I dette innlegget her har jeg og William tenkt ? finne ut hvordan vi skal f? landet Lucas p? Vicinus sin overflate. La oss se litt p? hvordan situasjonen er for ?yeblikket:
Michelle og Lucas er fortsatt koblet p? hverandre, og sammen suser de i bane rundt Vicinus. Dersom vi ikke hadde iverksatt noe landingsprosedyre, ville de bare fortsatt ? g? i en ellipsebane rundt planet. Plottet under viser bevegelsen de ville hatt rundt Vicinus.
Det som er verdt ? legge merke til her er at vi har plassert sentrum til Vicinus i midten av koordinatsystemet. Vi tenker n? at Michelle befinner seg s? n?r Vicinus at gravitasjonskraften fra planeten er mange ganger st?rre enn den fra stjernen v?r Almus. Det blir derfor naturlig ? sette planetsentrum i origo i stedet for Almus. Som vi tidligere har nevnt f?lger Michelle en bane som g?r rundt ekvator p? Vicinus. Figuren over viser et utsnitt i xy-planet, ser vi alts? for oss at vi svever over "nordpolen" p? planeten og ser rett ned p? et utsnitt som g?r p? tvers av planeten ved ekvator.
Vi har v?rt heldige med valg av planet. Atmosf?ren til Vicinus har nemlig en tetthet p? \(\rho_0 = 5.086 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\) ved overflaten, mye mer en jorda sine \(1.225 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\). Dette gj?r at Lucas ikke kommer til ? trenge en alt for stor fallskjerm p? vei ned.
N?r vi f?rst f?r separert Lucas slik at han er p? vei mot overflaten er vi langt utenfor atmosf?ren til Vicinus. Da er det kun gravitasjonskraften som akselererer Lucas mot planeten, og vi skal senere senere se at Lucas n?r hastigheter p? over 800 m/s. Dette er [1] p? figuren under.
Deretter vil Lucas plutselig treffe de ytterste lagene av atmosf?ren, og det er da luftmotstanden kicker inn. Denne virker mot bevegelsesretningen, s? den vil bremse opp b?de den radielle og den tangensielle komponenten av hastigheten.Siden det er ikke er krefter som ?ker tangensialhastigheten til Lucas, vil denne komponenten vil g? mot null. Det er her det virker st?rst motstandskrefter p? Lucas, s? vi m? v?re forsiktige slik at Lucas ikke brenner opp. Dette er [2] p? figuren.
I den siste fasen av nedstigningen har vi kun radiell bevegelse mot sentrum av planeten. Gravitasjonskraften og luftmotstandskraften vil balansere hverandre slik at Lucas har en jevnere hastighet nedover ([3] under). Det er viktig ? holde tunga rett inn i munnen her og huske p? to ting:
- Fordi at tettheten og dermed luftmotstanden ?ker p? vei ned, vil terminalhastigheten til Lucas synke p? vei nedover. Det er atmosf?ren som gj?r mesteparten av jobben med ? bremse ned landeren v?r.
- N?r vi sier at den tangensielle hastigheten g?r mot null er dette i forhold til planeten. Det er fordi atmosf?ren til Vicinus roterer med samme vinkelhastighet som planeten, og at Lucas vil begynne ? bevege seg langs atmosf?ren n?r Lucas treffer den.
La oss se p? hvor fort Lucas hadde truffet Vicinus dersom vi ikke hadde tatt med fallskjermer. Vi vet at en god modell for luftmotstanden er \(F_D = - \frac 1 2\rho C_DAv^2\), der dragkoeffisienten \(C_D\) i v?rt tilfelle er lik 1, mens overflatearelet p? undersiden av Lucas er \(6.2 \text{m}^2\). I tillegg er lufttettheten ved overflaten \(\rho=\rho_0\). Luftmotstanden er like stor som gravitasjonen, s?
\(\frac{GmM}{R^2} =\frac 1 2 \rho_0 C_DAv^2\)
Lucas sin masse \(m\) er 90 kg, Vicinus sin masse \(M\) er \(5.66\cdot10^{23}\) kg, \(R\) er radien til Vicinus (3136.48 km) og gravitasjonskonstanten \(G\) har st?rrelse \(6.67\cdot10^{-11}\). L?ser vi for terminalhastigheten f?r vi
\(v=\sqrt{\frac{2GmM}{R^2\rho_0C_DA}}=11.66\frac{\text m}{\text s}\approx42\frac{\text{km}}{\text h}\)
Dette er en god del fortere enn den st?rste hastigheten vi vil Lucas skal ha n?r den treffer Vicinus. Dersom vi setter \(v_{safe}\) lik 3 m/s, s? kan vi l?se for arealet vi vil fallskjermen skal ha. Vi f?r
\(A=\frac{2GmM}{R^2\rho_0C_Dv_{safe}^2}=15.1 \text{m}^2\)
noe som ikke er en helt urimelig verdi for en medbrakt fallskjerm.
Dette innlegget her ble veldig mye tekst, men n? har vi lagt ferdig grunnlaget for landingen. I det neste innlegget skal vi gjennomf?re en simulering av ferden ned, vi kan jo ikke sette alt arbeidet vi har gjort p? spill med ? v?re uforsiktige n?!
Logg inn for ? kommentere