Del 4 - Tre planeter
Introduksjon
I denne delen skal vi fortsette ? studere tvillingparadokset. Hovedfokuset ligger p? ? forst? hvordan tiden tilsynelatende kan avvike for personer som beveger seg i relativistiske hastigheter, sammenlignet med personer som befinner seg i en stasjon?r referanseramme. Vi skal nok en gang se videre p? hvordan tid og rom henger sammen og oppfattes forskjellig avhengig av posisjon og bevegelse. Vi vil unders?ke en rekke hendelser som involverer romreiser, der viktige overganger og bevegelser f?rer til betydelige endringer i tidsoppfatningen, noe som utfordrer v?r konvensjonelle forst?else av tid som en konstant og universell st?rrelse.
Situasjon
Tankeeksperimentet utspiller seg gjennom et hendelsesforl?p som involverer to personer, Lisa og Peter, som begir seg ut p? hver sin reise gjennom rommet, der de observerer ulike hendelser:
Hendelse A: Markerer starten p? Lisas og Peters reiser fra et felles utgangspunkt, og setter scenen for de p?f?lgende observasjonene av tid og rom.
Hendelse B: Lisa n?r destinasjonen, kjent som skjebnen. Denne hendelsen er avgj?rende fordi den markerer en endring i referanserammen hennes og begynnelsen p? en annen tidsoppfatning.
Hendelse D: Peter g?r inn i heisen som returnerer fra et sted kalt Beyond. Denne hendelsen er tidsstemplet i planetens og heisens referanseramme, noe som gir kontrasterende syn p? tidens gang.
Hendelsene B' og B": Konseptuelle hendelser som er utformet for ? gi innsikt i den samtidige, men ulike oppfatningen av tid i ulike referanserammer, med s?rlig fokus p? Lisas overgang.
Koordinatsystemer og referansesystemer
Analysen v?r g?r gjennom flere koordinatsystemer som hver representerer en unik referanseramme:
Planet-referansesystem \((x,t)\): Dette stasjon?re referansesystemet representerer en synsvinkel som ikke er i bevegelse, og regnes vanligvis som referanserammen vi m?ler bevegelser og hendelser i rommet fra. Den gir en grunnleggende forst?else av tid og rom fra et fast perspektiv.
Det tilbakevendende heis-perspektivet \((x'',t'')\): Dette bevegelige referansesystemet er avgj?rende for ? analysere Peters reise. Den hjelper oss ? forst? hvordan tid og rom oppfattes fra en synsvinkel i bevegelse i forhold til planetens ramme. Dette referansesystemet blir spesielt viktig n?r vi vurderer de relativistiske effektene p? Peters oppfatning av tid og rom.
Utg?ende heis-referansesystem \((x',t')\): Dette referansesystemet er relevant for Lisas reise i den utg?ende heisen. Den er viktig for ? analysere hvordan Lisa oppfatter tid og rom mens hun reiser mot Destiny. Denne synsvinkelen gir innsikt i de relativistiske effektene som Lisa opplever, spesielt under forflytningen ved hendelse B, der hun bytter fra den utg?ende heisrammen til den returnerende heisrammen.
| Hendelse | Hva skjedde? | \((x,t)\) | \((x',t')\) | \((x'',t'')\) |
|---|---|---|---|---|
| A | Lisa forlater Homey | \((0,0)\) | \((0,0)\) | \((2L_0,0)\) |
| B | Lisa ankommer Destiny | \(\left(L_0,{L_0\over v}\right)\) | \((0,t'_B)\) | \(\left(0,{L_0\over v\gamma}\right)\) |
| B' | N?r lisa ankommer Homey dukker det opp en observat?r i Lisas referansesystem. Han sender s? en melding til Homey om at Lisa har ankommet og til hvilken tid. | \((0,t_{B}')\) | \(\left(x_B',t'_{B'}\right)\) | \(\left(2L_0,t''_{B'}\right)\) |
| D | Peter forlater Beyond | \((2L_0,0)\) | \((2L_0,0)\) | \((0,0)\) |
| B'' | N?r Peter ankommer Beyond kommer det en observat?r og sender et signal for ? informere om at Lisa har kommet ombord i Peters skip. | \(\left(0,{L_0\over v}+L_0v\right)\) | \(\left(x'_{B''},t'_{B''}\right)\) | \(\left(x''_{B''},{L_0\over v\gamma}\right)\) |
Metode
Sammenlignende analyse p? tvers av referansesystemer: Vi analyserer hendelsene fra perspektivet til hvert perspektiv - planetrammen \((x,t)\), den returnerende heisrammen \((x',t')\) og den utg?ende heisrammen \((x'',t'')\). Denne sammenlignende tiln?rmingen hjelper oss med ? forst? hvordan den samme hendelsen oppfattes forskjellig i tid og rom p? tvers av disse rammene.
Analyse av overgangshendelser: Spesiell oppmerksomhet rettes mot overgangspunktene, for eksempel hendelse B, der Lisa bytter referansesystem. Dette er avgj?rende for ? forst? kjernen i paradokset - hvordan en endring i referansesystem kan f?re til betydelige endringer i oppfatningen av tid og rom.
Tidsdilatasjon og Lorentz-transformasjoner: Analysen benytter prinsippene for tidsdilatasjon og Lorentz-transformasjoner for ? tolke forskjellene i tids- og romoppfattelse mellom disse referanserammene matematisk. Disse prinsippene er grunnleggende for ? forst? de relativistiske effektene som observeres i scenariet. I tillegg benyttes invarianse av tidromsintervallene for ? gj?re ulike beregninger.
Konklusjon
I denne utforskningen oppdaget vi de dyptgripende konsekvensene av den spesielle relativitetsteorien for tidsoppfattelsen, spesielt i scenarier som involverer h?yhastighetsreiser og rammeoverganger. Form?let med denne ?velsen var ? forst? og illustrere de relativistiske effektene p? tid og rom ved ? bruke scenariet med Lisa og Peter som case.
Vi fant ut at selv om det bare hadde g?tt fire ?r p? Homey siden Lisas avreise, skjedde det en drastisk endring da hun ble overf?rt til heisen som returnerte. I l?pet av dette korte ?yeblikket gikk det 396 ?r p? Homey! Lisas forflytning medf?rte en endring i referanserammen hennes, markert av akselerasjon. I den spesielle relativitetsteorien f?lger ikke akselererte referanserammer de samme reglene som inertielle referanserammer. Da Lisa akselererte, opplevde hun det vi kan kalle fiktive krefter, i motsetning til Homey, som forble i en uakselerert, inertiell ramme. Denne forskjellen i akselerasjon og den p?f?lgende endringen i referanserammer forklarer asymmetrien i tidsoppfattelsen.
F?lgende plott viser hvordan Tiden som m?les i referansesystemet til Lisa endres etterhvert som raketten hennes akselererer.
I fasen med konstant hastighet er tidsdilatasjonen konstant, noe den line?re delen av grafen viser. Dette skyldes den konstant h?ye hastigheten (0,99c), som resulterer i en betydelig tidsdilatasjonsfaktor i henhold til Lorentz-transformasjonen. I retardasjonsfasen viser grafen en kurve som indikerer en endring i tidsforl?pet p? Homey, slik det observeres fra romfart?yet.
For ? oppsummere: Lisas reise begynte og endte med at hun bare opplevde 57 ?r, mens det gikk 404 ?r p? Homey. Denne markante forskjellen skyldes de relativistiske effektene av hennes h?yhastighetsreise og akselerasjonen under overgangen til et nytt referansesystem. I hennes perspektiv beveget tiden seg mye langsommere enn i Homeys.
Fysikken bak disse resultatene ligger i prinsippene for tidsdilatasjon og Lorentz-transformasjonene, som styrer hvordan tid og rom oppfattes i ulike referanserammer, spesielt ved relativistiske hastigheter. Beregningene og observasjonene som vi har gjort, f?lger disse prinsippene og viser hvor lite intuitiv verden er n?r man begynner ? blande inn relativistiske hastigheter.
Noen beregninger
N? som vi har snakket s? mye om situasjonene kan vi begynne ? faktisk regne p? noe av det. Vi skal n? finne tiden \(t''\) som Peter m?ler n?r han ankommer Destiny. Vi skal ogs? finne intervallene \(\Delta x_{BD}\), \(\Delta t_{BD}\), \(\Delta x''_{BD}\) og \(\Delta t''_{BD}\).
Intervallene er gitt ved f?lgende:
\(\Delta x_{BD}=x_D-x_B=2L_0-L_0=L_0\)
\(\Delta t_{BD}=t_D-t_B=0-L_0/v=- L_0/v\)
\(\Delta x''_{BD}=x''_D-x''_B=0-0=0\)
\(\Delta t''_{BD}=t''_D-t''_B=0-t''_B=-t''_B\)
For ? finne \(t''\) begynner vi med ? se p? tideromsintervallet.
\(\Delta S^2_{BD}=\Delta t_{BD}^2-\Delta x_{BD}^2\)
\(\Delta S^2_{BD}=(t_B-t_D)^2-(x_B-x_D)^2\)
Fordi vi er i referansesystemet til planetene vet vi at \(t_D=t_A=0s\).
\(\Delta S^2_{BD}=\left({L_0\over v}-0\right)^2-(L_0-2L_0)^2\)
\(\Delta S^2_{BD}=L_0^2\left({1\over v^2}-1\right)\)
N? kan vi sette opp tidromsintervallet for referansesystemet til det returnerende romskipet.
\({\Delta S_{BD}''^2}={\Delta t_{BD}''^2}-{\Delta x_{BD}''^2}=(t''_B-t''_D)^2-(x_B''-x_D'')^2\)
I det returnerende romskipets referansesystem er \((x''_D,t''_D)=(0,0)\), og \(t''_B=0s\) fordi fra Peters perspektiv s? intreffer D og B samtidig. I fra Peters perspektiv skjer b?de B og D ved \(x=0\). Dette gir
\({\Delta S_{BD}''^2}=t_B''^2\)
Fra invarians av tidromintervallene har vi
\(\Delta S_{BD}''^2=\Delta S_{BD}^2\)
\(L_0^2\left({1\over v^2}-1\right)=t_B''^2\)
\(t_B''^2={L_0^2\over v^2}(1-v^2)\)
\(t''_B={L_0\over v}\sqrt{1-v^2}\)
\(t''_B={L_0\over v\gamma}\)
Videre kan vi komme fram til at tiden som g?r mellom hendelse A og B til D er like stor i begge referansesystemene \((x',t')\) og \((x'',t'')\). La oss finne de ulike intervallene \(\Delta x'_{AB}=0\), \(\Delta t'_{AB}=t_B'\), \(\Delta x'_{DB}=2L_0\) og \(\Delta t'_{DB}=t'_B\). For det andre referansesystemet har vi \(\Delta x''_{AB}=2L_0\), \(\Delta x''_{DB}=0\), \(\Delta t''_{AB}=t''_B\) og \(\Delta t''_{DB}=t_B''\). I intervallet \(\Delta x''_{AB}=2L_0\) var det en forflytning p? \(2L_0\) i l?pet av en tid p? \(\Delta t''_{AB}=t''_B={L_0\over v\gamma}\). Tilsvarende har vi i intervallet \(\Delta x'_{DB}=2L_0\) et tidsintervall p? \(\Delta t'_{DB}=t'_B\). Siden begge rakettene beveger seg med konstant like stor fart og har forflyttet seg like langt i de to tidsintervallene kommer vi fram til at \(\Delta t'_{AB}=\Delta t'_{DB}=\Delta t''_{AB}=\Delta t''_{DB}=t''_B={L_0\over v\gamma}\). Hvis man setter inn i uttrykket f?r man \(t_{B}''=28.5?r\).
N? ?nsker vi ? finne intervallene \(\Delta x_{DB''}\), \(\Delta t_{DB''}\), \(\Delta x_{DB''}''\) og \(\Delta t_{DB''}''\). De er gitt ved f?lgende:
\(\Delta x_{DB''}=0-2L_0=-2L_0\)
\(\Delta t_{DB''}=t_{B''}-0=t_{B''}\)
\(\Delta x''_{DB''}={L_0\over \gamma}-0={L_0\over \gamma}\)
\(\Delta t''_{DB''}={L_0\over v\gamma}-0={L_0\over v\gamma}\)
Skal n? finne et uttrykk for \(t_{B''}\). Begynner som vanlig med ? sette opp tidromsintervaller.
\(\Delta S_{DB''}^2=\Delta S_{DB}''^2\)
\(t_{B''}^2-(2L_0)^2=\left({L_0\over v\gamma}\right)^2-\left({L_0\over\gamma}\right)^2\)
\(t_{B''}^2={L_0^2\over v^2}(1-v^2)-L_0^2(1-v^2)+4L_0^2\)
\(t_{B''}^2=\left({L_0\over v}\right)^2+2L_0^2+L_0^2v^2\)
\(t_{B''}^2=\left({L_0\over v}+L_0v\right)^2\)
\(t_{B''}={L_0\over v}+L_0v\)
Dersom vi setter inn tallene f?r vi \(t_{B''}\approx400?r\).
Del 5 - Akselerasjon
Introduksjon:
Vi fortsetter ? studere tvillngparadokset for ? f? en dypere forst?else for relativitetsteorien, og inkluderer her akselererte systemer for ? se p? hvordan det endrer p? situasjonene. Reisen er delt inn i faser med konstant hastighet og retardasjon, som hver for seg gir innsikt i hvordan tid oppfattes forskjellig i ulike referanserammer, spesielt i et romskip sammenlignet med en planet n?r vi ikke lenger jobber med konstante hastigheter. I tillegg skal vi beregne hvor mye astronauten Lisa eldes i l?pet av den akselererte fasen av romreisen.
Situasjon:
Rakettens reise omfatter en fase med konstant hastighet p? \(0.99c\), et vendepunkt og en p?f?lgende retardasjonsfase. De viktigste hendelsene som skal analyseres, er justeringen av tidsm?lingene ved vendepunktet, variasjonen i tidsoppfatningen gjennom hele reisen og den totale tiden som har g?tt p? en fjern planet (Homey), observert fra romfart?yet ved retur. Vi har de f?lgende hendelsene som inng?r i situasjonen:
| Hendelse | Planet | Lisa |
|---|---|---|
| \(Y\) | \((x_Y,t_Y)\) | \((0,t'_Y)\) |
| \(Y'\) | \((0,t_{Y'})\) | \((x'_{Y'},t'_{Y'}=t'_Y)\) |
Her er hendelsene \(Y\) og \(Y'\) tilsvarende av B og B' (som vi s? p? i del 4), men i et akselerert referansesystem.
Lisas reise er delt inn i flere deler, med fokus p? perioden da raketten akselererer tilbake til Destiny. Denne delen av reisen framstilles gjennom en analogi: Lisa forflytter seg mellom en rekke "romheiser" som beveger seg stadig raskere for ? simulere kontinuerlig akselerasjon. Analysen begynner fra hendelse E, der rakettens hastighet er null, og fortsetter til det n?r sin opprinnelige hastighet.
Metode:
Anvendelse av rom-tidsintervall-invarians: Romtidsintervallets invarians (\(\Delta S\)) under transformasjon er det viktigste analytiske verkt?yet vi har brukt til ? unders?ke situasjonene. Den brukes til ? beregne tids- og romkoordinatene til hendelsene Y og Y' under akselerasjonsfasen, og sammenligne disse funnene med fasen med konstant hastighet.
Kinematiske beregninger og symmetriprinsipper: Reisens symmetri- og kinematiske prinsipper har vi ogs? brukt til ? beregne vendepunktstidspunktet (\(t_{turnover}\)) og rakettens hastighet ved retur. Disse beregningene er avgj?rende for ? forst? hvordan akselerasjonen p?virker den romtidsbanen.
Analyse av dynamisk tidsdilatasjon: Vi har utf?rt en detaljert analyse av hvordan tidsdilatasjonen varierer under akselerasjonen, sammenlignet med fasen med konstant hastighet. Dette innebar ? beregne tidsdilatasjon for ulike hastigheter og forst? hvordan dette p?virker tidsoppfatningen for b?de Lisa og observat?rene p? Homey.
Lisas aldring: Hovedideen dreier seg om tidsdilatasjonseffekten i den spesielle relativitetsteorien, tilpasset akselerasjon. I motsetning til fasen med konstant hastighet, der tidsdilatasjonen er enkel, m? man i akselerasjonsfasen vurdere hvordan en gradvis ?kning i hastigheten p?virker tidsforl?pet. Forholdet mellom tidsintervallene i rakettens (Lisas referansesystem) og planetens referansesystem under denne akselerasjonen er mer komplekst p? grunn av den endrede hastigheten. Metoden g?r ut p? ? se p? hvordan disse tidsintervallene varierer og integrere denne effekten over hele akselerasjonsfasen for ? bestemme Lisas totale aldring i denne perioden.
Konklusjoner:
Gjennomgangen av paradokset viser oss forholdet mellom hastighet, akselerasjon og tidsdilatasjon. Vi har kommet fram til flere interessante resultater. Blant annet har vi funnet uttrykk for n?r ulike hendelser inntreffer og sett p? de i et akselerert referansesystem. Hovedfunnene v?re var:
Justering av tider ved vendepunktet (hendelse B og B'): Vi oppdaget at ved vendepunktet p? rakettens reise var tidsm?lingene i b?de romfart?yets referansesystem (\(t_Y'\)) og planetens referansesystem (\(t_Y\)) perfekt sammenfallende. Dette fenomenet oppst?r fordi rakettens hastighet i forhold til Homey er null ved vendepunktet. Uten relativ bevegelse forsvinner tidsdilatasjonseffekten som vanligvis observeres ved h?ye hastigheter, midlertidig. Dette viser hvor viktig relativ hastighet er i tidsdilatasjon.
Variasjon i tidsoppfatning gjennom hele reisen (hendelsene Y og Y'): Den grafiske analysen av \(t'_Y\) mot \(t_Y\) illustrerer tydelig hvordan tidsoppfatningen endrer seg gjennom rakettens reise. I fasen med konstant hastighet er det en konstant tidsdilatasjon, noe vi ser gjennom det line?re forholdet i plottet. Dette gjenspeiler den konstante Lorentz-faktoren som skyldes den jevnt h?ye hastigheten p? \(0.99c\).
I retardasjonsfasen, n?r raketten reduserer hastigheten, observerer vi imidlertid et ikke-line?rt forhold. Denne endringen indikerer at tidsdilatasjonen avtar n?r raketten bremser ned. Plottet viser at etter hvert som raketten bremser opp, begynner tiden p? Homey, slik den observeres fra raketten, ? stemme bedre overens med tiden i planetens referansesystem. Under kan du se plottet.
Total tid som har g?tt p? Homey (588 ?r): Ved reisens slutt, n?r raketten vender tilbake til utgangspunktet, ser vi en betydelig forskjell i tidsoppfattelsen. Det er beregnet at det har g?tt 588 ?r p? Homey sett fra rakettens synsvinkel. Dette er et viktig funn, for det viser hvor stor innvirkning relativistiske hastigheter har p? tidens gang. Selv om reisen tar kortere tid sett fra rakettens perspektiv p? grunn av den h?ye hastigheten, observeres det at det har g?tt mye lengre tid p? Homey. Dette er et direkte resultat av tidsdilatasjonseffekter og vi kan egentlig si at det oppsummerer essensen av relativitetsteorien i h?yhastighetsreiser.
S? skal vi se litt p? Lisas tur
Tid m?lt i planetens referansesystem:
- P? vei til Destiny: \(202?r\)
- Akselerere fra Destiny: \(94?r\)
- Returnerer til Destiny: \(94?r\)
- Returnerer til Homey: \(202?r\)
- Total tid: \(592?r\)
Tid m?lt p? Lisas klokke:
- P? vei til Destiny: \(28.5?r\)
- Akselererer fra Destiny: \(74.5?r\)
- Returnerer til Destiny: \(74.5 ?r\)
- Returnerer til Homey: \(28.5?r\)
- Total tid: \(206?r\)
Tiden sett av en observat?r i Lisas referansesystem ved siden av Homey:
- P? vei til Destiny: \(4?r\)
- Akselererer fra Destiny: \(292?r\)
- Returnerer til Destiny: \(292?r\)
- Returnerer til Homey: \(4?r\)
- Total tid: \(592?r\)
Tidsforskjeller: Det er en markant forskjell mellom tiden som har g?tt i planetens ramme (\(592?r\)) og det Lisa opplever (\(206?r\)). Dette viser den betydelige effekten av tidsdilatasjon. Samtidig ser observat?ren som befinner seg i Lisas referansesystem, men som st?r stille i forhold til Homey, forskjellige tidsavlesninger p? Homeys klokker p? viktige punkter p? reisen (\(4?r\) ved b?de avreise og ankomst, \(292?r\) under akselerasjoner), noe som illustrerer relativitetens samtidighet.
Akselerasjonens innvirkning: Akselerasjonsfasene viser en st?rre aldringseffekt p? Lisa (\(74.5?r\) hver) sammenlignet med reiser med konstant hastighet (\(28.5?r\) ?r hver), noe som understreker akselerasjonens innvirkning p? tidsdilatasjonen.
Konsistens og teoretiske implikasjoner: At den totale tiden er den samme b?de i planetens referansesystem og slik den observeres p? Homey fra Lisas ramme (\(592?r\)), viser en symmetri i den relativistiske tidsoppfatningen. Disse funnene stemmer overens med de teoretiske forutsigelsene i relativitetsteorien. Med en slik reise kan man faktisk risikere ? v?re eldre enn foreldrene sine n?r man kommer hjem igjen.
Noen beregninger
Vi begynner med ? finne et uttrykk for tidromsintervallet for ? finne et uttrykk for \(t_{B'}\). Fra tidligere har vi denne tabellen over hendelser i de to referansesystemene:
| Planet \((x,t)\) | Lisa \((x',t')\) | |
|---|---|---|
| B | \(\left(L_0,{L_0\over v}\right)\) | \(\left(0,{L_0\over v\gamma}\right)\) |
| B' | \((0,t_{B'})\) | \(\left(-{L_0\over \gamma},{L_0\over v\gamma}\right)\) |
Da f?r vi:
\(\Delta x_{BB'}=0-L_0=-L_0\)
\(\Delta t_{BB'}=t_{B'}-{L_0\over v}\)
\(\Delta x'_{BB'}=-{L_0\over\gamma}-0=-{L_0\over\gamma}\)
\(\Delta t'_{BB'}=0\)
\(\Delta S_{BB'}^2=\Delta t_{BB'}^2-\Delta x_{BB'}^2=\left(t_{B'}-{L_0\over v}\right)^2-L_0^2\)
\(\)\(\Delta S_{BB'}'^2=\Delta t_{BB'}'^2-\Delta x_{BB'}'^2=-\left({L_0\over\gamma}\right)^2\)
\(\Delta S_{BB'}^2=\Delta S'^2_{BB'}\)
\(\left(t_{B'}-{L_0\over v}\right)^2=L_0^2-\left({L_0\over \gamma}\right)^2\)
\(\left(t_{B'}-{L_0\over v}\right)^2=L_0^2\left(1-{1\over\gamma^2}\right)\)
\(\left(t_{B'}-{L_0\over v}\right)^2=L_0^2v^2\)
\(t_{B'}={L_0\over v}-L_0v=L_0{1-v^2\over v}={L_0\over \gamma^2v}\)
N? skal vi se p? et scenario der raketten til Lisa deakslererer med en konstant akselerasjon \(-g\) sett fra planetenes perspektiv. Vi ?nsker da ? finne ut n?r hun snur. Vi antar at hendelsen begynner ved \(t=t_B\). Fra bevegelsesligningene har vi f?lgende sammenheng mellom fart \(v\), startfart \(v_0\), akselerasjon \(a\) og tiden \(t\):
\(v=at+v_0=v_0-gt\)
Ved vendepunktet er \(v=0\), som gir \(t={v_0\over g}\). Da f?r vi den endelige tiden \(t_{turningpoint}=t_B+{v_0\over g}\).
Dersom raketten fortsetter med konstant akselerasjon tilbake til Destiny vil den ha en hastighet lik \(-v\) n?r den n?r fram. Dette skyldes symmetri fordi avstanden Lisa bruker p? ? deakselerere vil v?re lik avstanden fra hun st?r stille til hun akselerer mot Destiny. Siden avstandene er like lange, og akselerasjonen er lik s? m? magnituden p? hastigheten ogs? bli det.
For ? h?ndtere den delen av reisen som inneb?rer konstant akselerasjon, ser vi for oss en sekvens av hendelser, merket \(Y\) og \(Y'\), analogt med de foreg?ende hendelsene \(B\) og \(B'\). Hvis vi ?nsker ? finne posisjonen to tiden \((x,t)\) og \((x',t')\) for de to referansesystmene ved de to hendelsene kan vi g? fram p? f?lgende m?te:
\(x_Y\) er posisjonen til romskipet ved en tid \(t_Y\). Romskipet har startposisjonen \(L_0\) ved \(t=0\), i planetens referansesystem. Vi vet ogs? at den har en konstant akselerasjon \(g\) og en starthastighet \(v_0\). Ved hjelp av de vanlige bevegelsesligningene kan vi komme fram til at den m? v?re gitt ved:
\(x_Y=L_0+v_0(t_Y-t_B)+{1\over2}g(t_Y-t_B)^2\)
Her er \(t_Y\) tiden n?r \(Y\) inntreffer i planetenes referansesystem. Derfor kan vi sette \(t_Y=t_Y\)
\(x_Y'\) er posisjonen der \(Y\) inntreffer sett fra romskipets perspektiv. Derfor er \(x_Y'=0\)
\(t'_Y\) er tiden n?r \(Y\) inntreffer i romskipets referansesystem. Derfor setter vi det til
\(t_Y'=t_Y'\)
\(x_{Y'}\) er posisjonen for planeten Homey n?r \(Y'\) inntreffer. Fra planetens perspektiv skjer dette ved posisjonen til Homey, som betyr at \(x_{Y'}=0\).
\(t_{Y'}\) er tidspunktet i planetens referansesystem n?r hendelse \(Y'\) inntreffer. Derfor kan vi sette den til \(t_{Y'}=t_{Y'}\)
\(x'_{Y'}\) utgj?r posisjonen til romskipet, eller avstanden til Homey, i rakettens referansesystem. Fordi vi ser p? en relativ bevegelse m? vi her ta hensyn til lengdekontraksjoner. Dermed blir uttrykket
\(x'_{Y'}=-{x_Y\over\gamma(t_Y)}\)
Minustegnet skyldes at raketten beveger seg vekk fra planeten, og \(\gamma(t_Y)\) er Lorentz-faktoren ved den gitte tiden.
Til slutt har vi \(t'_{Y'}\). Siden \(Y\) og \(Y'\) skjer samtidig i referansesystemet til raketten kan vi sette \(t'_{Y'}=t'_Y\).
Ved bruk at invarians for tidrom-intervaller kan vi la \(\Delta S_{YY'}^2=\Delta S_{YY'}'^2\). La oss regne p? det..
\(\Delta x_{YY'}=x_Y-0=x_Y\)
\(\Delta t_{YY'}=t_{Y'}-t_Y\)
\(\Delta x'_{YY'}=0--{x_Y\over\gamma}={x_Y\over\gamma}\)
\(\Delta t'_{YY'}=t_Y'-t_Y'=0\)
\(\Delta S_{YY'}^2=\Delta t_{YY'}^2-\Delta x_{YY'}^2=(t_{Y'}-t_Y)^2-x_Y\)
\(\Delta S_{YY'}'^2=\Delta t_{YY'}'^2-\Delta x_{YY'}'^2=-\left(x_Y\over \gamma\right)^2\)
\((t_{Y'}-t_Y)^2-x_Y=-\left(x_Y\over \gamma\right)^2\)
\(t_{Y'}=x_Yv+t_Y\)
La oss n? anta at \(g=-0.1m/s^2\). Vi ?nsker ? omgj?re enhetene slik at vi tar utgangspunkt i lyshastigheten. Da f?r vi \(a={g\over c}=3.3\cdot10^{-10}s^{-1}\).
La oss bruke dette til ? finne tidspunktet for \(t_{turningpoint}\). Vi f?r da
\(t_{turningpoint}=202?r+{0.99c\over3.3\cdot10^{-10}s^{-1}}=297?r\), som vil si at hun snudde \(95?r\) etter at hun ankom Destiny sett fra planetenes referansesystem.
Videre skal vi beregne tiden \(t_{Y'}\) ved samme hendelse. Da bruker vi formelen jeg akkurat utledet.
\(t_{Y'}=t_{turningpoint}=x_Yv+t_Y\)
Men i vendepunktet er jo farten lik 0, s? vi f?r den samme tidspunkt.
N? skal vi se videre p? hvor mye Lisa edles i l?pet av den akselererte reisen mot Homey. F?rst nullstiller vi klokka v?r s? vi ser p? starttiden som n?r hun begynner ? reise mot Homey. S? hvordan finner vi tiden Lisa opplever? Som vi har gjort utallige ganger allerede skal vi bruke tidsdilatasjon. N?r hjemreisen begynte ved vendepunktet var hastigheten lik 0. Derfor f?r vi f?lgende:
\(\Delta T'={\Delta T\over\gamma}=\Delta T\sqrt{1-v^2}=\Delta t\sqrt{1-g^2T^2}\)
(Siden \(v=v_0+gt\) og \(v_0=0\))
Som vi ser er dette en endring i tid, som vi kan se p? som en derivert. Hvis vi ?nsker ? finne et uttrykk for \(T'\) gitt \(T\) kan vi se p? alle de sm? bidragene og gj?re dette om til et integral. Det blir p? f?lgende form:
\(T'=\int_0^{v_0/g}\sqrt{1-g^2T^2}dT\)
L?sningen p? dette integralet blir s?m f?lger:
\(T'={v_0\sqrt{1-v_0^2}+\arcsin(v_0)\over2g}\)
Setter vi inn de kjente tallene i uttrykket finner vi at Lisa har blitt cirka \(74.5?r\) eldre n?r hun ankommer Destiny.
Gravitasjon
N? skal vi se litt p? gravitasjon. F?rst skal vi se at posisjonen i et homogent gravitasjonsfelt kan skrives som. \(r={1\over2}gT^2\). Dette er direkte utledet fra bevegelsesligingene. Siden startfarten og startposisjonen er satt til ? v?re 0 faller de to f?rste leddene bort.
Med litt algebra kan vi finne at tiden som har g?tt etter ? ha tilbakelagt en strekning \(r\) er gitt ved \(T=\sqrt{2r\over g}\). Setter vi dette inn i ligningen som vi fant for tiden Lisa opplever f?r vi \(\Delta T'=\sqrt{1-2gr}\Delta T\).
Dersom vi ser p? et ikke-homogent gravitasjonsfelt kan vi bruke Newtons gravitasjonslov og sette inn for ? f? \(\Delta T'=\sqrt{1-{2GM\over r}}\Delta T\).
Da er vi ferdige med ? studere tvillingparadokset, og skal bevege oss over i andre eksperimenter for ? fortsette v?r reise gjennom den spesielle relativitetsteorien. I neste blogginnlegg skal vi se p? et n?ytron som henfaller til et elektron og et proton.