F?r du fortsetter videre anbefaler jeg deg sterkt ? lese forrige innlegg, hvis du ikke allerede har gjort det!
N? skal vi fortsette ? unders?ke situasjonen fra forrige innlegg, men n? vil vi unders?ke det som faktisk vil skje! I forrige innlegg utf?rte vi nemlig unders?kelsene v?re uten ? ta hensyn til lysets reisetid fra et objekt/event til kamera. Dette vil da ikke v?re n?yaktig, siden det vil tilsvare at lyset har en uendelig hastighet n?r det reiser fra et objekt/event til kameraet. Unders?kelsene stemmer da ikke overens med det en observat?r faktisk vil observere. N? skal vi derimot ta hensyn til lysets hastighet, og vi vil unders?ke hva vi faktisk ville ha observert! Vil dette gi en stor forskjell i resultater sammenlignet med forrige innlegg? La oss unders?ke n?rmere!
Situasjonen
Vi vil n?, som sagt, unders?ke en utvidet versjon av situasjonen fra forrige innlegg, s? ta gjerne en liten oppfriskning p? den. Vi utvider situasjonen ved ? n? ta hensyn til lysets hastighet, som vi er spente p? ? se ringvirkningene av!
Lys i generell relativitet
Jeg vil aller f?rst tilst? en l?gn jeg har fortalt dere. Tidligere har vi sagt at lysets hastighet vil v?re konstant for alle observat?rer, men dette stemmer ikke i generell relativitet! Lys vil nemlig bli p?virket av gravitasjonsfelt, og dette vil gi konsekvenser for hvordan ulike observat?rer observerer dens hastighet.
F?rst vil vi se hvordan en langt-vekk-observat?r vil observere lys i n?rheten av et sort hull. La oss si at vi skyter en lysstr?le radielt mot sentrum av et sort hull. Da vil lyset bare ha en radiell bevegelse, og ingen spinn, og vi f?r da at den radielle farten til lyset er:
\(v_r = \dfrac{dr}{dt} = - \left( 1 - \dfrac{2M}{r} \right)\)
Legg merke til at koordinatene \((r,t)\) til lyset er m?lt av en langt-vekk-observat?r. Videre er \(M\) her massen til det sorte hullet. Vi kan se i dette uttrykket at n?r lyset n?rmer seg eventhorisonten, alts? \(2M\), s? vil den radielle farten til lyset g? mot 0. En langt-vekk-observat?r vil alts? observere at lyset f?r mindre og mindre fart frem til det n?r 0 ved eventhorisonten! (En mer detaljert utledning av dette kan du finne her p? side 2). Lyset vil alts? stoppe p? eventhorisonten for en langt-vekk-observat?r!
Vi vil ogs? se p? hvordan en skall-observat?r n?rt eventhorisonten vil observere lyshastigheten. Denne observat?ren vil m?le hastigheten til lyset n?r det passerer skallet hans, og han vil gj?re det over et s? kort tidsintervall slik at han kan anses som ? v?re i et lokalt inertialsystem (les her hvis du trenger oppfriskning p? hva dette betyr). Dermed vil observat?ren ha Lorentzgeometri, og han vil m?le at hastigheten til lyset er "vanlig", og med dette mener jeg lyshastigheten som vi kjenner fra spesiell relativitet.
Vi har alts? at en lokal observat?r vil observere lyshastigheten til ? v?re lik 1 (husk at vi bruker naturlige enheter, s? det vi kjenner som "vanlig" lyshastighet er da lik 1). Derimot vil en langt-vekk-observat?r kunne m?le ulike hastigheter for lys. Alts? lysets hastighet er bare invariant for lokale observat?rer.
Hva tror vi vil skje?
N? skal vi unders?ke lyssignalene fra satellitten ved planeten og fra romskipet p? tur mot det sorte hullet, og vi tar hensyn til lysets hastighet. Men f?r vi tar kontakt med astronautene henholdsvis p? satellitten og p? romskipet, vil vi pr?ve ? tenke oss frem til hvordan de vil observere lyssignalene forskjellig fra n?r vi ikke tok hensyn til lysets hastighet.
Fra forrige innlegg vet vi at observat?ren p? satellitten vil observere st?rre og st?rre tidsintervall mellom hvert lyssignal fra romskipet. Hvordan vil dette bli p?virket n?r vi tar hensyn til lysets hastighet? Selv om astronauten p? satellitten er en skall-observat?r, s? vil hun ikke kunne v?re en lokal observat?r for lyset. Hun vil bare v?re en lokal observat?r n?r lyset passerer hennes skall, s? dermed vil ikke lyshastigheten v?re invariant for henne. Fra uttrykket vi har for radiell hastighet til lys observert av en langt-vekk-observat?r, s? vet vi at jo n?rmere eventhoristonen lyset er, jo lavere observert hastighet vil det ha. I tillegg m? lyset reise over en lengre distanse jo lenger unna romskipet er fra satellitten. Dermed vil jeg p?st? at tidsintervallene til lyssignalene vil bli st?rre observert fra satellitten n?r vi tar hensyn til lyshastigheten.
Men hvordan vil signalene se ut for astronauten i romskipet som faller mot det sorte hullet? Fra forrige innlegg vet vi at med uendelig lyshastighet s? vil hun observere at tidsintervallene mellom lyssignalene blir kortere jo n?rmere hun kommer det sorte hullet. Stemmer dette overens med reell lyshastighet? La oss tenke oss litt om... Lyset m? reise over en lengre og lengre avstand jo n?rmere romskipet kommer eventhorisonten. I tillegg vil romskipet akselerere p? grunn av gravitasjonen fra det sorte hullet, s? lyset fra satellitten m? ogs? klare ? ta igjen romskipet som vil ha ?kende hastighet. Vi vet ogs? at romskipets hastighet vil n?rme seg lyshastigheten for lokale skall-observat?rer (som sagt i forrige innlegg). S? lyset m? alts? reise over en lengre og lengre avstand for ? ta igjen et romskip som g?r fortere og fortere. Derfor tror jeg at effekten som vist i forrige innlegg, at tidsintervallene blir kortere, vil bli nullet ut, eller kanskje til og med vil vi observere st?rre tidsintervall. La oss endelig sjekke!
Hva skjer faktisk?
Vi har nettopp pr?vd ? forutsi hvordan lyssignalene vil bli p?virket av ? ta hensyn til lysets hastighet, og vi er n? klare for ? f? svar. Vi tar henholdsvis kontakt med astronauten p? satellitten ved planeten og astronauten p? romskipet p? tur mot det sorte hullet. Begge har hatt med seg notatblokken sin for ? notere detaljer om lyssignalene sendt fra den andre, og de sender notatene sine til meg med en relativistisk brevdue som unnslipper gravitasjonsfeltet til det sorte hullet.
Vi unders?ker f?rst tidene m?lt av astronauten p? satellitten. Det f?rste vi legger merke til er at forutsigelsen v?r stemmer! Tidsintervallene mellom lyssignalene fra romskipet er st?rre enn n?r vi ikke tok hensyn til lysets hastighet. Noe annet vi legger merke til er at det n? er f?rre lyssignal enn f?r. Tidligere var det observert 31 lyssignal, og n? er det observert 29, s? ved ? ta hensyn til lysets hastighet har vi f?tt 2 f?rre lyssignal. Dette er nok fordi tidsintervallene ?ker s?pass mye at astronauten p? satellitten ikke vil klare ? m?le alle lyssignalene som blir sendt over den samme tidsperioden som tidligere. Vi vil n? sammenligne m?lingene av tidsintervall i et plott.
I figur 1 kan du se tidsintervallene mellom lyssignalene observert fra satellitten. I denne figuren kan du se hvordan disse tidsintervallene blir m?lt forskjellig n?r vi tar hensyn til lysets hastighet. Det er tydelig i plottet at tidsintervallene er st?rre i hvert punkt med reell lyshastighet, men vi kan ogs? se at grafen er brattere p? slutten med reell lyshastighet. Vi vet at tidsintervallene vil bli st?rre n?r romskipet n?rmer seg eventhorisonten, og det er tydelig at denne effekten er forsterket n?r vi tar hensyn til lyshastigheten.
Vi g?r n? videre til ? se p? hva astronauten i romskipet vil observere. Det f?rste vi legger merke til er at tidsintervallene mellom lyssignalene vil ?ke, i motsetning til n?r vi ikke tok hensyn til reell lyshastighet, hvor intervallene minket. Vi foruts? dette resultatet til en viss grad, siden lyset m? reise over en lengre og lengre avstand for ? ta igjen romskipet som vil g? raskere og raskere. Derimot er denne effekten s? kraftig at astronauten n? bare vil observere 10 lyssignal, hvor hun tidligere kunne se 29 n?r vi ikke tok hensyn til lysets hastighet. Dette kommer fra at tidsintervallene er blitt s? store at astronauten ikke vil klare ? se p? n?rheten like mange signal over samme tidsperiode som tidligere. Vi vil n? plotte disse tidsintervallene s? det er lettere ? se forskjell.
I figur 2 kan du se tidsintervallene mellom lyssignalene sendt fra satellitten observert av romskipet, b?de med uendelig og reell lyshastighet. I figuren kan du se at ved ? ta hensyn til lysets hastighet, s? blir intervallene betydelig forskjellig. Med uendelig lyshastighet s? vil intervallene minke, mens med reell lyshastighet s? vil intervallene ?ke. Denne forskjellen oppst?r fordi med reell lyshastighet s? m? vi ta hensyn til den ?kende avstanden som lyset m? reise, og vi m? ta hensyn til at lyset m? ta igjen romskipet som vil ha ?kende hastighet.
Hva har vi funnet ut?
Vi har n? unders?kt hvordan lyssignal sendt med jevne mellomrom mellom en astronaut p? en satellitt og en astronaut i et romskip som faller mot et sort hull vil bli p?virket av ? ta hensyn til lysets hastighet. Reell lyshastighet ga forskjell for hvordan begge observat?rer observerte lyssignalene sammenlignet med uendelig lyshastighet. For astronauten p? satellitten, s? ville hun observere tidsintervallene som st?rre med reell lyshastighet, hvor de allerede var ?kende med uendelig lyshastighet. For astronauten p? romskipet, s? ville hun observere tidsintervallene som st?rre, hvor de tidligere hadde v?rt minkende. Vi fant ut at disse forskjellene kommer fra at lyset vil ha en lavere observert hastighet n?rt eventhorisonten, i tillegg til at lyset m? reise over en lengre og lengre avstand. Vi har alts? funnet ut gjennom denne unders?kelsen at lysets oppf?rsel i generell relativitet er ganske forskjellig fra slik vi kjente den i spesiell relativitet, og den vil gi betydelig konsekvenser for observeringen av eventer.