Venane v?re i dette store eksperimentet er n?ydd til ? tenkje p? akselerasjonen som Askeladden og skipet hans gjennomg?r under reisa. La oss no leggje til eit par hendingar til, for kven likar vel ikkje fleire hendingar ? halde styr p??
- Hending Y som refererar til ei hending som skjer i posisjonen til Askeladden og skipet hans ved tida \(t_Y\).
- Hending Y' som skjer i same x-posisjon som Sygard, der ein observat?r i det merka referansesystemet med like stor hastigheit som skipet les av klokka p? Sygard. Sj? for deg at ein Tusling 2, Electric Boogaloo.
La oss òg seie at Askeladden f?r ein akselerasjon p? \(a = g = -0.1 ^m/{s^2}\) n?r han passerar Megard, og dimed byrjar ? deakselerere. For ? bruke denne akselerasjonen i dei vidare utrekninga m? vi gjere han dimensjonslaus. Den dimensjonslause akselerasjonen blir \(\frac{g}{c}\). Det er no ting blir spanande. Vi skal no nemleg sj? p? korleis tida p? Sygard vil sj? ut for Tusling 2 under den akselererte fasa. Kva blir \(t_Y\) og kva blir \(t_{Y'}\)?
Ut fr? ein del rekning og mykje algebra kjem vi fram til ein formel for \(t_{Y'}\) med omsyn p? \(t_Y\):
\(t_{Y'} = t_Y - \left(L_0 + v_0(t_Y - t_B) + \frac{1}{2}\frac{g}{c}(t_Y - t_B)^2\right)v\), der \(v = \frac{g}{c}(t_Y - t_B) + v_0\).
Dersom vi har ei tid for hending Y i det umerka systemet, alts? planetsystemet, kan vi bruke denne for ? finne tilsvarande tid for hending Y'.
Vi tek utgangspunkt i tidspunktet der Askeladden har deakselerert s? mykje at han til slutt st?r i ro, \(t_{turn}\). Det er her han vil snu og byrje reisa si attende til Sygard. Denne er gjeve ved \(t_{turn} = t_B + t = t_B - \frac{v_0}{g}c\).
\(t\) finn man ved ? setje opp ei vanleg r?rslelikning og setja \(v=0\).
Pluggar man inn tal f?r man at \(t_{turn} = 296 \)?r. Folka p? Sygard vil alts? sj? at Askeladden brukar totalt 296 ?r fram til han st?r i ro, 202 fram til Megard og 94 ?r p? ? bremse opp. Men kva vil Tusling 2 lese av p? klokka p? Sygard sedd fr? systemet til Askeladden? Set vi \(t_Y = t_{turn}\) og legg det inn i formelen for \(t_{Y'}\) f?r vi ut denne tida.
Men hald hesten din litt no!
Hugs at dette er tida da Askeladden vil vere i ro, alts? \(v = 0\). D? vil heile leddet til h?gre for \(t_Y\) falle bort \(\Rightarrow t_{Y'} = t_Y - 0 = t_Y\). Tusling 2 vil lese av den same tida! Det vil seie at dei er enige om tida fram til Askeladden er i ro! Og det er her lykelen ligg: i ro. N?r Askeladden stoppar opp og er i ro vil han vere i det same referansesystemet som planetane, og tida dei m?ler vil difor samsvare.
For Askeladden har det alts? g?tt 296 ?r p? ? kome til eit stopp litt etter ? ha passert Megard. Trekkjer vi fr? dei fire ?ra han brukte fr? Sygard til Megard som han sj?lv m?lte, f?r vi at for Askeladden tek deakselerasjonen 292 ?r.
"Kj?re vakre vene, eg m? skaffe meg ein hobby" sukkar Askeladden.
Ved symmetri s? vil han d? bruke 292 ?r p? ? akselerere opp att for heimreisa, og n?r d? Megard att etter ei total tid p? \(4 + 292 + 292 = 588\) ?r. Det er denne tida ein vil lese av klokka p? Sygard dersom ein er i systemet til Askeladden p? tur attende.