(2) Spektralanalyser av atmosf?ren

S? hvorfor ?nsker vi ? finne ut hvordan atmosf?ren er bygd opp? Dette handler om at atmosf?ren vil ha en stor p?virkning p? raketten ved nedstigningen. For eksempel vil komposisjonen av grunnstoffer bestemme tettheten til atmosf?ren, og dette er direkte knyttet til luftmotstand. For ? sikre en trygg landing p? planeten er det n?dvendig ? vite hva vi har i vente n?r vi begynner nedstigningen. Dermed ?nsker vi en s? god forst?else som mulig for omgivelsene v?re p? vei ned.

Spektralanalyse - hva er det?

N? har jeg allerede nevnt at vi skal bruke spektralanalyse for ? bestemme oppbygningen av atmosf?ren, s? da er det kanskje fint med en liten innf?ring i hvordan det fungerer. Spektralanalyse er i prinsippet en teknikk som involverer analyse av lysspekteret - som inkluderer synlig lys, infrar?d og ultrafiolett str?ling. Str?lingen vil enten blir utstr?lt av, overf?rt gjennom, eller reflektert fra atmosf?ren, og dette kan vi bruke for ? bestemme hvilke elementer som er inneholdt i atmosf?ren. 

Fra fysikk 2 husker du kanskje at forskjellige gasser i atmosf?ren absorberer og emitterer elektromagnetisk str?ling ved spesifikke b?lgelengder. Gjennom analyse av absorpsjons- og emissjonsspektrene, kan man identifisere hvilke gasser som er tilstede og konsentrasjonen av dem. Eksempler p? typiske gasser man kan finne vil v?re karbondioksid, ozon, vanndamp og andre. Under kan du se et eksempel p? et emisjonsspekter, som viser hvilke b?lgelender et bestemt stoff kan sende ut.

Litt analytiske beregninger

Maksimalt doppler-skift

F?r vi begynner med spektralanalysen er det noen analytiske beregninger det kan v?re lurt ? gj?re. F?rst og fremst kan vi begynne med ? se p? doppler-skiftet. Vi skal her se p? ulike typer elektromagnetisk str?ling, og som vi vet vil b?lgene komprimeres eller forlenges avhengig av hvordan vi beveger oss. Siden vi g?r i bane rundt planeten er det ?penbart at vi ikke st?r stille, og vi m? derfor vite hvor stor denne endringen vil v?re. Derfor kan det v?re en fordel ? beregne en ?vre grense for doppler-skiftet.

Du husker kanskje at doppler-skift er gitt ved denne formelen:

\(\Delta f=f\left({v\over c}\right)\)

Her er 

• \(\Delta f\) observert i frekvens for b?lgen, 
• \(f\) er den utsendte frekvensen, 
• \(v\) er farten til observat?ren og 
• \(c\) er lyshastigheten.

Vi tar her utgangspunkt i at maksfarten til raketten er p? \(10km/s=10 000m/s\). Med \(c=3.0\cdot10^8m/s\) gir dette

\(\Delta f_{max}=f\cdot{1\over3\cdot10^4}\)

Alts? vil den maksimale endringen i frekvens v?re p? \(1/30000Hz\). 

Modellering av spektrallinjer

N? skal vi se litt n?rmere p? spektrallinjer, og mer spesifikt standardavviket til linjeprofilene. Spektrallinjer kan tenkes p? som kosmiske strekkoder som gir oss informasjon om sammensetningen av fjerne stjerner og planeter, eller i dette tilfellet - atmosf?ren til en planet. Disse linjene oppst?r i lysspekteret p? grunn av lysets interaksjon med atomer og molekyler, der alle grunnstoffer og molekyler har sine unike linjer.

Et viktig konsept for ? forst? disse linjene er den s?kalte gaussiske linjeprofilen. Dette er en slags kurve som viser hvordan lyset fordeler seg rundt en spektrallinje. Bredden p? denne kurven, eller standardavviket \(\sigma\), gir oss informasjon om forholdene i gassen som sender ut eller absorberer lyset. Under i figur 2 kan du se ulike gaussike kurver.

Standardavviket p?virkes av tre hovedfaktorer: gassens temperatur \(T\), gasspartiklenes masse \(m\) og spektrallinjens sentrale b?lgelengde \(\lambda_0\). Ved hjelp av prinsipper som vi har sett p? tidligere, slik som Maxwell-Boltzmann-fordelingen, som beskriver partikkelhastigheten i en gass ved en gitt temperatur, og dopplereffekten, som forklarer hvordan bevegelse p?virker oppfatningen av lys, kan vi utlede en formel for \(\sigma\). Denne formelen kan brukes til spektralanalyse, slik at de kan finne viktige egenskaper ved himmellegemer, som temperatur og sammensetning, bare ved ? studere lyset de sender ut eller absorberer.

\(\sigma\) kan brukes for ? finne flere interessante egenskaper ved atmosf?ren. For eksempel kan et stort standardavvik tyde p? h?y temperatur og tunge partikler. I tillegg kan det gi informasjon om hvordan gassen oppf?rer seg, og komposisjonen. Dermed er det en stor fordel ? kunne beregne denne. Vi kan begynne med ? se p? hva Maxwell-Boltzmann-fordelingen forteller oss. Fra tidligere blogginnlegg husker du kanskje at hastigheten til partiklene i en ideell gass kan beskrives med denne ligningen:

\(v_{max}^2={2kT\over m}\)

Her er 

• \(v_{max}\) makshastigheten til en partikkel i gassen, 
• \(k\) er Boltzmann-konstanten som er gitt ved \(k=1.38\cdot10^{-23}J/K\), 
• \(T\) er temperaturen i kelvin
• \(m\) er massen til en partikkel i gassen. 

Videre kan vi se p? et nytt konsept som skal hjelpe oss i beregningene, nemlig bredden p? kurven ved halv maksimum (\(FWHM\)). Se figur 4 for visualisering.

For en s?kalt Gausskurve som vi ser p? her har vi f?lgende sammenheng mellom \(FWHM\) og standardavviket \(\sigma\):

\(FWHM=2\sqrt{2\ln(2)}\sigma\)

Gjennom litt utledning som du kan se her hvis du er interessert s? kan man komme fram til f?lgende: 

\(FWHM={2\lambda_0\over c}\sqrt{{2kT\ln(2)\over m}}\)

Kombinerer man disse to kommer man fram til f?lgende uttrykk for standardavviket:

\(\sigma={\lambda_0\over c}\sqrt{{kT\over m}}\)

Som vi ser er det kun tre parametere som bestemmer standardavviket: massen til partiklene i gassen, b?lgelengden p? str?lingen som sendes ut, og temperaturen. Da ser vi hvordan vi kan bruke spektrallinjene til ? f? informasjon om dette.

Generering av spektrallinjer

For ? tolke spektrallinjer er det en god start ? faktisk finne noe ? tolke. N? skal vi se litt n?rmere p? hvordan vi gj?r det. For ? gj?re det mulig har vi utstyrt raketten v?r med instrumenter som kan m?le fluksen til lys med b?lgelengde mellom \(600nm\) og \(3000nm\). Denne har tatt m?linger hele veien fra vi kom ned i den lave banen rundt planeten. Vi skal n? fors?ke ? analysere fluksdataene fra instrumentene ved hjelp av \(\chi^2\)-minimering for ? unders?ke hvilke gasser som finnes i atmosf?ren.

\(\chi^2\)-minimering

Men f?rst, hva er \(\chi^2\)-minimering? Dette er en metode for ? analysere data som inneholder st?y, slik som least square som vi har brukt tidligere. Hovedforskjellen er at denne metoden kan brukes dersom st?yen endres ogs?. Formelen for \(\chi^2\)-minimering er gitt ved f?lgende:

\(\chi^2=\sum_{i=1}^N\left[{f_i-f(t_i)\over \sigma_i}\right]^2\)

Her er \(f_i\) den \(i\)-ende m?lingen i et sett med \(N\) m?linger, \(f(t_i)\) er den tilsvarende forventede verdien for en matematisk modell \(f(t)\) og \(\sigma_i\) er det tilh?rende standardavviket i st?yen til m?lingen. M?let med \(\chi^2\)-minimering er ? finne den n?rmeste matchen mellom modellen og de m?lte dataene.

Statistisk analyse av dataene

Gaussisk linjeprofiltilpasning

Spektrallinjene modelleres ved hjelp av en Gaussisk linjeprofil, som matematisk representeres som:

\(F(\lambda)=F_{cout}+(F_{min}-F_{cont})e^{\left(-{ 1\over2}\left({\lambda-\lambda_0\over \sigma}\right)^2\right)}\)

hvor:

• \(F(\lambda)\) er fluksen ved b?lgelengden \(\lambda\)
• \(F_{cont}\) er kontinuumfluks-niv?et, alts? fluksen n?r ingen spektrallinjer er tilstede. Her er den normalisert til ? v?re lik \(1\)
• \(F_{min}\)er den minimale fluksen i midten av spektrallinjen
• \(\lambda_0\) er den sentrale b?lgelengden til spektrallinjen,
• \(\sigma\) er standardavviket til linjeprofilen, som representerer bredden.

Ligningen representerer en modifisert Gauss-profil som brukes til spektralanalyse. Den modellerer den observerte fluksen \(F(\lambda)\) ved en bestemt b?lgelengde \(\lambda_0\) som en kombinasjon av en konstant bakgrunnsfluks \(F_{cont}\) og en gaussisk topp, som varierer med b?lgelengden. Den gaussiske toppen, som er karakterisert ved avviket fra bakgrunnsfluksen \(F_{min}-F_{cont}\), er sentrert rundt og modulert med en faktor p? 
\(\sigma\), som bestemmer bredden p? toppen. Det eksponentielle uttrykket \(e^{\left(-{1\over2}\left({\lambda-\lambda_0\over\sigma}\right)^2\right)}\) beskriver hvordan fluksen varierer med b?lgelengden rundt og faller symmetrisk av p? hver side av toppen i henhold til den gaussiske fordelingen. Denne typen ligning brukes ofte i spektroskopi for ? modellere fordelingen av lysintensiteten over ulike b?lgelengder, spesielt n?r man analyserer spektrallinjer mot et kontinuerlig spektrum.

Hvor godt den gaussiske profilen passer til de observerte dataene, evalueres ved hjelp av kjikvadratminimering som vi introduserte tidligere.

Iterativt parameters?k

Det utf?res et iterativt s?k over et forh?ndsdefinert verdiomr?de for \(\lambda_0\), \(\sigma\) og \(F_{min}\) for ? finne den kombinasjonen som minimerer kjikvadratverdien. Dette inneb?rer ? beregne \(\chi^2\) for hver kombinasjon av parametere og velge den med lavest verdi.

Beregning av temperatur

Gassens temperatur beregnes ved hjelp av standardavviket (\(\sigma\)) til den gaussiske linjeprofilen, som blir bestemt gjennom khikvadrat-minimeringsprosessen. Forholdet mellom \(\sigma\), temperaturen \(T\) og massen til en partikkel i gassen \(m\) kan utledes fra prinsippene for Doppler-utvidelse av spektrallinjer som vi s? p? tidligere. Formelen som brukes, er

\(T={m\sigma^2c^2\over k\lambda_0^2}\)

hvor:

• \(m\) er massen til den emitterende partikkelen,
• \(c\) er lysets hastighet,
• \(k\) er Boltzmann-konstanten.

S? fort \(\sigma\) er er bestemt for hver spektrallinje vil temperaturen beregnes for hver spektrallinje.

Identifisering av gasser og beregning av gjennomsnittlig molekylvekt

Gasser identifiseres ved ? sammenligne de sentrale b?lgelengdene (\(\lambda_0\)) fra analysen med kjente spektrallinjer for gasser. Den gjennomsnittlige molekylvekten (\(\mu\)) for atmosf?ren beregnes s? basert p? de identifiserte gassene og deres relative mengde ved hjelp av ligningen:

\(\mu=\sum_if_{m,i}{m_i\over m_H}\)

der:

• \(f_{m,i}\)er den fraksjonelle forekomsten av \(i\)-te gassen, alts? forteller den at for eksempel \(30/100\) av gassen er \(CO_2\).
• \(m_i\)er massen til den \(i\)-te gassen,
• \(m_H\) er massen av hydrogen (brukt som referanse).

Hva fant vi ut?

Vi fikk de f?lgdende verdiene for de ulike spektrallinjene: 

Som vi ser ble spektrallinjene observert ved b?lgelengder fra \(632nm\) til \(2870nm\). Minimumsfluksen \(F_{min}\) ved disse b?lgelengdene varierte, med den laveste verdien p? n?yaktig \(0.7\) (ved \(760nm\) og \(2200nm\)) og den h?yeste p? \(0.92727\) (ved \(940nm\)). \(F_{min}\)-verdiene, spesielt de som er n?r \(0.7\), tyder p? at noen spektrallinjer er akkurat p? grensen til ? bli oppdaget. Dette kan bety enten en svak tilstedev?relse av den tilsvarende gassen. De h?yere \(F_{min}\)-verdiene indikerer sterkere og tydeligere spektrallinjer. Men alt dette gjenst?r ? se n?r vi tolker grafene.

De sentrale b?lgelengdene \(\lambda_0\) stemte godt overens med de forventede b?lgelengdene, noe som indikerer en god tilpasning til spektrallinjene. Dette tyder p? at de gaussiske linjeprofilene vi brukte i analysen, var egnet til ? modelleringen. Den store likheten mellom de observert sentrale b?lgelengdene og de forventede b?lgelengdene styrker troverdigheten til at spektrallinjene er ekte ogs?. Likevel m? vi analysere dataene mer n?yaktig f?r vi kan trekke noen konklusjoner. Det skal vi gj?re med med grafene som kommer under.

Temperaturene knyttet til disse spektrallinjene varierte betydelig, fra \(150K\) til \(450K\). Denne variasjonen kan tyde p? ulike gasser eller varierende forhold i atmosf?ren. Men vi hadde en forventing om at temperaturen skulle ligge mellom disse to tallene, s? det er likevel sannsynlig at det kan stemme. Det brede temperaturomr?det (\(150K\) til \(450K\)) kan tyde p? en rekke ulike gasser i atmosf?ren, som alle har ulike termiske signaturer. En annen forklaring kan v?re at dette er et resultat av varierende forhold atmosf?ren, men dette velger vi ? ikke ta hensyn til for ? forenkle senere modeller.

Hvilke gasser er i atmosf?ren?

Som tidligere nevnt har ulike gasser forskjellige spektrallinjer, n? som vi har funnet spektrallinjene kan vi sammenligne med noen vanlige gasser som vi finner i atmosf?ren. I tabellen under kan du se noen av de vanligste gassene og deres tilh?rende spektrallinjer.

Som vi ser her har vi funnet alle spektrallinjene som er i tabellen, s? da har vi vel alle gassene i atmosf?ren? Dessverre er det ikke s? enkelt. Det er nemlig ikke sikkert at alle spektrallinjene er ekte. Noen ganger kan st?y f? det til ? se ut som at det er en spektrallinje et sted der det ikke er en. For ? skille de falske fra de ekte har vi plottet dataene med st?y sammen med den gaussiske linjeprofilen for ? sammenligne. Dersom det ser ut som at det er en tydelig dip i begge grafene p? samme sted velger vi her ? g? ut i fra at det er en ekte spektrallinje. I figurene under kan du se plottene som vi tok utgangspunkt i. 

Basert p? disse grafene har vi kommet fram til at f?lgende om spektrallinjene:

Etter ? ha studert grafene identifiserte vi ?tte spektrallinjer som ekte: \(632nm\), \(690nm\), \(720nm\), \(760nm\), \(1600nm\), \(1660nm\), \(2200nm\) og \(2340nm\). Linjene ved \(820nm\), \(940nm\), \(1400nm\) og \(2870nm\) konkluderte vi med at var falske. Denne klassifiseringen ble basert p? samsvar mellom forventede b?lgelengder og tilstedev?relsen av merkbare fall i de gaussiske linjeprofilene. Dette er p? ingen m?te en perfekt m?te ? gj?re dette p?, men det er det vi har valgt. Siden alle \(F_{min}\)-verdiene er lik \(0.7\) eller h?yere s? er det mulig at alle gassene er tilstede i amtomsf?ren, men vi har valgt ? kun g? ut i fra at de med tydeligst utslag er ekte.

Reelle spektrallinjer og tilh?rende gasser

Oksygen (\(O_2\)): Spektrallinjer ved \(632nm\), \(690nm\) og \(760nm\) tyder p? tilstedev?relse av oksygen i atmosf?ren.
Vanndamp (\(H_2O\)): Linjen ved \(720nm\) indikerer tilstedev?relsen av vanndamp. Forventede linjer ved \(820nm\) og \(940nm\) ble ikke bekreftet.
Karbondioksid (\(CO_2\)): Linjen ved \(1600nm\) tyder p? tilstedev?relse av \(CO_2\), men linjen ved \(1400nm\) ble ikke bekreftet.
Metan (\(CH_4\)): Linjer ved \(1660nm\) og \(2200nm\) indikerer metan.
Karbonmonoksid (\(CO\)): Linjen ved \(2340nm\) tyder p? tilstedev?relse av \(CO\).
Falske spektrallinjer
Linjer ved \(820nm\), \(940nm\), \(1400nm\) og \(2870nm\) ble klassifisert som falske. Dette kan skyldes instrumentell st?y eller andre atmosf?riske fenomener som ikke er relatert til om det faktisk er gasser der eller ikke.

Konklusjonen er at atmosf?ren ser ut til ? v?re sammensatt av en rekke ulike gasser. Det er litt vanskelig ? gi et sikkert svar p? akkurat hvilken gasser som er der og hvilke som ikke er der. For ? gj?re det kunne man for eksempel tatt flere m?linger og sammenlignet utslagene. Til slutt konkluderte vi med at de f?lgende gassene er i atmosf?ren: \(O_2\), \(CH_4\), \(CO\) og muligens \(H_2O\) fordi dippen p? \(720nm\) var s? veldig tydelig. Det er ogs? godt mulig at det kan v?re \(N_2O\) i atmosf?ren, men siden dippen ikke er mer tydelig velger vi ? ikke ta den med.

Til slutt ble den gjennomsnittlige molekylmassen \(\mu\) i atmosf?ren beregnet med formelen som ble nevnt tidligere. Her gikk vi ut i fra en lik forekomst av alle de ulike gassene. Det ga f?lgende resultat: \(\mu=23.33g/mol\) som vil si at \(6.022\cdot10^{23}\) molekyler av gassen vil veie \(23.33g\). Til sammenligning ligger det p? rundt \(28.61g/mol\) p? jorden. Hvis man tar utgangspunkt i at atmosf?rene er like store vil den ideelle gassloven tyde p? en h?yere tetthet i gassene enn p? jorden. Dette vil i s? fall resultere i mer luftmotstand enn man vil oppleve p? jorden.  Men tettheten skal beregnes mer n?yaktig i neste blogginnlegg s? vi kan ta konklusjonene da.