"Skal vi slippe ned kua n??" sp?r Tuslingen ivrig. "Vent p? simuleringen, Tuslingen. Den vil si om kua overlever eller ikke" beroligger Askeladden. "Vi har da alle simuleringene vi trenger om atmosf?ren! Slipp den n?!" sa Tuslingen urolig. "Vi trenger f?rst en modell for hvor stor kraft kua opplever gjennom det hele! Den skal jo overleve!" poengterer Askeladden og setter foten ned.
Askeladden tar blyanten sin fatt og begynner ? regne. Kraften som kua og fallskjermen vil hovedsaklig oppleve er luftmotstand. Den har en formel som nevnt under:
\(F_d = \frac{1}{2}\rho(r) C_d A v_{drag}^2\), hvor \(\rho(r)\) er tettheten til atmosf?ren, \(C_d\) er kalt luftmotstandkonstanten som forteller hvor motstandsdyktig overflaten til et objekt er for atmosf?ren, \(A\) er arealet til objektet og \(v_{drag}\) er hastighetskomponenten med hensyn til romskipets- og atmosf?rens hastigheter.
Askeladden vet allerede hva tettheten med hensyn p? radius (\(\rho(r)\)) til planeten er, fra tidligere innlegg. Han antar at luftmotstands konstanten er \(C_d = 1\) basert p? kuas st?rrelse og form. Arealet til objektet som han setter til ? v?re fallskjermen vil v?re en ukjent som han m? "gjette p?", ved ? sjekke motstanden for forskjellige arealer. Modellering av hastigheten til kua gjennom atmosf?ren \(v_{drag}\) trenger en egen formel for ? v?re korrekt.
Han definerer hastighetsvektoren til b?ten i forhold til planeten som \(\vec{v}\)og den kombinerte hastighetsvektoren til atmosf?ren til ?tvekdal i forhold til planeten som \(\vec{w}\). Askeladden antar videre at atmosf?ren er knyttet til rotasjonen av planeten, som betyr at den f?r samme angul?r hastighet som ?tvekdal \(\omega_{?} = 2\pi / T_{?}\). \(T_?\) er perioden til ?tvekdal i sekund.
Ut i fra definisjonen av radiell enhetsvektor, som kan skrives som \(\frac{r}{|r|} = \left[\cos\theta, \sin\theta\right]\). I figur 2 s? kan man enklere se hvordan man kan uttrykke radiell hastighetsvektor ved sinus og cosinus. Fra samme figur kan man se at tangensiell enhetsvektor er ortogonal med den radielle og Askeladden skriver dermed \(e_\theta = \left[-\sin\theta, \cos\theta\right]\) fra enkel trigonometri. Posisjonen til atmosf?ren er avhengig av radius fra sentrum av planeten, angul?rmomentet til planeten og tangensiell enhetsvektor for den beveger seg langs planeten. Askeladden kommer da fram til uttrykket under:
\(\vec{w}(r, \theta) = \frac{2\pi r}{T_?}\left[-\sin\theta, \cos\theta\right]\), hvor \(\theta\) er vinkelen mellom radiusen og x-aksen og \(r\) er avstanden fra sentrum av planeten til posisjonen i atmosf?ren.
Tar man en sniktitt p? figur 1 til Askeladden, kan man se at luftmotstanden virker i motsatt retning av hastigheten. Hastigheten som inng?r i motstandsuttrykket er avhengig av hastigheten til atmosf?ren og hastigheten til kua. Askeladden sette hastigheten til kua med respekt til planeten som positiv og kan dermed skrive at hastigheten i forhold til atmosf?ren blir \(\vec{v}_{drag} = \vec{w}(r, \theta) - \vec{v}(r, \theta)\).
En annen hastighet som Askeladden er interessert i er et uttrykk for terminalhastigheten til kua. Terminalhastighet er et uttrykk for den h?yeste hastigheten et objekt kan ha i en v?ske/gass. I en mer enklere forklaring er det en formel for ? regne ut farten en stein har p?vei mot bunnen av en innsj?.
For Askeladden er det ikke steinen som bekymrer han, men kua n?r den skal treffe bakken. Ved ? finne terminalhastigheten, vil Askeladden vite hvilken hastighet kua kommer til ? ha f?r den treffer bakken. Luftmotstand vil virke p? kua med engang den treffer atmosf?ren. Det betyr at Askeladden trenger ? finne ut hvordan hastighetene, b?de tangensial- \(v_\theta\) og radiellhastighet \(v_r\) oppf?rer seg etter punktet hvor kua er innenfor atmosf?ren. Oppdelingen av hastighetsvektoren kan skrives som formelen under:
\(\vec{v} = v_\theta\vec{e}_\theta + v_r\vec{e}_r\), hvor \(\vec{e}_\theta\) er tangensiell enhetsvektor og \(\vec{e}_r\) er radiell enhetsvektor.
Enhetsvektorer kan v?re vanskelige ? forst?, det var det for Askeladden ogs?. Han tegnet geometrisk hva disse to enhetsvektorene betyr i figur 2.
I det kua blir sluppet fra b?ten og sakker ned, f?lger Askeladden med ? ikke sakke farten for mye slik at kua faller rett ned. Ved ? sende kua inn med en stor tangensial hastighet mot atmosf?ren, vil den bruke lengre tid i en tynnere atmosf?re for ? sakke ned. Dette betyr igjen at man klarer ? holde luftmotstanden under et kritisk punkt. Kua vil oppleve st?rst luftmotstand i tangensiellretning f?rst, fordi den har st?rst tangensiell hastighet ved innganngen til atmosf?ren. Dermed vil tangensialhastigheten \(v_\theta \rightarrow 0\) og kua vil ende opp med kun terminalhastighet. Atmosf?ren vil s?rge for at kua kun ender opp med planeten sin angul?rhastighet.
Askeladden funderer og funderer med blyanten sin, gj?r store bevegelser og snakker h?yt og tydelig til seg selv. Tuslingen derimot sitter og tegner for seg selv alle de fine fjellene han kan se fra kanten p? b?ten. Han har til og med tegnet en liten Tusling oppe p? en av knausene til ?tvekdal.
Askeladden durer videre med ? sette tangensialhastighet til null \((v_\theta = 0)\). Det han lurer p? nemlig, er hva som vil v?re kua sin konstante terminale hastighet i radiell retning \(v_r\). Om han finner et uttrykk for dette, s? kan han nemlig estimere fallskjermst?rrelsen OG v?re sikker p? at kua lander trygt! Han utleder et uttrykk for dette under:
\(\sum F = 0 \rightarrow F_G - F_d = 0\rightarrow F_G = F_d\), han starter med ? definere kreftene som virker p? kua i atmosf?ren. Her er \(F_G = \frac{GMm}{r^2}\) gravitasjonskraften og \(F_d = \frac{1}{2}\rho(r)A v_r^2\) luftmotstandskraften. Askeladden setter disse lik hverandre og l?ser for radiell hastighet \(v_r\).
\(\frac{1}{2}\rho(r)Av_r^2 = \frac{GMm}{r^2}\rightarrow v_r(r) = \sqrt{\frac{2GMm}{\rho(r)Ar^2}}\rightarrow v_r(r_?) = \sqrt{\frac{2GMm}{\rho_0Ar_?^2}}\), den f?rste l?sningen for radiell hastighet er terminalhastighet hvor som helst i atmosf?ren. Den andre l?sningen er ved overflaten til ?tvekdal.
Askeladden kan fra terminalhastighets uttrykket over lett utlede en formel for arealet til fallskjermen ved ? l?se for \(A\). Fallskjermen kommer til ? oppleve st?rst luftmotstand der det er h?y tetthet, s? Askeladden utleder en formel for arealet til fallskjermen ved overflaten til ?tvekdal under.
\(A = \frac{2GMm}{\rho_0 r_?^2 v_{r, safe}^2}\), hvor \(v_{r, safe} = 3\) [m/s] er hastigheten som kua kan ha f?r den treffer bakken uten ? knekke beina.
Arealet til selve kua ser askeladden bort i fra, da arealet til fallskjermen trolig nok kommer til ? v?re st?rre enn arealet til selve kua. Det endelige arealet til fallskjermen derimot endte med ? bli \(A = 113\) [\(m^2\)]. Dette kommer av at tettheten ved overflaten til ?tvekdal er relativt tynn, som gir lite luftmotstand. St?rre areal vil dermed kompensere ved ? dekke st?rre overflater med luft.
Askeladden reiser seg og ser p? Tuslingen som dagdr?mmer om is-fiske p? ?tvekdal. "N? har jeg dimensjonene Tuslingen! La oss ta fram symaskinen og begynne p? fallskjermen!" roper Askeladden entusiastisk. Tuslingen skvetter til "Fangst! Nei, fantastisk! Den ligger under dekk, jeg g?r ? henter den" sier han og tusler ned under dekk.
Askeladden lener seg over kanten p? b?ten og skikker ned i det han tenker til seg selv: "Hva skjer rett f?r kua treffer bakken da?".