F?r vi begynner ? lage en rakettmotor, m? vi f?rst vite hvordan partiklene beveger seg i drivstoffboksen. Vi bestemmer oss for at denne gassen er en ideell gass for enkelhetens skyld. Dette betyr at vi antar at gassen beveger seg i tilfeldige retninger og kollisjonene vil v?re fullstendig elastisk. Vi kan bruke denne antagelsen ettersom under de fleste omstendigheter som ikke inkluderer ekstreme temperaturer og trykk, vil en gass oppf?re seg ganske n?rme denne definisjonen. Dermed kan vi begynne ? l?se den morsomme matematikken bak bevegelsene.
Normalfordelingen (ogs? kjent som Gaussisk Fordelingskurve) er en statistisk modell som gir oss en graf over hvor sannsynlighetstettheten til m?linger, gitt at vi vet medianen (?) og standardavviket (σ). Sammenhengen vi skal bruke den i er farten p? gassen, eller temperaturen. Vi skal alts? se rundt en gitt temperatur, hvor de fleste partiklene ligger p? den gitte temperaturen, at mange partikler ligger h?yere eller lavere enn denne temperaturen. Vi kan deretter gj?re et bestemt integral av kurven for ? finne prosentdelen av partikler som ligger akkurat mellom a og b.
Sannsynlighetstettheten:
\(P(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{\left(h-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}\)
Sannsynlighet at en partikkel har en temperatur mellom a og b:
\(P(a \leq x \leq b) = \int_{\mu-\sigma}^{\mu+\sigma}\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{\left(h-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}\)
Med matematikken og koden p? plass, kan vi endelig begynne ? l?se problemet. Vi skriver en enkel kode i Python (med Sympy) for ? l?se problemet. Vi tester f?rst ut at programmet fungerer med noen gitte verdier vi allerede vet hva prosentdelen skal v?re. Fra normalfordelingen vet vi en viss relasjon alltid er sann, og dette tilsier at enhver normalfordeling har noen fundamentale verdier som er uavhengig av det som m?les. Vi kan s? ogs? finne FWHM, som er prosentdelen av partikler som er minst halvparten s? stor som toppunktet av kurven:
\(P(\mu-\sigma \leq x \leq \mu+\sigma) = \int_{\mu-\sigma}^{\mu+\sigma}\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{\left(h-\mu\right)^2}{2\sigma^2}} \approx 0.68\)
\(P(\mu-2\sigma \leq x \leq \mu+2\sigma) = \int_{\mu-2\sigma}^{\mu+2\sigma}\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{\left(h-\mu\right)^2}{2\sigma^2}} \approx 0.95\)
\(P(\mu-3\sigma \leq x \leq \mu+3\sigma) = \int_{\mu-3\sigma}^{\mu+3\sigma}\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{\left(h-\mu\right)^2}{2\sigma^2}} \approx 0.997\)
\(FWHM = P(-2\sqrt{2\ln{2}\sigma}<x<2\sqrt{2\ln{2}\sigma}) = \int_{-2\sqrt{2\ln{2}\sigma}}^{2\sqrt{2\ln{2}\sigma}}\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{\left(h-\mu\right)^2}{2\sigma^2}} \approx 0.76\)
Dette f?r vi til ? stemme med programmet, og vi kan s? g? til neste steg hvor vi faktisk l?ser temperaturfordelingen i gassen. F?r vi kan sette opp et fullt uttrykk derimot, m? vi f?rst vite de f? konstantene til kurven. Hvis vi sier at vi finner sannsynlighetstettheten for hastigheten i x-retning, vet vi s? at medianen (?) m? v?re 0. Dette vet vi fordi at uansett hvor varmt vi varmer opp gassen, vil den negative og positive siden se omtrent lik ut. Hastigheten til partiklene vil bevege seg uniformt bakover og framover langs x-aksen i et system uten innvirkning utenfra. Derfor vet vi at medianen, eller middelverdien, vil v?re 0. Den andre konstanten vi mangler er standardavviket (σ). Denne virker mer vrien ? finne ut, men siden vi gjorde antakelsen at gassen var ideell, vet vi fra dette at standardavviket m? v?re \sqrt{\frac{kT}{m}}. Vi lager s? v?rt uttrykk!
\(P(x) = \frac{1}{\sqrt{\frac{kT}{m}} \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{h^2}{2\frac{kT}{m}}}\)
Her ser vi derimot at grafen er avhengig av hvor mye gass vi har i masse og temperaturen til denne gassen. Vi bestemmer oss derfor for ? bruke H_2 gass og setter s? temperaturen til ? v?re 3000 kelvin. Dette er fordi hydrogengass allerede er brukt som rakettdrivstoff og forbrennes rundt 3000 kelvin. Vi antar s? at vi har 10^5 molekyler av dette stoffet for ? kunne finne massen. Dermed kan vi plotte det vi har.
Vi kan til og med velge oss ut en vilk?rlig lengde av grafen. La oss si mellom 5*10^3 m/s til 30*10^4 m/s. Fra teorien vi s? p? tidligere, skal dette gi oss sannsynligheten at hastigheten til en partikkel ligger mellom disse to verdiene:
\(P(5*10^3 \leq x \leq 30*10^3) = \int_{5*10^3}^{30*10^3}\frac{1}{\sqrt{\frac{kT}{m}} \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{h^2}{2\frac{kT}{m}}} \approx 0.078\)
Det funker jo fjell! 7.8% sannsynlighet virker jo ganske rimelig n?r vi bare ser p? foten av kurven. Ganger vi s? dette med antall partikler vi har f?r vi jo nemlig hvor mange partikler som har den hastigheten vi spesifiserte! Kanskje det blir rakettoppskytning p? oss allikevel.
Kan det virkelig hende at de fleste partiklene i en gass har hastighet 0? La oss se p? absolutt hastighet p? en Maxwell-Boltzmann fordelingsgraf. En liten modifikasjon p? normalfordelingen gir oss denne modellen som bruker:
\(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\)
Neste blogg-post
For ? se forrige blogg-post