I forrige bloggpost kom vi i bane om planeten. F?r vi begynner landingen trenger vi ? finne ut mer om atmosf?ren og planetens overflate. For ? f? tak i denne informasjonen har vi innsett at vi m? komme oss anda n?rmere enn hva vi er n? derfor m? vi finne en m?te ? komme oss ned i mindre bane om planeten, og simulerere hvordan raketten vil bevege seg i denne. Hovedm?let er ? oppn? en presis og kontrollert landing, med tanke p? ulike gravitasjons- og banedynamiske forhold.
Hvordan kommer vi inn i riktig bane?
Dette er ikke bare bare, og det kan v?re vanskelig ? velge en gunstig plan for ? komme seg inn. Heldigvis for oss skjer v?r romreise i et datagenerert solsystem, som betyr at det ikke er noen krise om vi ikke lykkes med en gang. Vi kan nemlig pr?ve igjen s? mange ganger vi vil. For ? komme inn i banen var det rett og slett litt pr?ving og feiling som skulle til. Til slutt kom vi fram til f?lgende metode:
- Prosessen startet med ? initialisere romfart?yets tilstand, inkludert posisjon og hastighet.
- Boost nummer 1 ble utf?rt rett etter initialiseringen var ferdig for ? endre rakettens hastighet. N?rmere bestemt ble det brukt en boost-vektor p? \(\vec{v}_1=[0,1500,0]m/s\), noe som betyr en hastighetsendring i y-retningen. Denne forbrenningen ble brukt for ? starte rakettens nedstigning mot planeten, basert p? dens n?v?rende bane.
- Etter denne boosten ble rakettens tilstand (posisjon og hastighet) vurdert p? nytt for ? klargj?re til nye man?ver. Deretter innledet vi en kontrollert fallfase der raketten fikk synke p? grunn av gravitasjonsp?virkning i en periode p? \(51500s\) eller \(14.3\) timer. Dette var for ? f? raketten n?rmere planeten.
- For ? fullf?re banejusteringen ble utf?rte vi en ny boost. Denne boosten, som var gitt ved vektoren \(\vec{v}_2=[0,-1660,0]m/s\), hadde som m?l ? bremse opp raketten for ? sikre at det n?dde baneavstanden vi ?nsket uten ? skyte over.
I figur 1 kan du se hvordan dette skal g? for seg.
Simulering av banen
N? som vi har f?tt raketten ned i ?nsket h?yde vil det v?re en fordel ? simulere banen den vil ta om planeten s? vi vet hvor langt unna planeten vi er ved gitte tidspunkter. S? hvordan gj?r vi det?
F?rst begynner vi med ? se p? kreftene som virker p? raketten. Siden vi er s? n?rme planeten velger vi ? se bort i fra gravitasjonskrefter fra andre planeter fordi disse vil bli s? sm? til sammenligning. For ? finne gravitasjonskraften bruker vi nok en gang Newtons gravitasjonslov gitt ved:
\(G=\gamma{M_pm_r\over r^2}\)
Her inng?r de f?lgende st?rrelsene:
- \(\gamma\) er gravitasjonskonstanten.
- \(M_p\) er planetens masse.
- \(m_r\) er rakettens masse.
- \(r\) er avstanden mellom massesenterne til de to legemene.
Etterp? ble posisjonen og hastigheten beregnet ved hjelp av leapfrog integrasjon, som er en numerisk metode for ? l?se differensialligninger. Dersom du er interessert kan du se en video om det her. Leapfrog-metoden er en symplektisk integrator, noe som betyr at den bevarer bevegelsens geometriske egenskaper, noe som er viktig ved simulering av baner over lange perioder. Metoden vil skifte mellom ? oppdatere hastigheter og posisjoner, som i praksis "hopper" over hverandre. Den er spesielt gunstig for problemer som involverer gravitasjonskrefter, fordi det sikrer bevaring av energi og som gir en riktig bevegelse over tid.
Hvordan ble banen?
Under kan du se plottet av den nye banen v?r sammen med ruten inn fra den originale st?rre banen
Som vi ser kom vi inn i en bane som ser sv?rt sirkul?r ut. Vi fant de f?lgende verdiene for den nye ellipsebanen:
| Radiell hastighet ved f?rste punkt i banen | Store halvakse | Lille halvakse | Eksentrisitet |
|---|---|---|---|
| \(1.55m/s\) | \(1.14\cdot10^{3}mil\) | \(1.14\cdot10^3mil\) | \(0.01\) |
| Avstand til apoapsis | Avstand til periapsis | Oml?pstid |
|---|---|---|
| \(1.15\cdot10^3mil\) | \(1.13\cdot10^3mil\) | \(3.8\) timer |
Som vi ser er eksentrisiteten veldig liten, og lille og store halvakse er veldig like, noe som tyder p? at banen er omtrent sirkelformet. Likevel har vi ikke konstant avstand fra planetens sentrum, som vi kan se fra verdiene for avstanden til apoapsis og periapsis. Her ser vi at avstanden til apoapsis er cirka \(1.8\) prosent st?rre enn avstanden til periapsis. Siden dette er ytterpunktene s? vil forskjellen for to vilk?rlige andre punkter v?re mindre. Alts? er det liten variasjon i avstand fra planeten i l?pet av oml?pet.
I figuren under kan du se et eksempel p? et plott for en mislykket nedstigning. Vi fikk en del slike f?r vi fant en plan som tok oss n?rme nok planeten. Som vi ser der kommer vi inn i en sirkelformet bane om planeten, men avstanden er mye st?rre, som vil kunne gi problemer n?r vi skal ta bilder og m?linger senere.
Er vi inne i atmosf?ren eller ikke?
Dersom vi har kommet inn i atmosf?ren vil vi raskt bremses ned og begynne ? dette ned mot bakken. Det ?nsker vi selvf?lgelig ikke. Derfor har vi latt raketten noen oml?p rundt planeten og tatt m?linger av avstanden til planeten. Dersom den gjennomsnittlige avstanden holder seg tiln?rmet konstant i flere oml?p vil det tyde p? at vi ikke er utenfor atmosf?ren slik vi ?nsker.
Etter ? ha gjort en simulering av \(67\) baner om planeten der vi beregnet gjennomsnittlig avstand til raketten kom vi fram til at variansen var p? rundt \(8.91\cdot10^{-9}m^2\), som tyder p? at gjennomsnittsavstanden holder seg tiln?rmet konstant. Dermed kan vi konkludere med at vi ikke er inne i atmosf?ren.
N? som vi har kommet oss inn i en mindre bane kan vi begynne ? ta m?linger som vi kan bruke til ? finne planetens atmosf?resammensetning og til ? planlegge landingen. Det skal vi begynne med i neste blogginnlegg.