt{\left(1-{2M\over r}\right)}}\)
N? skal vi se p? gravitasjonell doppler-effekt. Den vanlige formelen for doppler-skift er gitt ved \({\Delta\lambda\over\lambda}={\lambda-\lambda_s\over\lambda_s}\). Fra dette kan vi bruke \(v=\nu \lambda\) med \(v=c=1\), og \(\nu={1\over\Delta\lambda}\). Det gir \(\Delta t=\lambda\). Tilsvarende f?r vi \(\Delta t_s=\lambda_s\). Ved ? sette inn i uttrykket for doppler-skiftet f?r vi
\({{{\Delta t_s\over\sqrt{\left(1-{2M\over r}\right)}-\Delta t}-\Delta t_s}\over\Delta t_s}=\left({1\over\sqrt{1-{2M\over r}}}-1\right){\Delta t_s\over\Delta t_s}\)
Dette gir til slutt \({\Delta\lambda\over\lambda_s}={1\over\sqrt{1-{2M\over r}}}-1\)
N? skal vi se hva som skjer med doppler-effekten dersom vi er veldig langt unne, eller mer spesifikt at \(r>>M\). For ? gj?re det kan vi anvende Taylor-ekspansjoner. Vi velger her ? gj?re det rundt punktet \(a=0\) fordi br?ken \(2M\over r\) blir veldig liten for stor \(r\). Da kan vi gj?re en Taylor-ekspansjon for \(f(x)={1\over\sqrt{1-x}}-1\) med \(x={2M\over r}\) og \(a=0\). Du husker kanskje at Taylor-ekspansjonen til et polynom rundt punktet \(a\) er gitt ved
\(\sum_{n=0}^\infty{f^{(n)}(a)\over n!}(a-n)^n=f(a)+{f'(a)\over1!}(x-a)+{f''(a)\over2!}(x-a)^2+{f'''(a)\over3!}(x-a)^3+...\)
Dersom vi finner de f?rste to leddene for uttrykket v?rt f?r vi
\(f(0)=0\)
\(f'(0)={1\over2}\left(1-{2M\over r}\right)^{-{3\over2}}\approx{1\over2}\)
\((x-a)={2M\over r}\)
Fra dette f?r vi
\({\Delta\lambda\over\lambda_s}={1\over\sqrt{1-{2M\over r}}}-1\approx0+{1\over2}{2M\over r}={M\over r}\)
De som har fulgt litt ekstra godt med har lagt merke til en litt merkelig ting. Uttrykket vi akkurat utledet gir ingen mening hvis man bruker dimensjonsanalyse. Det blir helt feil enheter. Men astrofysikerne er rare og har derfor funnet m?ter ? uttrykke st?rrelser p? i andre enheter. Massen \(M\) er her faktisk uttrykt i meter. Vi kan konvertere massene p? f?lgende m?te
\(M_{meter}={GM\over c^2}\)
Her er \(G\) gravitasjonskonstanten og \(c\) er lyshastigheten. La oss finne massen til Sola i meter. Med \(M=1.989\cdot10^{30}kg\) for solen f?r vi en masse \(M_{meter}=1474.1m\). Videre kan vi finne at forholdet \({M\over r}=2.119\cdot10^{-6}\) med \(r=6955\cdot10^5m\). Dette betyr at en observat?r som er langt unna vil observere en r?dforskyvning p? \(2.119\cdot10^{-6}\). Dersom sola sender ut lys med en b?lgelengde p? \(500nm\) vil dette ikke gi noen merkbar forskjell i fargen fordi
\({\Delta\lambda\over\lambda_{skall}}={\lambda-\lambda_{skall}\over\lambda_{skall}}={M\over r}\) gir
\(\lambda={M\over r}\lambda_{skall}+\lambda_{skall}=500.00106nm\)
La oss sammenligne med jorden. Der finner vi \(M_{meter}=4.434m\) og \({M\over r}=6.961\cdot10^{-7}\).
Lys som n?r Jorden fra det ytre rom p?virkes av Jordens gravitasjonsfelt. Dette kan forst?s slik: N?r lys sendes fra Jorden, vil en observat?r langt unna oppfatte en b?lgelengde \(\lambda\), som kan beregnes ved hjelp av formelen:
\({\lambda-\lambda_{skall}\over \lambda_{skall}}={M\over r}\)?
Her er \(\lambda_{skall}\) b?lgelengden som sendes ut fra Jorden. For ? finne denne opprinnelige b?lgelengden, kan vi tenke oss prosessen baklengs. Hvis Solen er den fjerne observat?ren som ser b?lgelengden \(\lambda\), kan vi ved ? reversere prosessen finne ut hvilken b?lgelengde \(\lambda_{skall}\) vi p? Jorden vil observere hvis Solen sender ut lys med b?lgelengde \(\lambda\). Forestill deg at vi sender ut lys med b?lgelengde \(\lambda_{skall}\)? fra Jorden, som n?r den fjerne observat?ren p? Solen med b?lgelengde \(\lambda\). Ved ? tenke oss at vi spoler tiden bakover, ser det ut som om den fjerne observat?ren sendte ut lys med b?lgelengde \(\lambda\), som vi p? Jorden observerer med b?lgelengde \(\lambda_{skall}\)?. Rollene er byttet om! Dermed kan vi finne ut hvilken b?lgelengde vi p? Jorden vil observere lys som er sendt ut fra Solen. Ved ? l?se for b?lgelengden \(\lambda_{skall}\)? (som n? er \(\lambda\) i det opprinnelige uttrykket) finner vi at:
\({\lambda_{skall}-\lambda\over\lambda}={M\over r}\implies\lambda_{skall}={\lambda\over{M\over r}+1}={\lambda \cdot r\over M+r}\)
Med \(\lambda=500nm\) sendt fra Solen, f?r vi \(\lambda_{skall}=499.999nm\), som resulterer i et bl?skift p?:
\({\lambda_{skall}-\lambda\over \lambda}=-6.961\cdot10^{-7}\)
Dette viser at Jordens gravitasjonsfelt p?virker i sv?rt liten grad hvordan vi oppfatter lyset som sendes ut fra Solen.
N? skal vi finne avstanden \(r\) fra et sort hull hvor str?ling fra en kvasar, normalt ved \(\lambda=600nm\), observeres ved \(\lambda=2150nm\), og diskutere hvordan dette st?tter teorien om sorte hull i kvasarer. En kvasar er en ekstremt energirik kilde i universet, antatt drevet av gass som faller inn i et sort hull.
Vi antar at kvasaren fungerer som en skallobservat?r som sender lys til oss, som er observat?rer langt unna. Vi ignorerer Dopplereffekten fra Jordens gravitasjonsfelt grunnet dens ubetydelighet. I dette tilfellet kan vi ikke anvende v?r forenklede formel, ettersom kvasaren antas ? v?re plassert like ved det sorte hullets eventhorisont, det vil si ved \(r\approx 2M\). Dette gj?r at v?r tidligere antagelse om at \({2M\over r}\)kan tiln?rmes til null er ikke lenger gyldig, og vi m? derfor ty til det mer omfattende uttrykket vi har utledet.
\({\lambda-\lambda_{skall}\over \lambda_{skall}}={1\over\sqrt{1-{2M\over r}}}-1\)
\(\implies r=\left(1-{1\over\left({\lambda-\lambda_{skall}\over \lambda_{skall}}+1\right)^2}\right)=2M\)
\(\implies r={2M\over 1-{1\over \left({\lambda-\lambda_{skall}\over \lambda_{skall}}+1\right)^2}}={2M\left({\lambda-\lambda_{skall}\over \lambda_{skall}}\right)^2\over \left({\lambda-\lambda_{skall}\over \lambda_{skall}}\right)^2-1}\)
Dersom vi setter inn tallene f?r vi til slutt avstanden \(r=2.168M\) med \(M\) lik massen til det sorte hullet. Det plasserer for en kvasar like ved grensen til et sort hulls hendelsehorisont. Dette indikerer at kvasaren, med sin h?ye energi, faktisk kan befinne seg n?r et sort hulls hendelsehorisont. Gitt det betydelige r?dskiftet i b?lgelengdene vi observerte, er det f? objekter i universet som har et kraftig nok gravitasjonsfelt til ? for?rsake et s? markant r?dskift. Derfor styrker disse observasjonene hypotesen om at kvasarer befinner seg i n?rheten av sorte hull.
La oss studere hvordan det vil v?re for en skallobservat?r sv?rt n?rme heldelsehorisonten ? se ut mot rommet. Forestill deg at du befinner deg p? et skall like ved eventhorisonten til et sort hull, og ser ut i universet gjennom et teleskop. Selv om det er mulig ? observere universet fra denne posisjonen fordi sort hull tiltrekker seg lys, vil lyset som n?rmer seg det sorte hullet oppleve en betydelig bl?forskyvning. Dette kan vi forst? ut fra formelen
\({\lambda-\lambda_{skall}\over \lambda_{skall}}={1\over\sqrt{1-{2M\over r}}}-1\)
som indikerer at lys utstr?lt fra v?r posisjon som skallobservat?r vil oppleve sterk r?dforskyvning, noe som betyr at n?r vi inverterer situasjonen, som i oppgaven over, vil lyset vi mottar bli sterkt bl?forskj?vet. Derfor m? teleskopet vi benytter v?re i stand til ? detektere lys i den bl? delen av spekteret, ettersom alt lys som n?rmer seg oss vil gjennomg? en markant bl?forskyvning.
Da har vi forh?pentlig vis begynt ? f? litt forst?else for hvordan dopplereffekten fungerer i gravitasjonsfelt. neste blogginnlegg skal vi fortsette ? studere den generelle relativitetsteorien ved ? se p? prinsippet om maksimal aldring.