Situasjonen
Det sorte hullet har massen M. Du launchet raketten i en radius R = 20M (M for masser) fra sentrum av det sorte hullet. Du launchet fra en vinkel \(\theta = 167^{\circ}\), der \(\theta\) er vinkelen mellom retningsvektoren og hastighetsvektoren din. Raketten din har farten \(v_{shell} = 0.993\). Denne farten er m?lt av en observat?r som befinner seg i samme avstand fra det sorte hullet som der du launchet fra. Den heter \(v_{shell}\) fordi vi ser for oss at observat?ren befinner seg p? et kuleskall rundt det sorte hullet, og dette kuleskallet har radius \(R = 20M\). Husk at farten er enhetsl?s n?r vi regner relativistisk, fordi vi har satt lysfarten \(c=1\). Slik vil situasjonen se ut:
Vi er interessert i ? finne ut av om du kan komme deg unna det sorte hullet med livet i behold. For ? finne ut at dette trenger vi ? unders?ke hva som skal til for ? unnslippe et sort hull. Og hva vil eventuelt skje med deg om du ikke gj?r det?
Hva kan skje med deg?
Et legeme i fritt fall unng?r ? bli absorbert av det sorte hullet s? lenge det ikke havner innenfor en viss radius \(r_{crit}\) (der crit st?r for "criteria") fra det sorte hullet. Hvis legemet har en energi \(\frac{E}{m} > \frac{E_{crit}}{m}\) vil det komme for n?rme slik at \(r < r_{crit}\), og legemet absorberes. For ? sjekke om \(r < r_{crit}\) trenger man alts? ? finne energi per masse \(\frac{E}{m}\) for legemet. Vi trenger ogs? ? finne denne \(r_{crit}\)! Det gj?r vi ved ? finne ut ved hvilken radius raketten har st?rst effektivt potensial. Og for ? finne dette, trenger vi spinn per masse \(\frac{L}{m}\) for raketten. Dette var mange ulike st?rrelser, som kanskje ikke umiddelbart sier deg s? mye. Men fortvil ikke, vi skal forklare alt! Vi kan starte med ? granske en skisse av gravitasjonspotensialet rundt et sort hull:
Vi ser fra plottet at potensialet g?r mot 1 n?r man beveger seg uendelig langt unna det sorte hullet. Hva i alle dager, tenker du kanskje. I Newtonsk mekanikk vet vi at potensialet vil g? mot 0 i dette tilfellet. Det er fordi man ikke tar hensyn til legemets hvilemasse! Det velkjente uttrykket for energi \(E=mc^2\) med m som masse og lysfarten \(c=1\) gir oss at \(\frac{E}{m}=1\)! Det er derfor et potensial lik 1 er markert i figuren. Men det viktigste ? merke seg fra figuren er at dersom du havner innenfor \(r_{crit}\) vil potensialet ditt g? mot null. Uh, Oh. Det betyr at du blir absorbert av det sorte hullet! N? ser vi hvorfor \(r_{crit}\) er s? viktig for oss ? finne. Vi ser ogs? at det er energien per masse for legemet som bestemmer hva potensialet blir! Dersom er vi n?dt til ? finne ut av hva denne er for raketten din.
Du kan tenke deg at det triller en ball opp? potensialkurven. Hvis det kommer en ball fra h?yre p? kurven som har h?y nok fart, s? vil den n? opp til toppunktet p? grafen, tippe over, og fyke nedover. Farten til ballen vil for oss v?re energi per masse \(\frac{E}{m}\) for raketten. Vi har fire tilfeller:
| Hvor mye energi per masse |
Hva skjer? |
|---|---|
| \(\frac{E}{m} < 1\) | Raketten vil g? i bane rundt det sorte hullet i evig tid |
| \(1 < \frac{E}{m} < \frac{E_{crit}}{m}\) | Raketten kan bevege seg uendelig langt unna det sorte hullet |
| \(\frac{E}{m} > \frac{E_{crit}}{m}\) | Raketten absorberes av det sorte hullet |
| \(\frac{E}{m} = \frac{E_{crit}}{m}\) | Raketten vil begynne ? g? i bane rundt det sorte hullet, men etterhvert vil ?rsm?, tilfeldige endringer i energien f?re til et av de andre tilfellene |
Ok, la oss g? i gang! Vi bruker det generelle relativistiske uttrykket for energi per masse \(\frac{E}{m}\), og finner ut hva dette er for deg og raketten din. Vi finner ut at dette er omtrent lik 8. Vi finner deretter ut hvordan potensialet til raketten din varierer med avstanden fra sentrum av det sorte hullet. Da bruker vi det generelle relativistiske uttrykket for effektivt potensiale. Siden vi ville finne ut ved hvilken radius r raketten din har st?rst potensiale, finner vi ekstremalpunktene til funksjonen. Da f?r vi to ulike radier som vi kaller \(r_{ekstremal, 1}\) og \(r_{ekstremal, 2}\)! Hvilken av dem gir maksimumspunktet? Vi ser fra tegningen over at maksimumspunktet er ved en mindre radius enn minimumspunktet. Derfor vet vi at den minste av dem, er den vi skal ha tak i! Men uttrykket vi fant for denne radien er uttrykt med spinn per masse. La oss finne hva det blir for raketten din. Vi bruker definisjonen av spinn, og putter bla. inn hvilken bevegelsesmengde skallobservat?ren vil mene at du har. Da finner vi at \(\frac{L}{m} ≈ 37.8\). N? har vi faktisk alt vi trenger for ? finne ut av hvordan rakettens potensial varierer med radien fra det sorte hullets sentrum. Vi plotter det:
?nei! Vi ser fra plottet at raketten vil bli absorbert av det sorte hullet. Vi ser at \(\frac{E}{m}\) (den stiplede linja) er st?rre enn \(\frac{E_{crit}}{m}\) (den bl? linja). Derfor er kriteriet for ? at raketten din blir absorbert av det sorte hullet dessverre oppfylt! Det var leit. Er alt h?pet ute n?? Mja, la oss unders?ke hva som vil skje med deg videre.
Hvor god tid har du p? deg til ? reflektere over livet ditt, fra du entrer eventhorisonten (forklaring), til du n?r singulariteten i det sorte hullet? Med singulariteten mener vi at det finnes et punkt i romtiden (de tre romlige dimensjonene + tidsdimensjonen) som har helt unike egenskaper. Dette punktet vil best? av uendelig mye masse. Men siden det er definert som et punkt, har ikke denne massen noe areal ? fordele seg over. Derfor sier man at massetettheten i punktet ogs? er uendelig. Da er det ikke rart at det er vanskelig ? unnslippe tiltrekningen mot dette punktet! Tilbake til sp?rsm?let. Hvor lang tid bruker du fram til singulariteten? Vi finner egentiden din. Egentid er tiden en klokke m?ler mellom to hendelser, n?r den er tilstede ved begge hendelsene. Fordi du er i fritt fall, vil egentiden v?re tiden du m?ler p? klokka di. Da bruker vi det generelle relativistiske uttrykket for energi per masse, og spinn per masse. Dette kombinerer vi med uttrykket for et Schwarzschild-linjeelement (forklaring). Da f?r vi at egentiden er gitt som \(\tau = 0.24 M\). Vi vil ha et konkret tall, s? vi setter inn massen til det sorte hullet i Melkeveien, som er \(M = 4\cdot 10^6 M_{\odot}\) (der \(M_{\odot}\)er massen til sola). Da f?r vi at egentiden din er \(\tau ≈ 4,75s \). Du har alts? ikke s? mye tid p? deg... Men hva vil skje med deg i l?pet av denne tiden?
F?r du kommer fram til singulariteten begynner du ? strekkes ut. Dette skjer p? grunn av den enorme krumningen av tidrommet inne i det sorte hullet. Derfor vil det bli veldig br? endringer i "gravitasjonskreftene" som virker p? deg.
Jeg skriver gravitasjonskraften i hermetegn fordi det er riktigere ? tenke p? det som en geometrisk egenskap. I generell relativitet ser man p? gravitasjon som en krumning i romtiden. Det sorte hullet vil krumme romtiden slik som en ball vil krumme et teppe som henger horisontalt i lufta. Men vi kaller det krefter for enkelhets skyld. Det er det vi er vant til ? bruke. Det er kanskje ikke mer intuitivt, men det er enklere ? visualisere. Alts?, kreftene som virker p? f?ttene dine vil v?re mye sterkere enn de som virker p? hodet ditt. Det er illustrert her:
Du har kanskje l?rt om hvordan tidevann oppst?r? M?nen trekker p? jorda med en gravitasjonskraft, akkurat slik som jorda trekker p? m?nen. Siden m?nen er mye mindre massiv enn jorda, er krafta den trekker p? jorda med naturligvis mye mindre. Men vi kan merke effekten av den. Siden m?nen og jorda er s? n?rme hverandre, vil det virke en merkbart st?rre gravitasjonskraft fra m?nen p? den sida av jorda som er vendt mot m?nen. Derfor vil det oppst? h?yvann p? siden av jorda som er n?rmest m?nen, og lavvann p? den andre. Dette enkle prinsippet er analogt til det som skjer inne i det sorte hullet. Effekten blir s? ekstremt mye sterkere i et sort hull fordi det har s? h?y tetthet. Hvis du st?r p? jorda kan vi med ganske stor sikkerhet si at gravitasjonskrafta fra m?nen drar like mye i hodet som i f?ttene dine. Derfor legger du ikke merke til den. I et sort hull derimot, vil differansen v?re s? stor at kroppen din strekkes. F?rst strekkes den nedre delen av kroppen din, men etterhvert vil overkroppen f?lge etter og det vil bare bli en lang tr?d igjen av deg! Du har blitt spaghettifisert.
Her har jeg pr?vd ? illustrere hvordan spaghettifisering fungerer:
Vi ser at astronauten (deg) blir strukket og strukket, helt til han ender opp i singulariteten. Han vil d?.
Hell i uhell
Vi fant ut hva kriteriet for ? ikke bli absorbert av et sort hull var. S? fant vi ut at raketten din og deg uheldigvis ikke oppfylte dette kravet. Deretter s? vi at du fyker megakjapt gjennom det sorte hullet, og underveis ble du kraftig strukket ut! Det var som fryktet, alt tyder p? at du er p? vei mot en sikker d?d. Vi fikk i det minste l?rt litt generell relativitet av ulykken din!