Som du kanskje allerede vet, kan vi enkelt finne radialhastigheten til en stjerne ved hjelp av dopplereffekten. Her er radialhastigheten hastigheten stjernen beveger seg mot eller fra oss, vi m?ler alts? ikke den fulle hastigheten! Vi kan dermed si at:
\(v_r = \vec{v}\cdot\sin(\theta)\)
Hvor \(\theta\) blir inklinasjonsvinkelen, et presist ord for hvor mange grader et baneplan er rotert i forhold til et annet.
For ? forenkle utregningene, la oss ta i betraktning at den ekstrasolare planeten v?r g?r i en sirkul?r bane rundt massesenteret. Eksentrisiteten, eller hvor mye en ellipse strekker seg ut fra ? v?re en sirkel, er ofte ganske liten. Bare p? jorda er den 0.02!* S? vi kan gj?re denne forenklingen. Vi kan ikke kalle oss selv for fysikere uten ? gj?re forenklinger!
*(Kilde: Earth-orbit-sun)
\(r= r_s + r_p\)
Vil s? v?re radiusen av sirkelen sett fra enten planeten eller stjernen.
Kjempeflott! Men hva i huleste har dette ? gj?re med ? finne ekstrasolare planeter? Jo, det har seg s?nn at den radielle hastighetskurven til solsystemet vil v?re p?virket av b?de stjernen og planeten, s? man vil kunne se dette avviket og dedusere at det er en planet rundt stjernen. Vi kan s? finne farten til stjernen og planeten ved ? dele omkretsen p? sirkelen med oml?pstiden!
\(\frac{2\pi(r_s+r_p)}{P} = v_s + v_p\)
Omskriver vi dette kan vi dra frem Keplers tredje lov:
\(P^2 = \frac{4\pi^2}{G(m_s+m_p)}a^3\)
\(P^2 = \frac{4\pi^2}{G(m_s+m_p)}\cdot\left(\frac{P(v_s + v_p)}{2\pi}\right)^3\)
Omskriver vi dette til ? l?se for massen til planeten f?r vi:
\(m_p = \frac{4\pi^2P}{G}\cdot\left(\frac{(v_s + v_p)}{2\pi}\right)^3-m_s\)
Ok, dette ble bra. Vi m? derimot huske at det nok blir litt vanskelig ? finne ut farten til planeten dersom den ikke har en dopplereffekt som vi kan m?le! Er det s? umulig ? finne den ekstrasolare planeten?
Ikke stress, vi m? da bare finne uttrykket for hastigheten til planeten gitt noen kjente verdier. La oss introdusere massesenteret!
\(\vec{R} = \frac{m_s\vec{r_s}+m_p\vec{r_p}}{m_s+m_p}\)
Ikke forvirr posisjonsvektorene \(\vec{r}\) med radiusen r! De er to forskjellige ting!
Vi har s? posisjonsvektoren til massesenteret. Hvis vi gj?r enda en forenkling og sier at massesenteret ikke beveger p? seg da forteller det oss at vi har blitt doktorgrad fysikere, men det forteller oss ogs? at systemet er lukket. Det betyr at ingen eksterne krefter virker p? systemet. Ofte er gravitasjonskraften fra objekter s? langt unna neglisjerbar og vi kan derfor tillate oss selv ? forenkle likningen v?r. Da er det bare ? sette origo i massesenteret.
Vent n? et sekund, men da m? vi jo definere posisjonsvektorene v?re fra massesenteret!
\(\vec{r} = \vec{r_s} + \vec{r_p}\)
\(\vec{r_s^{cm}} = \frac{m_p\vec{r}}{m_s+m_p}\)
\(\vec{r_p^{cm}} = \frac{m_s\vec{r}}{m_s+m_p}\)
\(\frac{\vec{r_s^{cm}}}{\vec{r_p^{cm}}} = \frac{m_p}{m_s}\)
P? samme vis kan vi finne radiusen til stjernen og planeten
\(\vec{r}= \frac{r(1-e^2)}{1+e\cos(f)}\)
\(r_s = \frac{m_p r}{m_s+m_p}\)
\(r_p = \frac{m_s r}{m_s+m_p}\)
Dette gir oss at:
\(\frac{\vec{r_s^{cm}}}{\vec{r_p^{cm}}} = \frac{m_p}{m_s} = \frac{r_s}{r_p} = \frac{v_s}{v_p}\)
Hvis du husker fra hvordan banehastigheten var definert s? har vi n? funnet et fint uttrykk for planetens hastighet!
\(v_p = v_s\frac{m_s}{m_p}\)
La oss n? sette dette inn i v?rt uttrykk for planetmassen.
\(m_p = \frac{4\pi^2Pv_s^3}{G}*\left(\frac{(1 + \frac{m_s}{m_p})}{2\pi}\right)^3-m_s\)
Huff, ganger vi sammen alt dette blir det jo et s? stort uttrykk. Vi ser jo p? et system hvor \(m_s >> m_p\). Du gjettet riktig, vi forenkler det igjen!
\(m_s + m_p \approx m_s\)
\(1+ \frac{m_s}{m_p} \approx \frac{m_s}{m_p}\)
Da blir det litt enklere uttrykk.
\(m_s = \frac{Pv_s^3m_s^3}{2\pi Gm_p^3}\)
\(m_p = \frac{P^{\frac{1}{3}} v_s m_s^{\frac{2}{3}}}{(2\pi G)^{\frac{1}{3}}}\)
Om dette var vanskelig ? henge med p? er det ganske forst?elig. Poenget derimot er at vi kan finne planetens masse ved kjente verdier. Vi m? ogs? huske at vi kun kjenner stjernens radialhastighet. Dette gir oss s?:
\(m_p = \frac{P^{\frac{1}{3}} v_{s_r} m_s^{\frac{2}{3}}}{(2\pi G)^{\frac{1}{3}}\sin(\theta)}\)
Tipp topp! Da ser vi at det faktisk skal v?re mulig ? finne ekstrasolare planeter! Vi trenger kun radialhastigheten til stjernen. S? hvordan ser denne ut?
En trigonometrisk kurve! Den starter fra radialhastigheten er null f?r den blir st?rre i negativ retning. Det gir s? mening at denne radialhastigheten avtar og blir st?rre i retning mot oss f?r den blir mindre n?r den beveger seg ortogonalt i forhold til oss, f?r den g?r fra oss og rundt igjen. En sirkelbane.
I virkeligheten er det derimot ikke s? lett ? f? fine glatte kurver som dette. P? grunn av blant annet atmosf?riske forstyrrelser blir grafene ofte seende slik ut:
Merk at massesenteret her beveger seg en del mindre enn v?r, dette kan ha seg av at det er en mindre massiv planet som g?r i bane. Inklinasjonsvinkelen vil ogs? ha noe ? si her.
Hvordan skal vi noensinne kunne vite hva den faktiske radialhastigheten er? Jo, vi kan godt si at det tilfeldige st?yet ikke har noen avhengighet av hverandre. At den var veldig h?y et sted betyr sannsynligvis ikke at den blir lav p? neste. De er alts? uavhengige, og da spiller sentralgrenseteoremet inn. Dette teoremet forteller oss at ved uavhengige variabler vil st?yet g? mot en normalfordeling. Hvis du husker tilbake fra de f?rste bloggpostene, s? gikk vi nemlig gjennom dette i detalj!
Tanken er s? at vi optimerer variablene til ? v?re en funksjon som likner mest mulig p? den analytiske l?sningen. Dette betyr at vi egentlig bare tester for variabler som kunne ha st?tt for ? f? en s?nn kurve hvor differansen mellom h?yest og lavest er minst. Dette er ogs? kjent som minste kvadraters metode. Denne metoden kan bli brukt p? flere vis, og vi pr?vde ? l?se det analytisk, men det s? ikke ut til at funksjonen vi brukte var veldig villig p? ? l?se det. Vi presenterer allikevel minste kvadraters metode i sin vakre form:
\(LS = \sum\limits_{i=1}^n(y_{m?lt}-y_{model})^2\)
Dette er en regresjonsmetode som finner en funksjon gitt p? en viss form og den som gir minst avvik er den funksjonen vi antar den vil v?re. Den tar s? alle punktene (m?lingene) og pr?ver ? lage en linje mellom de som gir den som passer best. Vi kan velge den ?nskede formen p? denne linjen. Eksemplet under viser for en vanlig linje.
Vi vet jo at radialhastighetskurven er ganske lik en trigonometrisk kurve, s? vi skulle nok kunne fortelle datamaskinen at den er det. Som sagt derimot, ville ikke datamaskinen l?se problemet for oss ved hjelp av ? fortelle den hvordan den s? ut. Vi tydde s? til en mer numerisk metode som i stedet for ? bruke formelen for radialhastighet, heller pr?vde ? lage et ganske h?y grad polynom som kunne passe inn i stedet. Resultatene skal bli relativt like uansett, men dette kan godt gi oss feil i tallene som kan gi videre regnefeil. Den numeriske metoden sa at for grafen ovenfor, f?r vi dette:
\(Radial\ Velocity=0.01026418 AU/yr,\ Orbit\ Time=6.987\ Years\)
Hvis inklinasjonsvinkelen er 90°, og vi ser p? ekstremalpunktene til kurven, vil den fulle hastigheten v?re den radielle, og vi kan finne planetmassen i dette systemet! Hvis dette ikke var ?penbart, kan du tenke over hvilken hastighet i hvilke retninger en planet vil ha i en bane rundt stjernen. Den radielle hastigheten vil s? v?re hele hastigheten i kun to punkter p? en sirkel. Dette gir oss:
\(m_p = 0.00488329 \ solar\ masses\)
Stemte dette med hva den faktisk var? Massen til planeten som var brukt for ? lage radialhastighetskurven var:
\(m_{p_{faktisk}} = 0.004741\ solar\ masses\)
\(\epsilon = \frac{|approksimasjon-faktisk|}{faktisk}*100%\)
\(\epsilon = 0.0300 \) = 3%
Vi m? ogs? huske at dette systemet kun tok i betraktning at en planet var med p? ? flytte massesenteret. I realiteten har alle planetene i bane rundt en stjerne en medvirkning p? dette. For ? inkludere dette m? vi blant annet finne det nye massesenteret og omskrive koden litt.