Vi m? bremse!
Vi antar at n?r raketten g?r i stabil bane rundt Narnia, vil gravitasjonskreftene fra de andre planetene og stjerna v?re s???? sm? i forhold til den fra Narnia, at vi kan se helt bort fra dem. Dette gj?r jobben v?r mye enklere. Da kan vi nemlig tenke p? raketten og Narnia som et tolegeproblem. Som du kanskje allerede vet fra f?r av, avhenger baneradien til et legeme i oml?p av hvor stort fart dette legemet har! Derfor er det slik at n?r vi skal f? raketten inn i en lavere bane rundt Narnia, s? m? vi bremse den (Dersom vi ?nsket en h?yere bane, m?tte vi heller ?kt farten). Men vi m? begrense hvor lavt ned vi styrer raketten. Siden vi ikke vet noe om atmosf?ren til Narnia enda, er det best om vi bare holder oss unna for the time being. Vi kan anta at atmosf?ren er omtrent like tykk som atmosf?ren til jorda, som er mellom 100 og 10 000 km tykk (avhengig av hvordan man definerer det). Det er verdt ? tenke over at atmosf?ren til Narnia kan v?re betydelig tynnere enn atmosf?ren til jorda, og at et estimat p? 10 000 km kanskje er litt i overkant. Forresten!! Tidligere har vi sett p? det meste i referansesystemet til stjerna, alts? med denne i origo, og alle andre posisjoner gitt i forhold til den. N? skal vi gj?re et bytte, og heller se ting fra referansesystemet til Narnia!
The masterplan
Planen er ? gi raketten er liten (negativ) fartsboost for ? bremse den opp. Etter boostingen kan vi sjekke baneh?yden p? nytt. Er den lav nok, uten at vi har simulert at vi har sendt raketten inn i atmosf?ren, er vi forn?yde. Siden rakettens bane er tiln?rmet sirkul?r, velger vi ? ikke justere injeksjonsman?veren fra tidligere. Det hadde vi gjort dersom rakettbanen viste seg ? i st?rre grad v?re elliptisk. For ? forsikre oss om at vi ikke kommer inn i atmosf?ren ved noe tidspunkt, unders?ker vi hvordan avstanden mellom raketten og planetsentrum utvikler seg over tid. Dersom gjennomsnittsavstanden er konstant, kan vi konkludere med at raketten ikke har forvillet seg inn i Narnias atmosf?re.
Sirkler blir ellipser...
Raketten havner opprinnelig i en bane rundt Narnia med radius p? 13 000 km. Da snakker vi om avstanden fra planetens overflate og opp til raketten. Vi bremser den til den er litt over 10 000 km for ? v?re p? den sikre siden. Hvor stor denne bremsen skal v?re finner vi ved ? regne ut hvor stor oml?psfart raketten m? ha for ? befinne seg i en bane 10 000 km over planetoverflaten. Siden vi antok at den eneste kraften som virker p? raketten v?r, er gravitasjonskrafta fra Narnia, kan vi finne denne farten ved ? bruke Newtons 2. lov kombinert med uttrykket for sentripetalakselerasjon. Vi har at
\(\begin{align} \sum F &= m_ra \\ F_G &= m_r\frac{v^2}{r} \\ G\cdot \frac{m_{r}M_p}{r^2}&= m_r\frac{v^2}{r} \\ v &= \sqrt{\frac{GM_p}{r}} \end{align}\)
der \(\sum F\) er summen av krefter som virker p? raketten. \(m_r\), \(a\) og \(v\) er hhv. massen, akselerasjonen og oml?psfarten til raketten. \(F_G\) er gravitasjonskrafta fra Narnia p? raketten, og den finner vi ved ? bruke Newtons gravitasjonslov. \(G\) er da gravitasjonskonstanten. \(M_p\) er massen til planeten, og \(r\) er avstanden mellom Narnias sentrum og rakettens sentrum. Obs: rakettens omfang tar vi ikke hensyn til fordi den er s? liten i forhold til Narnia. Det vil si at vi i praksis antar at avstanden fra Narnia til et punkt p? rakettens overflate, er like stor som avstanden fra Narnia til rakettens massesenter. Etter injeksjonsman?veren - n?r raketten akkurat har blitt kastet inn i bane rundt Narnia - har den en fart p? 2437 m/s. Og denne farten virker i negativ x- og y-retning. Slik ser det ut:
Her er raketten 13 000 km over planetoverflaten. Anyways! Med en ?nsket bane p? 10 000 km over overflaten, trenger da raketten ? ha en fart p? 2689 m/s. Denne farten finner vi ved ? bruke formelen litt lenger opp i teksten. S? vi flytter raketten ned til denne h?yden over bakken. Vi observerer at det g?r helt fint, vi er ikke innafor atmosf?ren enda. S? vi pr?ver ? senke rakettens bane litt til. Vi gj?r dette en del ganger, og finner ut at atmosf?ren til Narnia virker ? v?re mye, mye tynnere enn vi f?rst antok. Med en bremseman?ver p? 600 m/s i b?de x- og y-retning, alts? en brems p? totalt ca. 850 m/s, kan vi f? raketten ca. 700 km over planetoverflaten tilsynelatende uten ? komme inn i atmosf?ren. Men vi oppdaget ogs? noe annet mens vi holdt p? med dette. Rakettbanen ble langt mer elliptisk enn vi trodde! Ta en kikk:
Det kan nesten se ut som om raketten krasjer inn i planeten etterhvert, men det gj?r den alts? ikke. Her har vi zoomet litt inn p? omr?det raketten er n?rmest Narnia:
Interessant! Vi m? ikke glemme hvor store avstander dette faktisk er. Selv om det kan se ut som om raketten nesten sneier planeten, s? er den faktisk over 700 km unna. For sammenligning vet vi at de satellittene som g?r i lavest baner rundt jorda, har en baneh?yde p? < 1000 km over jordoverflaten, og noen ganger s? lavt som 160 km. Men kan det stemme at atmosf?ren til Narnia er s? tynn, mon tro? Vi husker teorien fra tidligere - dersom gjennomsnittsavstanden mellom raketten og Narnia holder seg stabil over tid, kan vi konkludere med at raketten ikke er inni atmosf?ren. S?, la oss plotte denne avstanden over litt tid:
Som du ser, siden banen vi sendte raketten inn i er s? elliptisk, s? svinger avstanden mellom en minste (ca. 700 km) og en st?rste avstand (ca. 13 000 km). Men vi ser jo at den er noenlunde konstant over tid. Dermed konkluderer vi med at vi ikke har havnet innenfor atmosf?ren til Narnia.
Hvorfor ble resultatene s?nn?
En ting ? tenke over er at vi bare har beregnet hvor raketten er ca. hver sjette dag. Som du kan se er grafene litt hakkete. I plottet av rakettposisjonen kan man i tillegg se at grafen er enda mer hakkete n?r raketten er n?rme planeten. Da husker vi fra celestmekanikken at det er fordi raketten har st?rre kinetisk energi der enn n?r den er lengst unna planeten i sitt oml?p (for den har den st?rre potensiell energi, og energien skal v?re bevart). Men det at vi kun beregner hvor raketten er hver sjette dag gj?r s? klart simuleringen mindre n?yaktige. Det kan jo tenkes at det er store variasjoner i atmosf?ren, slik at et hopp p? 6 dager gj?r at vi "hopper over" en s?rdeles stormete del av atmosf?ren. Dersom vi hadde beregnet rakettens posisjon gjennom hvert eneste sekund av banen derimot, hadde raketten beveget seg gjennom denne delen av atmosf?ren ogs?, og kanskje blitt fullstendig ?delagt. I dette tilfellet hadde simuleringen v?r feilet. S? hvorfor gj?r vi dette hoppet p? 6 dager i det hele tatt da? Vel, i hovedsak p? grunn av latskap. Det gj?r nemlig at koden kj?rer litt raskere enn den ville gjort ellers. Men det er verdt ? ha i bakhodet n?r vi ser p? resultatene.
S? til det store sp?rsm?let: Hvorfor ble rakettbanen s? mye mer elliptisk enn vi trodde den skulle v?re basert p? v?re analytiske beregninger? Vi synes det var litt snodig at raketten faller ned til en lavere bane n?r vi bremser den, for s? ? sendes ut igjen til samme h?yde som tidligere... Hvorfor blir den ikke v?rende i den lave banen? ?n mulig ?rsak kan v?re feil i koden s? klart. Eller kan det v?re et annet stort legeme som trekker raketten mot seg, og gj?r banen dens elliptisk? Vi m? ikke glemme at vi antok at gravitasjonskreftene fra sola og alle de andre planetene enn Narnia var 100% neglisjerbare. Hvor realistisk er egentlig dette? Kan det ha stor p?virkning p? resultatene v?re? Vel, vi kan sammenligne det med noe vi kjenner. N?r du tusler rundt p? jorda, er gravitasjonskrafta fra sola faktisk bare 0.0006 ganger gravitasjonskrafta fra jorda. Du synes kanskje dette er helt intuitivt. P? jordoverflaten er du tross alt myyye n?rmere jorda (lol) enn sola! Men sola er jo utrolig massiv! S? det er vel litt kult, likevel? Uansett, hvor liten denne krafta er kan vel tyde p? at den er rimelig ? se bort ifra den n?r du skal regne ut hvor stor gravitasjonskraft som virker p? deg selv (as you do). Dermed er nok ikke dette en urimelig forenkling i v?rt tilfelle heller. Vi tror derfor ikke at det er dette som er grunnen til at raketten havner i en s? elliptisk bane. HVA KAN DET V?RE DA? Vi kontakter en av NASA sine fremste forskere. Forskeren sp?r med én gang hvorfor vi bare bremser raketten én gang. Eureka! Dette er jo ikke nok for ? flytte raketten inn i en lavere bane. Vi burde vel egentlig bremset en gang til... La oss pr?ve det!
Sirkler blir sikler igjen!
Denne gangen pr?ver vi ? bremse raketten, la den falle litt rundt Narnia, f?r vi s? bremser den igjen. Og se hva som skjedde:
Vi ser at rakettens bane blir mye mer sirkul?r n?. Vi kunne antakelig perfeksjonert det, og f?tt den enda mer sirkul?r, men det er ikke s? viktig. Det viktigste er at den er i en lavere orbit enn tidligere. Da var det dette som var ?rsaken til den rare ellipsebanen vi fikk tidligere! Her har vi f?rst bremset raketten med totalt 566 m/s, og s? med 424 m/s. Den f?rste bremsen er p? 400 m/s i b?de x- og y-retning. Den andre er p? -300 m/s i begge disse retningene. Vi fant ut at i praksis var det enklere ? bare eksperimentere med ulike verdier for bremsene enn ? bruke likningen vi fant i starten av denne posten! Oh well, vi fikk repetert litt celestemekanikk i hvert fall. Hvordan fant vi ut av hvilket fortegn boostene skulle ha? Vi bestemte oss f?rst for at vi skulle gi den andre boosten litt ut i f?rste oml?p. S? plottet vi rakettens posisjon ved de to punktene der vi ville bremse den. Siden raketten g?r i bane rundt planeten, var det intuitivt ? se hvor den var p? vei i de to punktene. S? hvis det s? ut til at raketten hadde en fart i positiv x- og y-retning, ga vi den en fartsboost i negativ retning. Vi kunne ogs? ha plottet fartsvektorene til raketten i de to punktene for ? se dette enda tydeligere. Okay! La oss n? unders?ke om gjennomsnitts-avstanden mellom raketten og Narnia holder seg stabil over tid:
Avstanden holder seg fin og stabil over lang tid. Da konkluderer vi med at vi ikke har havnet innenfor atmosf?ren, selv om vi n? valgte ? synke raketten til litt lenger ned enn 10 000 km over overflaten. Da sier vi oss forn?yde. Men atmosf?ren til Narnia er fortsatt veldig mystisk for oss. Kanskje vi b?r pr?ve ? unders?ke den litt... Bli med!