Spinnvill

Har du h?rt om prinsippet om maksimal aldring f?r? Nei? Hvis ikke, s? kommer en forklaring p? dette straks. Uansett, s? skal vi pr?ve ? bruke dette prinsippet til ? utlede loven om bevaring av angul?rmoment, eller mer n?yaktig spinn per masse!

Situasjonen

Vi har et bevegende objekt som flytter seg gjennom tre punkter, som du kan se i figur 1. Dette objektet beveger seg rundt et sort hull, og koordinatene til objektet er definert ved polarkoordinater hvor origo er sentrum av det sorte hullet. Vi fastsl?r tidene, radiene og vinklene for alle disse punktene, utenom vinkelen for punkt 2, som vi lar v?re en fri parameter. Vi vil anta at avstanden mellom punktene 1 og 2, og mellom punktene 2 og 3, er s? liten at radiusen mellom hver av parrene er konstant. Vi vil n? bruke denne situasjonen til ? unders?ke om vi har noen bevarte st?rrelser!

For deg som er ny til generell relativitet

F?r vi starter ? unders?ke situasjonen v?r, s? vil jeg belyse noen muligens ukjente begreper. Jeg vil da starte med prinsippet om maksimal aldring, slik at dere ikke trenger ? vente i spenning! Dette prinsippet sier at en partikkel som ikke p?virkes av noen ytre krefter vil f?lge den lengste mulige veien i romtid, alts? veien som gir st?rst mulig egentid. Spesiell relativitet forteller oss at en fri partikkel vil f?lge en rett linje i romtid, som vil si at den vil ha konstant hastighet. N?r vi har gravitasjon tilstede, s? vil en partikkel derimot ikke ha konstant hastighet, siden den vil f? en akselerasjon fra gravitasjonen. Men er ikke gravitasjon en ytre kraft da? Nei, faktisk ikke! I generell relativitet, s? er ikke gravitasjon anset som en kraft, men et resultat av romtidsgeometrien i n?rheten av masser. I romtid s? vil en fri partikkel p?virket av gravitasjon fremdeles f?lge den lengste mulige veien (som definert av prinsippet), men dette vil ikke lenger v?re en rett linje. Partikkelen vil da f?lge veien som f?rer til sentrum av objektet som p?f?rer gravitasjon.

Som du kanskje husker fra da vi diskuterte spesiell relativitetsteori, s? kunne vi bruke Lorentzgeometri for ? unders?ke tider og posisjoner for ulike eventer. Denne geometrien er derimot ikke gyldig for romtid n?r vi har gravitasjon tilstede. Ettersom Lorentzgeometri vil si at en fri partikkel vil bevege seg i en rett linje i romtid, noe den ikke vil n?r vi har gravitasjon. Dermed er vi n? kommet inn i verdenen til generell relativitetsteori, siden objektet v?rt vil oppleve gravitasjon fra det sorte hullet. Vi m? n? bytte hvilken geometri vi bruker, og dette blir til den s?kalte Schwarzschild-geometrien. Et linjeelement i denne geometrien er definert ved polarkoordinater, som er definert ved to eventer og en sentral masse (i v?rt tilfelle er dette det sorte hullet).

Den siste teoribiten jeg skal gjennomg? omhandler observat?rer. I generell relativitet bruker vi tre typer observat?rer, som er langt-vekk-observat?r, skall-observat?r og fritt-fallende-observat?r. Her vil vi anta at den sentrale massive legemet er et sort hull, som er definert som et omr?de i rommet hvor gravitasjonsakselerasjonen er s? stor at til og med lys ikke kan unnslippe. PS: alle objekter som er innenfor en radius som tilsvarer to ganger massen til det sorte hullet vil ikke kunne unnslippe! Denne avstanden kalles eventhorisonten eller Schwarzschild-radiusen.

Jeg tok en liten hvit l?gn, beklager. F?r jeg kan definere de ulike observat?rene s? vil jeg forklare et siste begrep. Fra delen om spesiell relativitet, s? husker du kanskje at vi hadde noe som kaltes en "free-float-frame", som ogs? kan kalles et inertialsystem. Dette er et system som ikke er akselerert, som har konstant hastighet og som ikke har noen ytre krefter som p?virker. I generell relativitet m? vi jo kunne h?ndtere litt akselerasjon siden vi ofte m? ta hensyn til gravitasjon. Her vil vi i flere tilfeller kunne bruke noe kalt et lokalt inertialsystem. Dette er et avgrenset omr?de i romtid, hvor en observat?r i et slikt system vil tilsynelatende oppleve at det er et inertialsystem. Her m? observat?ren gj?re m?linger lokalt n?rt et event, og hun vil kunne bruke Lorentzgeometri siden systemet vil oppf?re seg som et inertialsystem. Et eksempel p? et lokalt inertialsystem er en fritt fallende heis, hvor en person i en slik heis vil kunne ta et objekt og levne det i ro i heisen, og objektet vil holde seg i ro i systemet. Selv om b?de heisen, observat?ren og objektet vil v?re akselerert, s? vil personen og objektet ha konstant hastighet lik 0 i en begrenset periode i heissystemet.

Vi vil n? definere de ulike observat?rene p? f?lgende m?te:

• Langt-vekk-observat?ren er i et omr?de langt unna det sorte hullet, slik at romtid er flatt. Han vil ikke kunne observere noen eventer direkte, og vil isteden f? informasjon om tid og posisjon fra klokker plassert overalt rundt det sorte hullet.
• Skall-observat?ren er p? overflaten til et skall som omringer det sorte hullet, men som har en radius st?rre enn eventhorisonten. Hun vil ikke kunne m?le radiusen til posisjonen hennes direkte ved en meterstokk ned i det sorte hullet, siden meterstokken ville blitt sugd inn. Derimot er hun kreativ, og bruker istedenfor omkretsen p? skallet hun er p? for ? finne radiusen.
• Fritt-fallende-observat?ren vil, til alles store overraskelse, v?re fritt fallende, og hans fall vil v?re rettet mot gravitasjonssenteret. En slik observat?r har med seg sin egen armb?ndsklokke, og han vil registrere posisjonen og tiden p? armb?ndsklokken for eventer som skjer lokalt rundt hans egen posisjon. Han vil v?re i et lokalt inertialsystem, og over korte tidsintervall og over korte avstander vil han kunne bruke Lorentzgeometri.

I figur 2 kan du se en tegning som viser de ulike typene observat?rer.

N? vil du forh?pentligvis ha nok kunnskap til ? kunne henge med videre i innlegget! PS: du trenger ikke n?dvendigvis ? kunne absolutt alle begrepene jeg har forklart ovenfor til ? forst? dette innlegget. Begrepene vil derimot komme til nytte senere, s? hvorfor ikke bare ta det meste i samme sleng!

Maksimal aldring kan fortelle oss mye

Hvordan i all verden vil vi kunne utlede en lov om bevaring fra ? bare studere tre punkter tenker du kanskje? La oss kaste oss p? problemstillingen og se hva vi finner, s? blir du kanskje overrasket.

Vi vil n? bruke v?re tre punkter til ? studere egentidsintervall, noe som tilsvarer tidromsintervall. Dette intervallet vil vi kunne uttrykke med Schwarzschild-linjeelementet. Her vil vi fokusere p? selve fysikken, ikke matematikken, s? du trenger ikke ? bekymre deg over hvordan dette linjeelementet vil se ut spesifikt. Vi husker at vi bare har en fri parameter i situasjonen v?r, som er vinkelen til punkt 2. Fra prinsippet om maksimal aldring vet vi at en partikkel i fri flyt vil f?lge den lengste mulige veien i romtid, alts? veien som gir st?rst mulig egentid. Vi vil bruke dette prinsippet p? egentidsintervallet v?rt, s? finner vi kanskje noe interessant.

Ved prinsippet om maksimal aldring, s? vet vi alts? at vi m? maksimalisere egentidsintervallet v?rt, siden vi vet at objektet v?rt vil ha st?rst mulig egentid. Ettersom vi bare har ¨¦n fri parameter, s? m? vi maksimalisere egentidsintervallet med hensyn p? denne. Du er nok allerede kjent med maksimalisering av uttrykk fra videreg?ende matematikk. Her er det nemlig bare ? derivere og sette dette utrykket lik null, slik at vi kan finne ekstremalpunkt. Lett som en plett! Disse utregningene gir oss et interessant resultat. Vi f?r at forholdet mellom vinkelintervallet, egentidsintervallet og radiusen mellom punkt 1 og 2 vil v?re lik det tilsvarende forholdet mellom punkt 2 og 3. Men hva forteller dette oss?

Vi tenker oss n?yere om hva situasjonen v?r egentlig er. I situasjonen v?r antar vi at avstanden mellom punktene 1 og 2, og mellom 2 og 3, er veldig liten i b?de rom og tid. Vi ser p? disse intervallene som s? liten slik at vi kan se p? intervallene som infinitesimale. Videre har vi brukt generelle punkter uten ? definere eventer, s? punktene v?re kunne v?rt hva som helst s? lenge de oppfyller kriteriene v?re. Alts? resultatet v?rt vil v?re generelt og gjelde for alle slike punkter. Dermed kan vi si at forholdet som vi fant ved maksimalisering av egentidsintervallet vil v?re konstant. Men hva er s? egentlig denne konstante st?rrelsen vi har funnet?

Ved ? nistirre litt p? st?rrelsen vi fant, s? ser vi at vi kan omskrive denne. Da f?r vi at uttrykket v?rt vil best? av noen litt mer gjenkjennelige st?rrelser, nemlig radius, tangentiell hastighet og Lorentzfaktoren. Vi har i bakhodet at disse st?rrelsene er relativistiske! Men hva vil denne st?rrelsen fortelle oss i et mer klassisk tilfelle, alts? som ikke er relativistisk? Vil vi da unders?ke hva st?rrelsen er for lave hastigheter, og da blir Lorentzfaktoren tiln?rmet lik 1. Da st?r vi igjen med bare radius og tangentiell hastighet. Dette uttrykket kan vi igjen omskrive, slik at vi f?r... Trommevirvel... Spinn per masse!

Hva har vi funnet ut?

Vi har her unders?kt et objekt som beveger seg gjennom tre punkter i n?rheten av et sort hull. Vi unders?kte egentidsintervallet mellom disse punktene ved bruk av prinsippet om maksimal aldring. Slik fant vi en relativistisk st?rrelse som vil v?re konstant, alts? bevart. Videre unders?kte vi hva denne st?rrelsen inneb?rer for lave hastigheter, alts? i ikke-relativistiske tilfeller. Da fant vi ut at denne st?rrelsen tilsvarer spinn per masse, alts? dette vil v?re en bevart st?rrelse! Kort oppsummert, s? utledet vi alts? loven om bevaring av spinn per masse ved bruk av prinsippet om maksimal aldring.