Tvillingparadokset er ikke bare en teoretisk g?te, men et viktig verkt?y for ? forst? de grunnleggende aspektene ved relativitetsteorien. Ved ? se p? det vil vi se de kontraintuitive, men likevel vitenskapelig korrekte effektene som oppst?r n?r vi har ? gj?re med hastigheter som n?rmer seg lysets.
For ? gj?re de abstrakte begrepene litt enklere ? forholde seg til skal vi her f?lge historien om astronauten Lisa og hennes reise mellom to fjerne planeter, Homey og Destiny. Dette scenarioet, som har romreiser n?r lysets hastighet som bakteppe, gir en praktisk kontekst som gj?r det enklere ? studere prinsippene for tidsdilatasjon og referansesystemer.
Vi begynner med ? se p? de grunnleggende premissene for paradokset: de to ulike referansesystemene (planetene og romskipet) og de viktigste hendelsene som markerer starten og slutten p? Lisas reise.
Del 1 - Noen beregninger
F?r vi tar ordentlig fatt p? paradokset m? vi utf?re noen beregninger.
Vi begynner med ? se p? tiden reisen hennes tar. Vi vet at raketten til Lisa er veldig rask. Den beveger seg faktisk med en fart p? hele \(0.99c\)! Det er bra for Lisa, for planeten Destiny er hele \(200\) lys?r unna. N? skal vi beregne hvor lang tid det tar for Lisa ? gjennomf?re turen b?de fra hennes perspektiv, og fra perspektivet til noen p? hjemplaneten Homey. Vi har her to hendelser: Lisa drar (A) og Lisa kommer fram til planeten (B). Vi velger ogs? to koordinatsystemer for de to referansesystemene: \((x,t)\) for referansesystemet p? planeten og \((x',t')\) for Lisas referansesystem. Vi velger ogs? ? plassere Homey i \(x=0\) og lar \(x=200lys?r\). Hendelse A skjer da i \(x=x'=0m\) og \(t=t'=0s\).
For ? finne tiden reisen tar fra hjemplanetens perspektiv kan vi l?se ligningen \(\Delta t=x/v\) der \(v\) er farten. Det gir
\(\Delta t=200lys?r/0.99c\approx202?r\)
For ? finne tiden i Lisas referansesystem m? vi bruke Lorentz-transformasjonen gitt ved
\(\Delta t'=\Delta t\sqrt{1-{v^2}}\)
Her bruker vi naturlige enheter som gir \(c=1\). Derfor deles det ikke p? \(c^2\) i roten.
Vi f?r l?sningen \(\Delta t'=28.5?r\).
S? fort Lisa har n?dd Destiny bestemmer hun seg for ? dra hjem igjen. Fordi planetene st?r stille relativt til hverandre og hun reiser med den samme hastigheten tilbake vil hjemturene ta like lang tid som turen til Destiny. Det betyr at hjemturen tar rett i overkant av \(404?r\) fra hjemplanetens perspektiv, men bare \(57?r\) fra Lisas perspektiv.
Del 2 - Bytte av perspektiv
N? skal vi bytte perspektiv for ? komme til paradokset. Fra Lisas perspektiv er det ikke raketten som beveger seg, men planeten. Derfor kan vi n? behandle planeten som at det er den som er i bevegelse. Da beskriver vi koordinatene dens med \((x',t')\) og Lisas med \((x,t)\). Da kan vi se p? hendelse A som at planeten forlater raketten med en hastighet p? \(v=0.99c\) og hendelse B at Destiny n?r raketten.
La oss n? beregne tiden for hendelse. Som i sta kan vi bruke ligningen
\(\Delta t'=\Delta t\sqrt{1-{v^2}}\)
Forskjellen er bare n? at \(\Delta t\) n? representerer tiden fra Lisas perspektiv, som vi s? at var \(28.5?r\) i sta. Da f?r vi at tiden Homey observerte var cirka \(\Delta t'=4.02?r\). Men i sta s? vi jo at dette skulle ta \(202?r\), s? noe m? v?re galt vel? Faktisk er det ikke det, og vi skal snart se hvorfor.
Men f?rst n?r Destiny n?r Lisa s? snur Homey, og kommer tilbake mot Lisa. P? grunn av samme symmetri som tidligere vil denne reisen ta like lang tid begge veier. Derfor tar den totale reisen \(8.04?r\).
Vi fant ut at hele turen tur-retur tok \(404?r\) sett fra observat?rene p? Homey, men bare 57 ?r if?lge Lisas klokke. Denne betydelige forskjellen skyldes tidsdilatasjon, der klokker i bevegelse (Lisas) g?r saktere enn stasjon?re klokker (Homeys) n?r de observeres fra den stasjon?re rammen.
En ytterligere vri ble lagt til ved ? betrakte Lisa som stasjon?r og planetene som bevegelige. Fra dette perspektivet s? det ut til at reisen til skjebnen bare tok 4,02 ?r for Lisa, noe som st?r i skarp kontrast til de 28,5 ?rene som ble beregnet tidligere.
Det paradoksale her er forskjellen i aldring: Lisa blir bare 57 ?r eldre i l?pet av en reise som strekker seg over 404 ?r for vennene hennes p? Homey. Dette avviket skyldes ikke noen feil, men er en naturlig konsekvens av de relativistiske effektene av tidsdilatasjon, der tiden i seg selv er relativ og avhengig av observat?rens bevegelsestilstand. Dette f?rer til "tvillingparadokset", der to tvillinger, der den ene reiser i h?y hastighet og den andre blir v?rende p? jorden, eldes i ulik takt.
Oppsummering av situasjonen
La oss g? igjennom situasjonen en gang til, og i tillegg se p? sp?rsm?let om de to situasjonene der vi velger planeten til ? v?re stasjon?r og der vi velger Lisa til ? v?re stasjon?r er like.
Innledning: Vi skal se n?rmere p? begrepet tidsdilatasjon, som er et sentralt element i Einsteins spesielle relativitetsteori. Fokuset skal v?re p? ? forst? hvordan tidsoppfatningen varierer for observat?rer som beveger seg i ulike hastigheter, spesielt n?r lysets hastighet. Den utforsker ogs? ekvivalensen mellom ulike referanserammer, og stiller spesielt sp?rsm?l ved om en planetbasert ramme (som Homey) og en romfartsbasert ramme ("Apollo-Out") gir identiske resultater i relativistiske beregninger, gitt en potensiell selvmotsigelse som er observert i resultatene.
Situasjonen: Scenarioet dreier seg om Lisas reise fra Homey til Destiny og tilbake, og unders?ker hvor lang tid denne reisen tar sett fra observat?rene p? Homey og Lisa p? romskipet hennes. Et viktig aspekt ved denne situasjonen er ? finne ut hvordan den opplevde varigheten endrer seg n?r man endrer referanserammen, enten man betrakter Lisa eller Homey som stasjon?re. I tillegg skal vi se p? sp?rsm?l ved symmetrien mellom ulike referanserammer, og det unders?ke om planetens og romskipets referanserammer virkelig er ekvivalente i den spesielle relativitetsteorien. De to hendelsene vi skal se p? i denne situasjonen er A (Lisa og Homey forlater hverandre) og B (Lisa og Destiny m?tes).
Metode: Tiln?rmingen tar utgangspunkt i prinsippet om tidsdilatasjon, som indikerer at tiden oppleves forskjellig for individer eller objekter i relativ bevegelse. Dette prinsippet antyder at tiden ser ut til ? g? saktere for et objekt som beveger seg med h?y hastighet, sammenlignet med et objekt i ro. Analysen inneb?rer ? vurdere ulike referanserammer - én der Lisa st?r stille og planetene beveger seg, og en annen der planetene st?r stille og Lisa beveger seg. Denne metoden inneb?rer ogs? en konseptuell unders?kelse av om b?de planetens og rakettens referansesystemer kvalifiserer som inertielle referanserammer, eller om en av dem opplever akselerasjon, noe som kan p?virke symmetrien.
Konklusjon: Observat?rene p? Homey oppfatter Lisas tur-retur-reise som 404 ?r, mens Lisa bare opplever 57 ?r, noe som er et eksempel p? tidsdilatasjon. N?r perspektivet endres til ? betrakte Lisa som stasjon?r, endres den oppfattede tiden for reisen hennes dramatisk, noe som understreker hvor fleksibel tiden er. Ved ? unders?ke om ulike referanserammer er ekvivalente, ser f?r vi at tiden for reisen fra planetens perspektiv plutselig bare er \(4.02?r\). Dette utfordrer v?r forst?else av treghets- og ikke-treghetssystemer i relativistisk fysikk, og viser at disse systemene potensielt ikke kan byttes om hverandre (noe vi skal se n?rmere p? senere).
Hvorfor f?r vi ulike svar for tiden det tar?
Til slutt kan vi avsl?re ?rsaken til at de beregnede tidene planeten m?ler er ulike n?r vi ser p? Lisa som stasjon?r mot planeten som stasjon?r. Hovedpoenget er at formelen for tidsdilatasjon, \(\Delta t=\gamma\Delta t'\), som vi brukte til ? beregne de opplevde tidsforskjellene, er utledet under forutsetning av konstant hastighet. Denne formelen blir ugyldig i scenarier der hastigheten endrer seg, for eksempel n?r Lisa m? akselerere mot Destiny for ? endre retning og returnere til Homey. I motsetning til Lisa opplever ikke Homey noen slik akselerasjon.
For ? h?ndtere denne situasjonen n?yaktig m? man bruke prinsippene i den generelle relativitetsteorien, som tar hensyn til akselerasjon, eller alternativt betrakte akselerasjonsfasen som en uendelig rekke sm? "free float"-rammer, hver med konstant hastighet, som den spesielle relativitetsteorien kan brukes p? individuelt. Selv om denne tiln?rmingen ikke ble brukt i v?r analyse, er den avgj?rende for en fullstendig forst?else av de observerte tidsavvikene.
Det vi kan konkludere med, er at de tilsynelatende paradoksene og avvikene i tidsberegningene ikke er feil, men skyldes kompleksiteten i relativistisk fysikk, spesielt n?r akselerasjon er involvert. I det neste blogginnlegget skal vi gj?re en grundigere beregning som inkluderer effekten av akselerasjon, for ? finne ut hvor lang tid Lisa faktisk opplevde, noe som vil gi dypere innsikt i de relativistiske effektene av interstellare h?yhastighetsreiser.
Del 3 - Et tredje referansesystem
I denne delen ser vi n?rmere p? paradokset med fokus p? kompleksiteten som oppst?r n?r man skifter referansesystem gjennom en heisanalogi. Vi introduserer en tredje planet, Beyond, og en ekstra astronaut, Peter, for utforske relativistiske effekter i en setting med flere referanserammer.
Situasjonen: V?rt utvidede scenario omfatter tre himmellegemer: Homey, Destiny og Beyond, og involverer to astronauter, Lisa og Peter, i forskjellige romskip (Apollo-Out og Apollo-In). Vi fokuserer p? tre forskjellige referansesystemer:
- Planetarisk perspektiv \((x,y)\): Homey som opprinnelse, med Destiny og Beyond henholdsvis \(200\) og \(400\) lys?r unna.
- Apollo-Outs perspektiv \((x',y')\): Lisas referansesystem, som alltid befinner seg i origo i dettee systemet, og som reiser fra Homey til Destiny.
- Apollo-In's perspektiv \((x'',t'')\): Peters referansesystem, som beveger seg fra Beyond til Homey, med ham i origo.
Et n?kkelbegrep som introduseres er "heis"-analogien, som representerer en kontinuerlig serie av romskip, eller heiser, som beveger seg i samme retning. Vi unders?ker to heiser: den "utg?ende heisen" (Apollo-Out) og den "returnerende heisen" (Apollo-In). Viktige hendelser inkluderer Lisas ombordstigning p? Homey (hendelse A), hennes ankomst til Destiny (hendelse B) og en synkronisert hendelse (B') der en observat?r i den utg?ende heisen observerer tiden p? Homey.
Metode: Vi bruker Lorentz-transformasjoner for ? forst? hvordan ulike observat?rer i ulike referansesystemer oppfatter de samme hendelsene. Vi fokuserer p? hvordan oppfatningen av samtidighet og rekkef?lgen av hendelser varierer p? tvers av referansesystemer, spesielt med tanke p? de relativistiske effektene av lengdekontraksjon og tidsdilatasjon. I tillegg bruker vi konsepter som invarians av romtidsintervaller, som sier at romtidsintervallet mellom to hendelser er det samme i alle referanserammer.
Konklusjoner: (Alt her er basert p? beregningene under). Bruken av heiser som en representasjon av ulike referansesystmene bidrar til ? visualisere den relative bevegelsen og synkroniseringen av hendelser p? tvers av de ulike perspektivene. Spesielt "Hendelse B" understreker den relative tidsoppfatningen: Lisas reise til Destiny oppleves annerledes i hennes perspektiv enn i planetens perspektiv, og synkroniseringen med observat?ren i den "utg?ende heisen" understreker disse forskjellene. Det at det bare har g?tt fire ?r p? Homeys klokker i et referansesystem, i motsetning til den lengre varigheten sett fra et annet, stemmer overens med relativistiske prinsipper og oppklarer innledende misforst?elser.
Det tidligere resultatet om at det bare har g?tt fire ?r p? Homeys klokker n?r Destiny ankommer romskipet, stemmer overens med prinsippene i den spesielle relativitetsteorien, s?rlig samtidighetsteorien. Dette resultatet er ikke overraskende fordi det viser hvordan tidsintervaller og samtidighet oppfattes forskjellig i ulike referanserammer. Vi m? huske at samtidighet ikke er absolutt, men relativt til observat?rens referansesystem. B og B' er nemlig ikke samtidige i referansesytemene til planetene, bare i referansesytemene som f?lger den utg?ende raketten.
I scenariet, n?r Lisa ankommer Destiny i Apollo-Out, g?r hun over til Apollo-In ved hjelp av en sf?risk romkapsel. Denne hendelsen er visuelt representert i videoene.
Hvis vi observerer et bl?tt lyssignal i bilde 1 i videoene, vil dette tilsvare synkroniseringen av hendelser i ulike bilder i henhold til v?re beregninger. Ved ? sammenligne disse visuelle signalene med de beregnede tallene kan vi p? en spennende m?te validere v?r forst?else av relativistiske effekter, spesielt n?r det gjelder timing og rekkef?lge av hendelser.
Noen beregninger
Vi begynner med ? beregne ved hvilken tid \(t_B\) i planetenes referansesystem at Lisa n?r Destiny. Dette kan vi enkelt gj?re. Vi vet at avstanden mellom planetene er gitt ved en lengde vi kan kalle \(L_0\). Siden vi n? ser fra planetenes perspektiv trenger vi ikke ? tenke p? lengdekontraksjon. Vi vet ogs? at Lisa reiser med konstant hastighet, som gir en tid \(t_B=L_0/v\).
N? ?nsker vi ? finne tiden det tok m?lt fra Lisas klokke. som tidligere kan vi beregne dette med transformasjonen \(\Delta t'_B=\Delta t_B\sqrt{1-{v^2}}\) som gir \(\Delta t_B'=28.5?r\) slik som i stad.
La oss n? se p? tiden \(\Delta t_{B'}\), alts? tiden m?lt fra perspektivet til Peter. Vi kan begynne med ? se p? posisjonen hans. La oss definere en hendelse B', der en annen observat?r (Peter) i et annet romskip, men innenfor samme referansesystem som v?rt (romskipets utg?ende referansesystem), observerer tiden p? planet 1. I dette referansesystemet er hendelsene B og B' sammenfallende i tid, dvs. \(t'_B=t'_{B'}\). M?let v?rt er ? fastsl? tiden \(t'_{B'}\)der hendelse B' inntreffer fra planetens perspektiv. For ? finne den m? vi f?rst bestemme \(x'_{B'}\), som er posisjonen til hendelse B' i det utg?ende referansesystemet.
Vi har \(x'_{B'}=L_0\sqrt{1-v^2}\). For ? finne tidspunktet kan vi bruke tidromintervaller. Hvis vi ser p? intervallet mellom A og B' f?r vi f?lgende:
\(\Delta S_{AB'}^2=\Delta {S_{AB'}'}^2\)
Det gir
\(\Delta t^2_{AB'}-\Delta x^2_{AB'}={\Delta t'_{AB'}}^2-{\Delta x'_{AB'}}^2\)
Her er \(\Delta t^2_{AB'}=(t_{B'}-t_A)^2=t_{B'}^2\) siden \(t_A=0s\).
Videre er \(\Delta x^2_{AB'}=(x_{B'}-x_A)^2=0\) fordi \(x_{B'}=x_A=0m\)
\({\Delta t'_{AB'}}^2=(t'_{B'}-t'_A)^2={t'_{B'}}^2\)
\({\Delta x'_{AB'}}^2=(x'_{B'}-x'_A)^2={x'_{B'}}^2\)
Fra dette f?r vi \(t_{B'}=\sqrt{{t'_{B'}}^2-x'_{B'}}\)
Hvis vi substituerer med \(t'_B={L_0\over v}\sqrt{1-v^2}=t'_{B'}\) f?r vi
\(t_{B'}=\sqrt{{L_0^2\over v^2}(1-v^2)-L_0^2(1-v^2)}\)
\(t_{B'}=\sqrt{L_0^2v^2-2L^2_0+{L_0^2\over v^2}}\)
\(t_{B'}=\sqrt{{L_0^2\over v^2}(v^4-2v^2+1)}\)
\(t_{B'}=\sqrt{{L_0^2\over v^2}(1-v^2)^2}\)
\(t_{B'}={L_0\over v}-L_0v\)
Hvis vi setter inn \(L_0=200lys?r\) og \(v=0.99c\) f?r vi \(t_{B'}\approx 4?r\).
I neste blogginnlegg fortsetter vi ? studere tvillingparadokset.