Situasjon
De viktigste hendelsene i denne delen handler om kollisjonen mellom to romskip og den p?f?lgende analysen av fotonene som oppst?r ved kollisjonen. Hovedsp?rsm?lene handler om blant annet transformasjonen av momenergiens 4-vektorer og utledning av en relativistisk formel for dopplerforskyvning.
Viktige objekter/hendelser:
Romskip:
- Romskip A (materie): Reiser med hastighet \(v_A\) i forhold til planeten.
- Romskip B (antimaterie): Beveger seg med hastigheten \(v_B=-v_A\) relativt til planeten, alts? samme hastighet som A, men i motsatt retning.Observat?rer:
Observat?rer:
- Observat?r i referansesystem 1: Stasjonert p? planeten, med et koordinatsystem som ikke er primet.
- Observat?r i referansesystem 2: F?lger romskip A i et lite r?dt romskip, med et primet koordinatsystem.
Kollisjonshendelse:
- ?yeblikket da romskip A og B kolliderer, noe som resulterer i at all materie omdannes til fotoner.
Fotonanalyse:
- Studering av fotonene som oppst?r ved kollisjonen, med fokus p? b?lgelengde, energi og dopplerforskyvning.
Hovedsp?rsm?l:
- Hvordan ser den relative hastigheten til romskip B ut fra romskip A's perspektiv?
- Hvordan er uttrykkene for momenergiens firevektoren \(P^\mu(A)\) og \(P^\mu(B)\) i b?de planetens og romskipets referansesystem?
- Hvordan kan transformasjonsegenskapene til firevektorer brukes til ? analysere fotonene som ble produsert i kollisjonen?
- Hvilke konklusjoner kan man trekke om energien og b?lgelengden til fotonene, og hvordan henger disse sammen med fargen p? eksplosjonen som ble observert fra ulike referansesystemer?
Metode
Hastighetsberegning ved hjelp av Lorentz-transformasjon: Vi starter med ? beregne romskipenes relative hastigheter ved hjelp av Lorentz-transformasjon. Dette trinnet er avgj?rende for ? forst? bevegelsen i ulike referanserammer.
Momenergiens firevektorer: Deretter uttrykker vi momenergiens firevektorer for begge romskipene i planetens referansesystem. Dette inneb?rer at vi bruker hastighetene, gammafaktorene og massene deres. Det er viktig ? forst? disse vektorene for ? kunne analysere hvordan energi og impuls oppfattes i ulike rammer.
Transformasjon av firevektorer: Det neste trinnet inneb?rer ? transformere disse momenergi-firevektorene mellom planetens og romskipets rammeverk. Denne transformasjonen er n?kkelen til ? forst? de relativistiske effektene p? energi og impuls.
Fotoners energi og bevegelsesmengde: Vi viser at momenergiens firevektor for et foton som beveger seg i positiv x-retning, kan skrives som \(P_\mu^\gamma=(E,E,0,0)\). Denne representasjonen er avgj?rende for ? forst? egenskapene til fotonene som sendes ut i kollisjonen.
Bevaring av momenergien: Ved hjelp av bevaring av momenergien analyserer vi energien til fotoner som sendes ut i ulike retninger. Dette hjelper oss med ? forst? symmetrien og bevaringslovene i hendelsen.
Beregning av dopplerforskyvning og b?lgelengde: Til slutt utleder vi den relativistiske dopplerformelen og bruker den til ? beregne b?lgelengden til fotoner i ulike bilderammer, noe som f?rer til bestemmelse av fargen p? eksplosjonen slik den ble observert fra disse bildene.
Konklusjon
Ved ? beregne romskipenes relative hastigheter og analysere transformasjonen av momenergiens firevektorer fikk vi en omfattende forst?else av hvordan h?yenergihendelser oppfattes forskjellig i ulike referanserammer. Bevaring av momenergien spilte en avgj?rende rolle for ? bestemme energien og retningen til fotonene som ble sendt ut i kollisjonen. Utledningen av den relativistiske dopplerformelen var et avgj?rende skritt for ? kunne forutsi fargen p? eksplosjonen sett fra ulike perspektiver. Denne ?velsen understreket ikke bare viktigheten av bevaringslover i fysikken, men ogs? effektene av relativitetsteorien i h?yhastighetskollisjoner. Evnen til ? forutsi fargen p? eksplosjonen sett fra ulike synsvinkler demonstrerte den praktiske anvendelsen av neon teoretiske prinsipper.
Beregninger
Vi skal n? se p? to romskip som beveger seg mot hverandre. De to romskipene beveger seg med samme, men med motsatt retning. Romskip A beveger seg mot h?yre med en hastighet \(v_a=0.277498c\), og romskip B beveger seg da med en hastighet \(v_B=-0.277498c\) mot venstre. Vi skal n? se hva farten til romskip B er sett fra romskip A. Da kan vi bruke Lorentz-transformasjonen.
\(v'={v-v_{rel}\over 1-v_{rel}v}\)
Vi f?r
\(v_B'={-2v_A\over 1+v_A^2}\)
fordi begge romskipene har samme hastighet relativt til bakgrunnen. Det gir en fart p? \(v_B'=0.43444c\)
N? skal vi skrive ned momenergi fire-vektorene. Vi skal her bruke hastighetene sett fra hvilerammen \(v_A\) og \(v_B\) med tilh?rende gamma-faktorer \(\gamma_A\) og \(\gamma_B\). Vi skal ogs? bruke verdiene sett fra perspektivet til rakett A, s? \(v_A'\), \(v_B'\) og \(\gamma_A'\), \(\gamma_B'\).
Vi har f?lgende:
\(P_\mu=\gamma(m,m\vec{v})=\gamma(m,\vec{p})\)
\(\vec{p}_{rel}=\gamma m\vec{v}=\gamma \vec{p}=\vec{p}\)
\(E_{rel}=\gamma m=E\)
\(E'=\gamma{rel}E-v_{rel}\gamma_{rel}p_x\)
\(p_x'=\gamma_{rel}p_x-v_{rel}\gamma_{rel}E\)
\(P_\mu(A)=\gamma(m,mv_A,0,0)=(E_A,\vec{p}_A)\)
\(P_\mu(B)=\gamma(m,-mv_A,0,0)=(E_B,\vec{p}_B)\)
N? skal vi bruke transformasjonsegenskapene til firevektorer til ? transformere momenergiens firevektorer fra referansesytemet til planetene til den andre.
\(E'=\gamma{rel}E-v_{rel}\gamma_{rel}p_x\)
\(p_x'=\gamma_{rel}p_x-v_{rel}\gamma_{rel}E\)
\(\gamma_{rel}=\gamma\)
\(v_{rel}=v_A\)
\(P'_\mu(A)=(E_A',\vec{p}'_A)\)
Dette er momenegien til rakett A i rakettens eget referansesystem. Derfor er \(v_{rel}=0\), \(\gamma_{rel}=1\), \(p_x=mv_A\) og \(E=m\). Derfor f?r vi
\(P_\mu'(A)=(m,0)\)
Videre skal vi se p? \(P'_\mu(B)=(E_B',\vec{p}'_B)\)
For denne er \(v_{rel}=v'_A-v'_B={2v_A\over 1+v_A^2}\)
Det gir \(\gamma_{rel}=\sqrt{1+\left({2v_A\over 1+v_A^2}\right)^2}\)
I tillegg har vi \(p_x=mv_B=-mv_A\).
Vi skal n? finne momenergi fire-vektoren til et foton som beveger seg i positiv x-retning.
\(P^\gamma_\mu=\gamma(m,\vec{p})\)
\(E_\gamma=m\gamma\)
\(\vec{p}_\gamma=\gamma\vec{p}_\gamma=(p_x,0,0)\)
\(P^\gamma_\mu=(E_\gamma,\vec{p}_\gamma)=(E,\vec{p})\)
\(P_\mu P^\mu=m^2V_\mu V^\mu=m^2\) fordi \(V_\mu V^\mu=1\)
\(P_\mu P^\mu=E^2-p^2\)
\(E=\sqrt{p^2+m^2}=\sqrt{p^2}=p_x\) fordi \(m=0\) siden vi ser p? et foton
Dette gir til slutt
\(P_\mu^\gamma=(E,E,0,0)\)
N? skal vi anta at det skjer en eksplosjon som sender ut to fotoner. All energien i eksplosjonen sendes ut i form av disse fotonene, én som g?r i positiv x-retning og én
positiv x-retning og en som g?r i negativ x-retning. x-retningen. Disse fotonene har samme energi i planetens referansesystem. Det gir:
\(P_\mu(A)+P_\mu(B)=P_\mu^\gamma(A)+P_\mu^\gamma(B)\)
\((E_{total},\vec{p}_A+\vec{p}_B)=(E_A^\gamma+E_B^\gamma,\vec{p}^\gamma_A+\vec{p}_B^\gamma)\)
\(E_A^\gamma+E^\gamma_B=E_{total}\)
\(\vec{p}_A^\gamma+\vec{p}^\gamma_B=0\)
\(\vec{p}_A^\gamma=-\vec{p}_B^\gamma\)
Fordi fotoner ikke har masse er \(E^\gamma=|\vec{p}^\gamma|\)
Da har vi f?lgende:
\(E^\gamma_A=|\vec{p}_A^\gamma|=|-\vec{p}_B^\gamma|=E_B^\gamma\)
Alts? har de samme energi.
La oss n? anta at fotonene sendes ut med en vinkel \(\theta\) fra x-aksen. Vi skal n? vise at dette fortsatt gir samme energi til fotonene.
Vi setter opp en ny ligning for momenergi der vi tar hensyn til vinkelen. Vi f?r
\(P_\mu(A)+P_\mu(B)=P_\mu^\gamma(A)+P_\mu^\gamma(B)\)
\((E_A+E_B,\vec{p}_A+\vec{p}_B)=(E_A^\gamma+E_B^\gamma,\vec{p}_A^\gamma+\vec{p}_B^\gamma)\)
Siden bevegelsesmengdene er like store og motsatt rettede med en vinkel \(\theta\) har vi f?lgende:
\(\vec{p}^\gamma_A=-\vec{p}_B^\gamma\) og \(p_A^\gamma=-p_B^\gamma\).
Derfor har vi igjen
\(E^\gamma_A=|\vec{p}_A^\gamma|=|-\vec{p}_B^\gamma|=E_B^\gamma\)
N? skal vi anta at alle fotoner sendes ut med samme b?lgelengde. Da skal vi finne et uttrykk for ? finne energien og b?lgelengden til et foton gitt at vi vet totalt utstr?lt energi og antallet fotoner som sendes ut.
\(E=h\nu\)
\(\nu={c\over\lambda}\)
\(E={hc\over\lambda}\)
\(\lambda={hc\over E}\)
\(E={E_{total}\over N}\)
Her er \(N\) antall frigjorte fotoner. Dette gir
\(\lambda={hcN\over E_{total}}\)
der \(E_{total}=2\gamma mc^2\) er energien som frigj?res fra de to rakettene.
Fra en simulering vi gjorde har vi kommet fram til at b?lgelengden m? v?re \(646nm\), som betyr at fargen er r?d slik vi ser i figuren under.
Videre skal vi se p? fotoner som beveger seg i x-retning for ? finne et uttrykk for fotonets energi \(E'\) observert fra romskip A. Vi har da
\(E'=\gamma_{rel}E-v_{rel}\gamma_{rel}p_x\) for positiv x-retning, og
\(E'=\gamma_{rel}E\pm v_{rel}\gamma_{rel}p_x\) for negativ retning.
Derfor kan vi si at \(E'=\gamma_{rel}E+v_{rel}\gamma_{rel}p_x\). Dersom \(\gamma_{rel}=\gamma\), \(v_{rel}=v\) og \(p_x=E\), s? har vi at \(E'=\gamma E\pm v\gamma E=E\gamma(1\pm v)\).
Her er plussen for n?r fotonene beveger seg i negativ retning og minusen for n?r de beveger seg i positiv retning.
N? skal vi utlede et uttrykk for relativistisk doppler-effekt. Vi har f?lgende:
\(\lambda={h\over E}\)
\(E={h\over \lambda}\)
\(E'=E\gamma(1\pm v)\)
\(E'={h\over \lambda'}={h\over \lambda}\gamma(1\pm v) \)
\(\lambda'={\lambda\over\gamma(1\pm v)}\)
Da kan vi uttrykke dopplerskiftet som
\({\Delta\lambda\over\lambda}={\lambda'-\lambda\over\lambda}={\sqrt{1-v^2}\over 1\pm v}-1\)
\(\sqrt{(1-v)(1+v)\over(1-v^2)}-1=\sqrt{(1+v)\over(1-v)}-1\)
Dette gir til slutt
\({\Delta\lambda\over\lambda}=\left(\sqrt{1+v\over1-v}-1\right)\)
Fra simulasjonen kan vi komme fram til at \(\Delta\lambda=215nm\) og \(\lambda_0=430nm\), som tyder p? fiolett lys.
Til slutt skal vi sjekke at formelen er konsistent med formelen for doppler-effekt ved lave hastigheter.
For ? gj?re dette kan vi lage en Taylor-approksimasjon for
\(f(v)=\sqrt{(1+v)\over(1-v)}\)
Vi gj?r dette for en liten \(v\) og antar at \(v<<c\). Derfor lager vi Taylor-ekspansjonen rundt \(v=0\). Da f?r vi
\(f'(v)={1\over2}(1+v)^{-{1\over2}}(1-v)^{-{1\over2}}+{1\over2}(1+v)^{1\over2}(1-v)^{-{3\over2}}\)
Da har vi \(f(0)=1, f'(0)=1\)
Det gir \(f(v)\approx f(0)+f'(0)v=1+v\)
Til slutt f?r vi da \({\Delta\lambda\over\lambda}={(1+v)\over(1-v)}-1\approx1+v-1=v\)
Siden vi til n? har jobbet med enheter for fart som fraksjoner av lyshastigheten gir dette i SI-enheter \({\Delta\lambda\over\lambda}={v\over c}\).
Da var vi ved veis ende for den spesielle relativitetsteorien. Forh?pentlig vis har du klart ? f? med deg hvertfall noe av essensen i den spesielle relativitetsteorien, spesielt med hvordan det ? endre referansesystem vil p?virke tidspunktene for ulike hendelser. I neste blogginnlegg skal vi se n?rmere p? den generelle relativitetsteorien.