Vi har f?tt Michelle til ? ta bilder av mulige landingssteder p? Vicinus. For at vi skal se noe som helst under landingen foretrekker vi et sted som er vendt mot sola. I tillegg foretrekker vi ? ikke krasjlande i et fjell. Med dette i bakhodet kan vi ta en titt p? noen av bildene Michelle sendte oss:
Vi synes det tredje siste bildet ser mest lovende ut. Det er lyst og lite fjell der. I tillegg beveger Michelle seg sv?rt n?rt dette stedet i banen sin. Det b?r gj?re det enklere for oss ? f? Lucas ned dit.
Bildet ble tatt 8143 sekunder (ca. to timer og et kvarter) etter at Michelle kom seg i bane rundt Vicinus. Vinklene til bildet i sf?riske koordinater var \(\phi = 1.54, \ \theta = \frac{\pi}{2}\). Dette er i et koordinatsystem som st?r i ro i forhold til sentrum av Vicinus (se boks til h?yre for forklaring).
Siden Vicinus roterer, betyr dette at koordinatene til destinasjonen vil endre seg med tiden. Vi definerer Vicinus sin rotasjon til ? foreg? rundt z-aksen. Dette betyr at \(\theta\) vil holde seg konstant, mens \(\phi\) vil endre seg med tiden. En funksjon for \(\phi\) vil v?re
\(\phi(t) = \omega t + \phi_0\)
der \(\phi_0\) er vinkelen \(\phi\) ved \(t = 0\), det vil si n?r Michelle kom inn i banen rundt Vicinus og \(\omega\) er vinkelhastigheten til Vicinus.
Fra tidligere observasjoner vet vi at Vicinus bruker 22 timer og tre kvarter p? et oml?p (81832 sekunder). Dette betyr at vinkelhastigheten er
\(\omega = \frac{2\pi}{81832 \text{ s}} = 7.68 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}\)
N? kan vi finne \(\phi_0\) ved ? sette inn i formelen at vinkelen ved \(t = 8143 \text{ s}\) var \(\phi(8143) = 1.54\), som gir likningen
\(1.54 = 7.68 \cdot 10^{-5} \cdot 8143 + \phi_0\)
som gir \(\phi_0 = 4.06\).
Disse tallene kan vi bruke i formelen for posisjonen p? en kuleflate. For ? g? fra kulekoordinater til vanlige x-, y-, og z-koordinater, bruker vi f?lgende formel:
\(\vec{r} = (R \sin{\theta} \cos\phi, R \sin{\theta} \sin{\phi}, R \cos{\theta})\)
Ovenfor fant vi et uttrykk for hvordan \(\phi\) varierte med tiden. Med dette innsatt f?r vi at posisjonen som en funksjon av tiden blir:
\(\vec{r}(t) = (R \sin{\theta} \cos{(\omega t + \phi_0)}, R \sin{\theta} \sin{(\omega t + \phi_0)}, R \cos{\theta})\)
der \(R = 3.14 \cdot 10^6 \text{ m}\) er radien til Vicinus.
Merk at all bevegelsen til Michelle og Lucas fremdeles skjer i xy-planet, vi tenker at vi alltid beveger oss langs ekvator til planeten. Da er \(\theta\) alltid lik \(\frac \pi 2\). Vi kan kan dermed gj?re posisjonsfunksjonen v?r litt enklere ved ? sette inn for \(\sin \theta\) og \(\cos \theta\). Vi ender da opp med:
\(\vec{r}(t) = (R \cos{(\omega t + \phi_0)}, R\sin{(\omega t + \phi_0)},\ 0 )\)
Setter vi inn alle tallene vi fant i formelen v?r, s? kan vi f?lge med p? hvor landingsstedet befinner seg ved ethvert tidspunkt. N? gjelder det bare ? f? Lucas ned dit!
Logg inn for ? kommentere