Situasjon
- Objekter/hendelser: Et n?ytron som beveger seg langs den positive x-aksen i referansesystemet til laboratoriet, henfaller til et proton og et elektron. N?ytrinoet som produseres i dette henfallet, ignoreres for enkelhets skyld.
- Hovedsp?rsm?l: Hovedm?let er ? bestemme hastigheten til protonet og elektronet etter henfallet i laboratorierammen. Dette krever en forst?else av energi- og bevegelsesmengde-forholdene b?de i n?ytronets hvileramme og i laboratorierammen. I tillegg skal vi finne momenergiens firevektor for n?ytronet i dets hvileramme og for ? forst? betydningen av hver komponent i denne vektoren. Vi skal ogs? unders?ke om massen bevares i denne prosessen. Vi tar utgangspunkt i en hypotetisk situasjon der massen er bevart (\(m_n=m_e+m_p\)) og vi skal unders?ke konsekvensene av denne antagelsen. M?let er ? forst? hvorfor massebevaring ikke er mulig i slike kjernefysiske prosesser.
Metode
Prinsipper for relativistisk fysikk: Analysen er basert p? prinsippene for spesiell relativitetsteori, spesielt transformasjon av hastigheter og bevaring av bevegelsesmengde og energi i ulike referanserammer. Vi ser ogs? p? fire-vektoren \(P_\mu'(n)\) som kombinerer romlige og tidsmessige komponenter i én enhet.
Firevektorkomponenter: I n?ytronets hvileramme er hastigheten null. Dermed er de romlige komponentene i firevektoren (knyttet til bevegelsesmengden) lik null. Den eneste komponenten som ikke er null, er tidsdelen, som er relatert til n?ytronets energi.
Energikomponent: Energikomponenten til firevektoren i n?ytronets hvileramme tilsvarer energien til n?ytronets hvilemasse, gitt ved Einsteins ber?mte ligning \(E=mc^2\), der \(c\) er lysets hastighet. Merk at vi har normaliserte hastigheter slik at \(c=1\).
Tiln?rming i n?ytronets hvileramme: I n?ytronets hvileramme er energi- og impulsuttrykkene enklere, siden n?ytronet er i hvile i forhold til denne referanserammen. Denne forenklingen er avgj?rende for enklere beregning av hastigheten til henfallsproduktene.
Overgang til laboratorierammen: Etter ? ha bestemt hastighetene i n?ytronets hvileramme, transformeres disse verdiene til laboratorierammen. Denne transformasjonen er viktig for ? forst? hvordan hastigheter og andre fysiske st?rrelser oppfattes forskjellig i ulike referanserammer.
Massebevaring: Den sentrale ligningen her er Einsteins ber?mte \(E=mc^2\), som relaterer masse til energi. I tillegg tar vi hensyn til den relativistiske faktoren \(\gamma\), som er avgj?rende for ? forst? oppf?rselen til partikler som beveger seg med hastigheter n?r lyshastigheten. Ved ? sette inn forutsetningen om massebevaring (\(m_n=m_p+m_e\)) i uttrykket for \(\gamma\), kan vi utlede uttrykk for hastigheten til protonet (\(v_p\)) og elektronet (\(v_e\)).
Konklusjoner
Fra referansesystemet til labben har n?ytronet en fire-vektor gitt ved \(P_\mu=m\gamma(1,\vec{v})=\gamma(m,\vec{p})\). Ser man derimot fra n?ytronets perspektiv vil hastigheten den har v?re 0, og derfor blir vektoren \(P'_\mu=m\gamma'(1,0)=(m,0)\). Vi ser ogs? at masse ikke kan bevares i visse kjernereaksjoner. Det ser vi gjennom at hvis \(m_n=m_e+m_p\) s? f?r vi f?lgende: \(\gamma_p'={m_n^2+m_p^2-m_e^2\over2m_pm_n}={(m_p+m_e)^2+m_p^2-m_n^2\over2m_pm_e}={2m_pm_n\over2m_p,_n}=1\). Alts? er det ingen bidrag fra Lorentz-fakoren til protonet i n?ytronets referansesystem, som betyr at den f?r en fart lik 0. Beregner man s? farten til elektronet blir denne derimot ikke lik 0, som betyr at bevegelsesmengden ikke er bevart, slik den m? v?re. Alts? kan ikke massen v?re bevart. Dette er et fundamentalt aspekt ved kjernefysikken, som belyser omdannelsen av masse til energi, som beskrevet i Einsteins relativitetsteori. Det kommer mer detaljer under.
Beregninger
La oss begynne med ? studere energien og bevegelsesmengden til n?ytronet. Vi er da interessert i ? finne en s?kalt firevektor for energi og bevegelsesmengde som ofte benyttes i relativitetsteorien. Det kalles en firevektor fordi den inneholder fire elementer. Som vi vet er energien en skalar, og bevegelsesmengden er en vektor med tre komponenter x, y og z. Firevektoren har energien og komponentene til bevegelsesmengden som sine komponenter.
Vi vet at den kinetiske energien er definert slik: \(E={1\over2}mv^2\), der \(m\) er masse og \(v\) er hastighet. Bevegelsesmengden er definert som \(\vec{P}=m\vec{v}=m(v_x,v_y,v_z)\). Vi vet at vi kan definere posisjonen i tidrommet slik: \(S=(t,x,y,z)\). Tilsvarende kan vi skrive hastigheten slik: \(v_\mu=\gamma(1,\vec{v})\). Dersom vi ganger med massen f?r vi bevegelsesmengde \(P_\mu=m\gamma(1,\vec{v})=\gamma(m,\vec{p})\). Eergikomponenten man da skrive som \(E_{rel}=m\gamma\).
Fra dette f?r vi til slutt 4-vektoren \(P_\mu=(\gamma m,\gamma mv_x,\gamma mv_y, \gamma mv_z)\).
N?ytronet henfaller som nevnt til et proton og et elektron. N? skal vi finne et uttrykk for 4-vektoren til protonet sett fra n?ytronets referansesystem. Her g?r vi fram p? tilsvarende m?te som for n?ytronet, men m? huske p? at massen \(m_p\) og hastigheten \(\vec{v}_p\) blir ulik. Da f?r vi \(P_\mu'(p)=\gamma_p'(m_p,\vec{p}_p)=\gamma_p'(m_p,m_p\vec{v}'_p)\). Her er \(\gamma'_p={1\over\sqrt{1-v_p'^2}}\).
Tilsvarende f?r vi for elektronet \(P_\mu'(e)=\gamma_e'(m_e,\vec{p}_e)=\gamma_e'(m_e,m_p\vec{v}'_e)\).
N? skal vi lage et uttrykk for 4-vektoren for n?ytronet sett fra n?ytronets perspektiv. Her er hastigheten til n?ytronet lik null. Derfor f?r vi \(P'_\mu=m\gamma_n'(1,0)=1\cdot(m,0)\).
Videre kan det v?re interessant ? finne et uttrykk for hastighetene til protonet og elektronet sett fra n?ytronets perspektiv. Dette gj?res ved ? bruke bevaringsloven om at energi og bevegelsesmengde m? v?re bevart. Dette kan skrives som \(P_\mu'(n)=P_\mu'(p)+P_\mu'(e)\)
Alts? har vi \(\gamma(m_n,0)=\gamma_p'(m_p,m_p\vec{v}'_p)+\gamma_e'(m_e,m_p\vec{v}'_e)\). Fra dette f?r vi to ligninger:
\(m_n=\gamma_p'm_p+\gamma_e'm_e\) og \(0=\gamma_p'm_p\vec{v}'_p+\gamma_e'm_e\vec{v}'_e\)
Videre bruker vi \(v_p'=\sqrt{1-{1\over \gamma_p'^2}}\) og \(v_e'=\sqrt{1-{1\over \gamma_e'^2}}\).
Da kan vi finne at \(\gamma_p'={m_n^2+m_p^2-m_e^2\over 2m_pm_n}\) som gir \(\gamma_e'={m_n-\gamma_p'm_p\over m_e}\).
Dette gir til slutt \(v_p'=\sqrt{1-{1\over \left({m_n^2+m_p^2-m_e^2\over 2m_pm_n}\right)^2}}\) og \(v'_e=\sqrt{1-{1\over \left({m_n-\gamma_p'm_p\over m_e}\right)^2}}\).
Dersom vi ?nsker en tallverdi for hastighetene m? vi f?rst finne \(\gamma_p'\). Den kan vi finne slik:
\(\gamma_p'={m_n^2+m_p^2-m_e^2\over 2m_pm_n}=0.78\)
Fra dette ser vi at farten til protonet m? v?re 0, alts? fortsetter den ? v?re der n?ytronet ville v?rt. Med massene
\(m_e=9.10938188\cdot10^{-31}kg\)
\(m_p=1.67262158\cdot10^{-27}kg\)
\(m_n=1.67492747\cdot10^{-27}kg\)
Fra dette f?r vi \(v'_e\approx0.919c\) og \(v'_p\approx1.27\cdot10^{-3}c\).
N? kan vi benytte transformasjonsegenskapene ved 4-vektorer gitt ved \(P_\mu'=c_{\mu\nu}P_\nu\) for ? finne energien og bevegelsesmengden til elektronet og protonet i labbens referansesystem. Her er \(c_{\mu\nu}\) en matrise som kj?rer Lorentztransformasjonen p? elementene i vektoren.
Vi vet fra simuleringer at hastigheten til n?ytronet relativt til bakken er \(v=v_{rel}=0.817c\).
Vi f?r f?lgende ligninger:
\(E=\gamma_{rel}E'+v_{rel}\gamma_{rel}P_x'\)
\(P_x=\gamma_{rel}P_x'+v_{rel}\gamma_{rel}E'\)
Da f?r vi f?lgende for elektronet:
\(E=7.74\cdot10^{-30}kg\) og \(P_x=7.68\cdot10^{-30}kg\)
For protonet fikk vi dette:
\(E=3.16\cdot10^{-27}kg\) og \(P_x=2.68\cdot10^{-27}kg\)
La oss n? finne farten til elektronet og protonet i referansesystemet til labben. For ? gj?re det kan vi bruke denne ligningen:
\(v={v'+v_{rel}\over1+v'v_{rel}}\)
Da f?r vi \(v_e=0.99c\) og \(v_p=0.85c\)
I neste blogginnlegg skal vi se videre p? et romskip laget av materie og et laget av antimaterie som kolliderer med hverandre og anhilierer.