Det er noko vi ikkje har sagt s? langt i desse hjernenedbrytande tankeeksperimenta v?re. N?r det er prat om to referansesystem \((x, y)\) og \((x', y')\), vert det umerka referansesystemet som oftast kalla laboratoriesystemet.
Vi har eit n?ytron. N?ytron er finurlege partiklar. Dei har ei gjennomsnittleg levetid p? 12 minutt f?r dei g?r i oppl?ysing og blir til eit proton, eit elektron og eit n?ytrino (n?ytron \(\neq\) n?ytrino). N?ytronet bevegar seg langs x-aksa i laboratoriesystemet v?rt, g?r i oppl?ysing p? eit augeblink, og protonet og elektronet fortset i same retning.
"Men kva med det stakkars n?ytrinoet da?", seier ein gr?tande Askeladden.
Nei, det ser vi bort ifr?! Tek vi hensyn til n?ytrinoet blir dette alt for vanskeleg for vesle Askeladden. Anta inga n?ytrino!
M?let v?rt no er ? pr?ve og berekne hastigheita til protonet og elektronet i laboratoriesystemet etter oppl?ysinga av n?tronet, noko vi skal gjere i systemet til partiklane som er \((x', y')\) der n?ytronet er i origo.
Askeladden ser fortusta opp fr? spikkinga si.
"Vent, kva?"
Du h?yrde rett. Vi skal ut fr? \((x', y')\)-systemet berekne hastigheitane til partiklane i \((x, y)\). La oss setja i gang!
Korleis skal vi kome fram til denne hastigheita, sp?r du? Vi skal g? vegen om momentenergi! Eller momenergy som dei kallar det p? engelsk. Men kva er det? Det kjem fr? r?rslemengd og energi. Det viser seg nemleg det i relativitetsteorien at r?rslemengd og energi er same greia. R?rslemengd vert òg kalla moment, derav momentenergi.
Fyrst m? vi ha nokre formlar for ? rekne ut momentenergien til elektronet og protonet. Har du h?yrt om firervektorar? Tenkte nok ikkje det.
I ein tredimensjonal vektor har vi tre komponentar ? hanskast med, t.d. \((x, y, z)\), oftast kalla for eit rom. Slike vektorar h?par vi inderleg at dykk kjenner godt. Dersom ikkje b?r dykk kanskje vurdere ? ta opp nokre fag til neste ?r.
La oss no leggje til ein komponent til! Og kva kallar vi den?
"Komponent ?!" utbryt Askeladden.
G? og legg deg Askeladden. Det er tida vi legg til!
Sj? p? det p? denne m?ten: I tre dimensjonar har vi \(3D = (x_1, x_2, x_3) = (x, y, z)\), medan i fire dimensjonar har vi \(4D = (x_0, x_1, x_2, x_3) = (t, x, y, z)\) som gjev oss tidrommet, eller spacetime som dykk sikkert har h?yrt om p? film. Dersom vi innf?rar litt indeksnotasjon, f?r vi \(4D = x_{\mu}\) der \(\mu \in [0, 3]\).
Vi veit allereie at r?rslemengd vert skriven som \(\vec{p} = m\vec{v}\), men dette er for laboratoriesystemet. S? kva m? vi gjere da? Riktig! Lorentztransformasjon! Men vi kan ikkje bruke same transformasjon som vi brukte under tvillingparadokset. Her m? vi bruke ein transformasjon som er tilpassa r?rslemengd.
I tidrommet har vi at hastigheita er gjeve ved \(V_{\mu} = \gamma(1, \vec{v}) = (\gamma, \gamma v_x, \gamma v_y, \gamma v_z)\). Multipliserar vi denne med masse, f?r vi r?rslemengd: \(P_{\mu} = m(\gamma, \gamma \vec{v}) = (\gamma m, \gamma m \vec{v}) = \gamma(m, \vec{p})\). Her er alts? tidskomponenten \(\gamma m\) som er energi, og romkomponenten er den vanlege r?rslemengda vi l?rte om n?r vi var yngre.
For elektronet og protonet i eksperimentet v?rt kan vi n? uttrykke r?rslemengda i \((x', y')\)-systemet:
\(P'_{\mu}(e) = (\gamma'_em_e, \gamma'_em_e\vec{v}'_e) = \gamma'_e(m_e, m_e\vec{v}'_e) = \frac{1}{\sqrt{1 - (v'_e)^2}} (m_e, m_e\vec{v}'_e) \\ P'_{\mu}(p) = (\gamma'_pm_p, \gamma'_pm_p\vec{v}'_p) = \gamma'_p(m_p, m_p\vec{v}'_p) = \frac{1}{\sqrt{1 - (v'_p)^2}} (m_p, m_p\vec{v}'_p)\)
Og kva s? med n?ytronet? Sidan n?ytronet er i origo har vi at hastigheita til n?ytronet i dette systemet er null, \(v'_n = 0\). Tek vi dette med i Lorentzfaktoren f?r vi \(\gamma'_n = \frac{1}{\sqrt{1 - 0^2}} = 1\), medan romkomponenten, alts? r?rslemengda \(\vec{p}\), blir null. Dette gjev oss \(P'_{\mu}(n) = \gamma'_n(m_n, \vec{p}_n) = (m_n, 0)\).
Her skulle vi gjerne vist meir, men det vart det diverre ikkje tid til.