Dette innlegget her har jeg og William tenkt ? dele inn i to deler. I den f?rste delen skal vi snakke om to andre konsekvenser som spesiell relativitet f?rer til, tidsdilasjon og lengdekontraksjon. Deretter skal vi hoppe inn i de syke sinnene til fysikerne som arbeider med relativitet: for ? komme oss inn i dybden av teorien m? ta en tur innom geometriens undergrunn.
La oss begynne med ? se litt p? tidsdilasjon. N? som vi skal begynne ? sammenligne ulike referansesystemer er det viktig ? holde tunga rett i munn. Vi kaller systemet som st?r stille i forhold til oss for laboratoriesystemet eller bare lab-systemet. Et typisk eksempel er at vi st?r p? bakken og ser p? at tog kj?rer forbi. Noen andre begrep som er greie ? ha i orden er egentid og egenlengde. Fordi vi kommer til ? finne ut at ulike observat?rer vil m?le ulik tid og lengde p? legemer som er i bevegelse, er det greit ? ta utgangspunkt i m?linger som er gjort i referansesystemet som beveger seg med gjenstanden vi ser p?. Egenlengden til toget vil da bli lengden en person som er om bord m?ler at toget er. Referansesystemet som beveger seg med objektet vi skal studere kaller vi hvilesystemet.
En klassisk m?te ? finne et uttrykk for tidsdilasjon er ? ta utgangspunkt i et romskip som beveger seg i n?r lysfart, og som har en lysstr?le som reflekteres opp og ned mellom dens tak og gulv. Siden lysfarten i alle referansesystemer er gitt ved \(c\), er det lett ? finne tilbakelagt tid p? lysstr?len i l?pet av en runde fra gulv til tak og tilbake ved hjelp av vei-fart-tid-formelen \(s=vt=ct\) og Pytagoras. Vi kan s? sammenligne tilbakelagt strekning i b?de romskipsystemet og lab-systemet, slik at ender opp med et uttrykk som viser forskjellen p? egentiden og tiden m?lt fra bakken. Figuren under illustrerer dette veldig godt (merk: vi st?r ikke bak de forferdelige replikkene p? bildet)
Siden Bart bare ser at str?len g?r rett opp og ned, vil han m?le egentiden \(t_0 = {2D\over c}\). Lisa p? sin side vil m?le tiden \(t={2\sqrt{D^2+L^2}\over c}\).
Dersom vi er litt smarte og setter inn \(D=\frac 1 2 c t_0\) og \(L=\frac 1 2 vt\) , der \(v\) er hastigheten til Barts rakett (ser dere hvordan dette fungerer geometrisk?) kan vi etter en del knaing p? formlene sette opp \(t=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\). Dersom vi definerer lorentzfaktoren \(\gamma\) til ? v?re \(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\), f?r vi da til slutt at \(t=\gamma t_0\).
Merk at \(\gamma\) alltid vil f? en verdi st?rre enn 1. Dette vil si at for noe som skjer er egentiden \(t_0\) den kortest mulige tiden en kan m?le. Fra ditt perspektiv vil det se ut som at tiden inni et romskip g?r tregere enn din egen tid, faktisk vil alle armb?ndsur som beveger seg i inertialsystem g? saktere enn ditt eget armb?ndsur. Det at alle referansesystemer beveger seg relativt til hverandre, gj?r at man kan vri situasjonen p? hodet. For en annen observat?r vil tiden som han m?ler for deg alltid g? enten i samme tempo eller saktere enn hans egen.
Dette er opphavet til det som kalles tvillingparadokset. Se for deg at du er en astronaut som skal p? reise til et annet solsystem i et romskip med en hastighet n?r lyshastigheten. P? jorden etterlater du deg tvillingbroren din, og du ender da med ? f? en bevegelse i forhold til han. Da skulle tiden hans i f?lge deg g? saktere, slik at broren ble yngre enn deg n?r du kom tilbake til jorda. Problemet er jo at sett fra broren sitt synspunkt s? er det du som er i bevegelse, s? han ville jo argumentere for at det er du som burde v?rt yngre. Dere kan jo ikke begge v?re den yngste broren, s? hvordan l?ser vi det her? Vi kommer tilbake til dette om et lite ?yeblikk.
Frem til n? har vi snakket om tidsdilasjon, men tid er ikke det eneste observat?rer kan v?re uenige om. Det viser seg nemlig at lengden p? et objekt som beveger seg blir kortere dess fortere hastigheten til objektet er. Uten ? ta utledningen fra dette fenomenet kan vi si at lengekontraksjonen er gitt ved \(L_0 = \frac{L}\gamma\), der \(L_0\) er egenlengden m?lt. Siden vi denne faktoren gamma dukker opp igjen vet vi at vi ikke f?r noen s?rlig lengdekontraksjon for hastigheter som vi er vant med ? bevege oss i p? jorda, men lengden p? at legeme vil faktisk g? mot null n?r farten g?r mot \(c\).
Denne endringen i fysisk utstrekning skjer kun i retningen objektet beveger seg i, hvis ikke hadde vi f?tt en hel del med forklaringsproblemer. Se for deg at bredden p? et objekt kunne forandre p? seg ved h?ye hastigheter, la oss anta at et objektet kunne bli bredere. Et tog som kj?rte gjennom en trang tunnel i h?y hastighet kunne da ha klart ? komme seg gjennom sett fra toget, mens den hadde satt seg fast i fjellveggen sett fra utsiden. Dette her byr ?penbart p? tr?bbel, og man kan lage tilsvarende argument motsatt vei, et objekt kan heller ikke bli smalere.
La oss g? tilbake til tvillingparadokset. Det viser seg at det egentlig ikke er snakk om noe paradoks, vi har bare brutt reglene for hva vi har lov til ? gj?re. Problemet oppst?r nemlig fordi at den reisende f?r eller siden vil snu for ? reise tilbake til planeten, og vi har da brutt symmetrien i problemet. Vi har ikke tillatt ? ha noe akselerasjon (postulatene tillot kun at vi har treghetssystemer), men det er det vi trenger for ? kunne snu retningen p? romskipet. Det viser seg at det faktisk er broren som reiser som er yngst ved hjemkomsten: dette er et resultat som er greit ? vise med hjelp av den generelle relativitetsteorien.
N? som vi har begynt ? f? en slags kjennskap til spesiell relativitet er det p? tide ? se litt mer p? et par tekniske ting. Vi trenger nemlig et par verkt?y til i verkt?ykassa v?r f?r vi kan fortsette.
For det f?rste s? er det vanlig ? m?le tid i meter n?r man jobber med relativitet. Dette h?res jo helt bak m?l ut, men konseptet er ikke fullstendig ukjent – vi er allerede vant til ? m?le store avstander i lys?r. Hvor mange meter er s? et minutt? Jo, det er jo bare s? mange meter lyset beveger seg i l?pet av et minutt (i vakuum).
?rsaken til at vi gj?r dette, er at n?r vi beskriver hendelser i tidrommet kommer tiden som en fjerde dimensjon. Da viser det seg at det er beleilig ? ha samme enhet p? alle de fire dimensjonene. Det vi s? gj?r er ? si at lysfarten \(c\) har verdi lik 1, slik at alle hastigheter har absoluttverdi mellom 0 og 1. N?r vi gj?r dette vil blant annet lorentzfaktoren \(\gamma\) forkorte seg til \(\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\). Om du tenkte at det her var ille, s? er det her bare starten. I neste innlegg dukker det opp en skalar (et dimensjonsl?st tall) p? formen 2M/R, der M er en masse og R en radius. Fysikere er alts? ikke forn?yd f?r de ogs? f?r m?lt masse i meter.
Det vi trenger n? er ? finne et uttrykk for avstander i tidrommet. I vanlig euklidsk (flat) geometri har vi at avstanden mellom to punkt p? et plan er \(\Delta s=\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\). Kvadratroten av denne avstanden kalles for et linjeelement, s? i tre dimensjoner er dette linjeelementet \(\Delta s^2=\Delta x^2 + \Delta y^2 +\Delta z^2\).
Vi vet derimot at euklidsk geometri ikke gjelder overalt. En trekant tegnet p? et flatt ark vil alltid ha 180 grader, men denne begrensningen gjelder for eksempel ikke i sf?risk geometri. P? en globus klarer man fint ? tegne en trekant med tre rette hj?rner.
I spesiell relativitetsteori har tidrommet det som kalles Lorentz-geometri, og her er linjeelementet (tidromsintervallet) definert ved \((\Delta s^2)=(\Delta t)^2-(\Delta x^2 + \Delta y^2 +\Delta z^2)\).
Det som er verdt ? legge merke til her er minustegnet. Bare et lite fortegn er nok til ? gj?re denne geometrien helt forskjellig fra geometrien vi er vant til i dagliglivet. Grunnen til at vi f?r nytte for alt dette er at \(\Delta s^2\) er en st?rrelse som ikke endrer seg fra referansesystem til referansesystem. Tidromsintervallet er i den forstand akkurat det samme som lyshastigheten, den er noe vi kaller for en invariant st?rrelse.
Jeg og William har ikke tenkt ? gj?re noe s?rlig med utregninger der vi benytter av oss av Lorentzgeometri, men siden dette tidromsintervallet er mye enklere beskrevet enn det som dukker opp i generell relativitetsteori velger vi ? introdusere konseptet n?.
Til slutt skal vi se p? et annet resultat som vi ogs? skal f? bruk for n?r vi holder p? med generell relativitet. I stedet for ? skrive egentiden som \(\Delta t_0\) bruker vi ofte ? skrive den som \(\Delta\tau\) (med bokstaven tau). I hvilesystemet (x’,y’) vil ikke armb?ndsuret til observat?ren bevege seg i det hele tatt, s? vi kan skrive dette tidromsintervallet som \(\Delta s^2 = (\Delta t')^2-(\Delta x')^2=\Delta\tau^2-0=\Delta\tau^2\).
I hvilesystemet er alts? egentiden lik tidromsintervallet. Dette gjelder uavhengig av hva slags tidromsintervall vi bruker. H?res dette kryptisk ut? Bare vent og se, dette viser seg ? v?re veldig nyttig.
Vi har n? nesten kommet oss til veis ende, men vi har n? gjort alt klart for ? ta fatt p? det siste emnet, generell relativitetsteori. Snart i m?l!
Logg inn for ? kommentere