Forst?else av atmosf?riske forhold er helt avgj?rende for ? kunne forutsi hvordan raketten vil oppf?rere seg n?r den beveger seg gjennom de ulike atmosf?riske lagene. Med kunnskap om dette kan man optimalisere inngangsvinkelen, nedstigningsbanen og landingsmekanismene, noe som sikrer en trygg landing. Denne modelleringen gj?r det ogs? lettere ? forutse og redusere risikoen for problemer under landingen.
Forenklinger og tiln?rminger
Vi tar utgangspunkt i at Atmosf?ren har en ensartet sammensetning i alle h?yder. Med det mener vi at dersom atmosf?ren for eksempel best?r av 40 % nitrogen, er denne andelen konstant overalt. S? det er alts? 40 % nitrogen ved bakken og 1000 meter over.
Vi antar ogs? sf?risk symmetri. Det vil si at atmosf?rens tetthet (\(\rho\)) er en funksjon av kun den radiale avstanden \(r\) fra planetens sentrum, noe som inneb?rer en sf?risk symmetrisk atmosf?re. Det vil alts? ikke ha noen betydning om vi snur oss rundt og peker posisjonsvektoren i noen annen retning. S? lenge den er like lang vil tettheten v?re lik. Alts? slik som i figur 1.
I tillegg antar vi hydrostatisk likevekt. Det vil si at vi antar at gravitasjonskreftene og trykkgradienten i atmosf?ren er i balanse, slik at vi kan relatere trykk, tetthet og h?yde. Med trykkgradienten menes kraften som virker p? molekylene som er i omr?der der det er h?y tetthet mot omr?der med lav tetthet. Denne vil typisk peke vekk fra planeten fordi tettheten vil synke med ?kende h?yde. Uten noen andre krefter tilstede ville gassen med tiden spredt seg uniformt utover slik at det ikke ble noen forskjell i tettheten, men her hindrer gravitasjonskreftene det fra ? skje. I figur 2 kan du se hvordan dette fungerer.
Gassene i atmosf?ren tiln?rmes som en ideell gass, noe som forenkler forholdet mellom trykk, volum og temperatur. I tillegg er det en fordel ? bruke dette siden vi har blitt godt kjent med ideelle gasser gjennom tidligere blogginnlegg.
Atmosf?ren modelleres i to lag - et adiabatisk lag fra overflaten og opp til det punktet der temperaturen er halvparten av overflatetemperaturen (\(T_0/2\)), og et isotermisk lag over dette punktet. Et isotermt lag vil si et lag der temperaturen er konstant med h?yden. Et adiabatisk lag er et omr?de i atmosf?ren der temperaturendringer oppst?r p? grunn av ekspansjon eller kompresjon av luft uten ekstern varmeutveksling. Dette skjer i henhold til f?lgende ligning:
\(P^{\gamma-1}T^\gamma=konstant\)
Her har vi f?lgende st?rrelser:
- \(P\) er trykket
- \(T\) er temperaturen
- \(\gamma\) er den adiabatiske indeksen eller spesifikt varmeforhold, som er forholdet mellom den spesifikke varmen ved konstant trykk og spesifikke varmen ved konstant volum.
Ligningen har den formen den har fordi den sammenfatter det termodynamiske prinsippet om at i et system der det ikke utveksles varme, er trykk og temperatur invers-relatert, med det spesielle varmeforholdet \(\gamma\) som beskriver dette forholdet.
Her kan du se en enkel tegning av atmosf?ren:
Hvordan har vi modellert atmosf?ren?
Modellen v?r benytter den hydrostatiske likevektsligningen, idealgassloven og loven for adibalistiske gasser. Den hydrostatiske likevektsligningen relaterer trykkendringen med h?yden til gravitasjonskraften. Sammen med ligningen for adibalistiske gasser kan vi f? f?lgende ligning for temperaturendringen gitt h?yden:
\({dT\over dr}=-{\gamma-1\over \gamma}{\mu\cdot m_H\cdot g(r)\over k}\)
Her inng?r f?lgende st?rrelser:
- \(T\) er temperaturen.
- \(r\) er avstanden fra overflaten.
- \(\mu\) er den gjennomsnittlige molekylvekten i hydrogenmasser.
- \(g(r)\) er gravitasjonsakselerasjonen ved en h?yde \(r\).
- \(k\) er Boltzmann-konstanten.
- \(\gamma\) er den adiabatiske indeksen som vi her har valgt ? sette lik \(1.4\).
Denne ligningen beskriver temperaturgradienten \(dT\over dr\) i en adiabatisk atmosf?re. Den knytter temperaturendringen med h?yden \(r\) til den adiabatiske lapseraten, som bestemmes av forholdet mellom spesifikk varme \(\gamma\), gjennomsnittlig molekylvekt \(\mu\), gravitasjonsakselerasjon \(g(r)\) og Boltzmann-konstanten \(k\). Dette gjenspeiler hvordan temperaturen endrer seg med h?yden i en adiabatisk prosess, noe som er typisk for atmosf?refysikk.
Du lurer kanskje p? hva i alle dager \({dT\over dr}\) betyr? Det er egentlig bare en fancy m?te ? skrive at funksjonen for \(P\) er derivert med hensyn p? \(r\). Alts? er det det samme som \(T'(r)\).
I tillegg satte vi opp en annen differensialligning for tettheten \(\rho\) slik:
\({d\rho\over dr}=-{\rho\over T}\left({dT\over dr}\right)-{\rho\over T}{g(r)\cdot\mu\cdot m_H\over k}\)
Her inng?r de f?lgende st?rrelsene:
- \(\rho\) er tettheten til atmosf?ren.
- \(k\) er Boltzmann-konstanten.
- \(T\) er temperaturen.
- \(\mu\) er den gjennomsnittlige molekylmassen i antall hydrogenmasser.
- \(r\) er avstanden fra overflaten.
- \(g(r)\) er tyngdeakselerasjonen ved en avstand \(r\) fra overflaten.
Denne ligningen modellerer den vertikale tetthetsgradienten i en adiabatisk atmosf?re. Den fanger opp hvordan tettheten \(\rho\) avtar med h?yden \(r\). Det f?rste leddet, \(-{\rho\over T}({dT\over dr})\), gjenspeiler hvordan tettheten endrer seg omvendt med temperaturendringer: N?r temperaturen avtar med h?yden (representert med \(dT\over dr\)), reduseres tettheten. Det andre leddet, \(-{\rho\over T}{g(r)\cdot\mu\cdot m_H\over k}\), legger til effekten av tyngdekraften
\(g(r)\) og molekyl?re egenskaper \(\mu\) p? denne gradienten. I hovedsak viser denne ligningen at tettheten i en adiabatisk atmosf?re ikke bare reagerer p? temperaturendringer, men ogs? p? tyngdekraftens p?virkning p? molekylenes bevegelse, og at begge deler bidrar til at tettheten avtar med h?yden. For de spesielt interesserte kan dere se utledningen av de to differensialligningene her.
Differensialligningene som er avledet fra den hydrostatiske likevekten, idealgassloven (\(P={\rho kT\over \mu}\)) og den adibalistiske gassloven l?ses numerisk ved hjelp av en metode kalt Runge-Kutta4. L?sningen for en slik ligning blir da verdiene for trykket og temperaturen for ulike h?yder over overflaten \(r\). Gravitasjonsakselerasjonen \(g(r)\) beregnes som en funksjon av den radiale avstanden fra planetens overflate. Denne er gitt ved Newtons gravitasjonslov p? vanlig m?te, men fordi vi ?nsker at det skal v?re en funksjon av avstanden fra overflaten og ikke sentrum av planeten (?rsaken er at vi ?nsker at alle de deriverte i differensialligningen er derivert med hensyn p? samme variabel) m? vi skrive funksjonen p? denne m?ten:
\(g(r)=\gamma {M_p\over(r+r_p)^2}\)
Her inng?r f?lgende st?rrelser:
- \(\gamma\) er gravitasjonskonstanten som er lik \(6.67\cdot10^{11}m^3kg^{-1}s^{-2}\)
- \(M_p\) er planetens masse
- \(r\) er avstanden fra planetens overflate
- \(r_p\) er planetens radius
Som tidligere nevnt skulle vi modellere atmosf?ren i to lag. Det vi har gjort til n? er jo bare modell for h?yden opp til temperaturen er \(T_0/2\). Vi skulle jo ogs? lage et isotermalt lag. S?nn vi har gjort dette er at n?r temperaturen synker under \(T_0/2\) s? vil temperaturen v?re konstant. Dette har vi skrevet med differensialligningen
\({dT\over dr}=0\)
Hvis du l?ser denne differensialligningen (som du kan gj?re ved ? integrere begge sider med hensyn p? \(r\)) vil du se at temperaturen blir lik en konstant.
Vi satte ogs? opp en ny differensialligning for tettheten i det isotermale laget. Den ble gitt ved f?lgende:
\({d\rho\over dr}=-{2\rho\over T_0}{g(r)\cdot\mu\cdot m_H\over k}\)
Her har alle variablene samme betydning som i forrige ligning for endringen i tetthet. Forskjellen er at vi her har \(T_0\) som betegner temperaturen ved overflaten. Hvis du ser n?ye etter vil du legge merke til at det egentlig er samme ligning for \(d\rho\over dr\) som vi s? i sta, men vi har satt endringen i temperatur lik 0 og satt \(T\) konstant lik \(T_0/2\). \(T_0\) satte vi til ? v?re lik temperaturen som vi beregnet for overflaten i et tidligere blogginnlegg der vi s? p? innstr?ling fra stjerna. Temperaturen ble derfor satt til ? v?re \(T_0=289.8K\). Dersom du er interessert i ? se hvorfor disse differensialligningene kan brukes for ? beskrive tetthet og temperatur kan du lese om det her.
Til slutt ble temperaturen og tettheten beregnet ved ulike h?yder. Vi beregnet for \(200001\) punkter mellom \(0m\) over overflaten og til \(200000m\) over. Alts? beregnet vi st?rrelsene for \(r=0,1,2,3,4,...,200000\).
Hva fant vi ut?
Etter ? ha l?st differensialligningene ble temperaturen og tettheten plottet for intervallet\(r\in(0,200000)\), alts? \(r\) ligger mellom \(0\) og \(200000\). Dette ga f?lgende grafer:
Fra grafen for temperatur ser vi at det er en line?r negativ vekst slik vi ville forvente p? grunn av tiln?rmingene vi har gjort. Hadde vi tatt utgangspunkt i at gassene var ulikt fordelt gjennom atmosf?ren ville grafen sett annerledes ut. Denne har en temperaturendring som tilsvarer, \(K/m\).
Det som er litt rart er at grafen fortsetter ? synke litt etter vi kommer ut av den adibalistiske sonen. Vi har ikke noe godt svar p? hvorfor dette skjer, men det kan muligens ha noe med m?ten differensialligningene l?ses p?. En annen mulighet er at vi har valgt ? la skiftet av differensialligning skje n?r \(T<T_0/2\). Siden vi bruker diskret verdier kan man havne litt p? bortsiden fordi dette skjer i mellom to av verdiene. Likevel burde ikke dette v?re ?rsaken siden vi bruker s?pass mange verdier som vi gj?r. Da burde en s?nn feil ikke v?re synlig p? grafen.
Fra grafen for tetthet ser vi at det er en ganske bratt kurve nedover fram til vi kommer inn i den isotermale laget. Da bremses den veldig ned, noe som skyldes at temperaturen ikke lenger endres. som vi ser vil trykket g? mot \(0\) etterhvert som avstanden ?ker, slik vi ville forvente. Vi ser ogs? at den er p? \(6.81kg/m^3\) ved overflaten til planeten. Til sammenligning har jorden en atmosf?risk tetthet p? rundt \(1.225kg/m^3\) ved havet, s? tettheten er betraktelig st?rre enn p? jorden. Derfor m? vi forvente en mye st?rre luftmotstand enn vi ville f?tt p? jorden.
N? skal det sies at vi har gjort veldig mange forenklinger av atmosf?ren, s? det er ingen garanti for at den faktiske atmosf?ren vil v?re slik vi har sp?dd. Likevel kan det hjelpe oss med ? f? en pekepinn p? hvordan den er s? vi kan gj?re oss klare for landingen.
I neste blogginnlegg skal vi fors?ke ? finne et egnet landingssted p? planeten.