Se for deg at du ser Mars p? stjernehimmelen en dag, og at du har en dugende rakett liggende ved siden av deg som du vil skyte opp. Du vinkler s? raketten slik at den peker rett p? Mars, fyrer av, og h?per p? det beste. Dager senere vil du nok fortsatt angre p? den mangelen p? impulskontroll du visste, det var jo null sjangs for at dette skulle g? bra. Uheldigvis glemte du at vi er i et akselerert referansesystem, der raketten hele tiden blir akselerert av stjernen og planetene rundt, samtidig som at legemene i solsystemet akselererer hverandre. Vi kan jo likevel pr?ve ? se hva som skjer om vi skyter satellitten rett mot en av planetene. Slik vi har kartlagt solsystemet v?rt er dette et ?yeblikksbilde av posisjonene til planetene v?re, et ?yeblikk vi herved har d?pt til ? v?re selve starttidspunktet t = 0.
F?r oppskytning er det et par ting vi vil gj?re oppmerksom p?. Husk at vi antar at planetene ligger s? flatt at vi kan beskrive solsystemet med to dimensjoner (planetene befinner seg p? samme skive). I tillegg er satellittmassen s? liten sammenlignet med plantene og stjernen at vi ser bort i fra at satellitten ogs? trekker p? de andre legemene i solsystemet. Vi tenker ogs? at vi alltid skyter opp satelitten radielt utover, vi forestiller oss at oppskytningen f?lger en linje som g?r fra sentrum av planeten, gjennom overflaten, og rett ut i rommet (se bildet under).
Dette medf?rer at dersom vi vil endre p? oppskytningsvinkelen s? m? vi ogs? flytte raketten til et annet sted p? planeten. Vi ser for oss at dette g?r bra ? gj?re n?r vi simulerer oppskytningene, men at vi aller helst bare bygger oppskytningsrampen en gang n?r vi faktisk skal skyte opp Michelle.
La oss tilfeldigvis velge ? rett mot planeten Vicinus og se hva som skjer. I f?rste omgang har vi simulert for 0.1 ?r.
Det her g?r jo kanskje? La oss pr?ve ? simulere for et helt ?r for ? forst? hva det er som skjer.
Her ser vi at satellitten faktisk legger seg i en ellipsebane rundt stjerna. Ved ? teste for flere ulike vinkler ser vi at det er vanlig at ellipsebaner dukker opp, og at st?rrelsene p? halvaksene til disse banene avhenger av oppskytningsvinkelen (her: vinkelen i forhold til x-aksen).
Jeg og William har tidligere funnet ut at hastigheten til Domum i tidspunktet t = 0 utelukkende har en positiv y-komponent. Skyter vi da opp i positiv y-retning (\(\theta = \frac \pi 2 \)), vil satellitten f? stor mekanisk energi; vi kan se for oss at planetbevegelsen slynger oss frem. Med masse energi vil satellitten da legge seg i en bane med store halvakser. I motsatt tilfelle (\(\theta = -\frac \pi 2 \)) der vi skyter opp ?bakover?, vil raketten jobbe mot bevegelsen til planeten og legge seg i en mye mindre ellipsebane. Dermed ser vi at med en d?rlig valgt startvinkel s? vil ikke raketten klare ? n? ut til de ytre planetene i solsystemet.
N?r det er sagt m? vi ikke glemme at vi fortsatt har drivstoff til overs fra oppskytningen. Vi har nemlig husket ? sette av litt drivstoff som vi kan bruke til ? justere p? kursen til raketten underveis. Michelle veide 100 000 kg f?r oppskytning, og etter ? ha forlatt Domum er totalmassen rundt 17577 kg, dette inkludert massen til selve raketten/satellitten p? 1100 kg. Rent teknisk tenker vi at raketten underveis kan endre hastigheten sin momentant med en boost \(\Delta \vec v\) som bruker noe av drivstoffet som er igjen om bord.
S?, hvordan kommer man seg bort til planeten man vil bes?ke? Her er det faktisk ikke noe fasitsvar, men vi har her to ulike kandidater til fremgangsm?ter.
Den f?rste m?ten er ? time utskytningstidspunktet og utskytningsvinkelen s? bra at man slipper ? justere kurs underveis. Dette er en m?te som sparer en for masse drivstoff, da man slipper ? l?fte mye un?dig masse, men i praksis er dette nesten umulig (i alle fall for oss). Her passer det kanskje med en golf-analogi: selv om det rent fysisk g?r an ? sl? en hole-in-one hver gang, er det mye enklere ? satse p? ? treffe i n?rheten av hullet, for ? s? ta det derfra. Med denne metoden kan det ogs? ta mange ?r f?r planetene er oppstilt p? akkurat riktig m?te i forhold til hverandre, en ventetid jeg og William helst vil unng?.
En annen m?te er ? f?rst komme seg i en posisjon som krysser banen til planeten, for s? ? booste slik at man havner i samme ellipsebane som planeten. Se figuren under, her er det lett ? se at \(\vec v = \vec v_0 + \Delta \vec v\) .
Det er relativt problemfritt ? finne ut hvilken boost \(\Delta \vec v\) vi trenger for ? legge oss i rett bane, utfordringen er i ? s?rge for at planeten og raketten befinner seg p? samme sted i banen til samme tid. Det ser nok ut til at man uansett m? v?re litt lur med n?r man sender opp en rakett. Likevel, skulle planeten ha et lite forsprang p? raketten i banen, kan raketten ta igjen planeten ved ? legge seg i en bane som ligger innenfor planetbanen (Keplers tredje lov forteller oss at mindre halvakser p? ellipsene gir kortere oml?pstid om stjernen), for s? ? ta en boost for ? dytte raketten opp til planeten n?r de er ved siden av hverandre.
Generelt har vi pr?vd ? minimere tiden Michelle bruker til planeten. Dette er det to grunner til:
- Simuleringene tar mye kortere tid, vi vil dra hjem f?r eller siden.
- Kortere simuleringer begrenser hvor mye un?yaktigheter og feil rekker ? bygge seg opp.
I det forrige innlegget skrev William at valget stod mellom ? skyte opp til enten Ignis eller Vicinus. Det viser seg at n?r vi sk?yt opp Michelle ved t = 0.6 ?r, s? l? Vicinus aller best til. Vi pr?ver oss derfor p? ? bes?ke denne planeten. Simulert i 0.1 ?r ville rakettbanen sett slik ut:
Nesten bra nok, men ikke helt. Vi ser at planeten ligger litt foran raketten, men det ikke s? ille at det ikke kan fikses med en liten boost.
Den endelige oppskytningsplanen v?r blir dermed seende slik ut:
- Ved t = 0.6 ?r: Skyt opp med vinkel \(\theta=\frac 9 4 \pi\) fra x-aksen
- Ved t = 0.608 ?r: Boost raketten med 1.84 AU/yr med vinkel \(\theta = \frac 9 {10} \pi\) fra x-aksen. Bekreft at vi ikke g?r tom for drivstoff under boosten.
- Folde hendene sammen og be om at det her skal g?.
La oss se hvordan dette g?r! (Merk: bl? bane er f?r boosten, oransje bane etter den)
Jackpot! For t = 0.737859 ?r sier programmet at vi har kommet oss frem til Vicinus. N? er det verdt ? nevne at vi ikke ?nsker ? treffe rett p? planeten (ouch), vi vil bare v?re n?rme nok Vicinus. Vi tenker at et passende m?l er ? befinne oss innenfor grensen der gravitasjonskrafta fra planeten p? Michelle er 10 ganger st?rre enn gravitasjonskrafta fra stjernen. For ? finne denne avstand setter vi bare opp uttrykket
\(\vec F_{planet}=10\cdot \vec F_{stjerne} \Longrightarrow G\frac{M_p m_{sat}}{|\vec r_p|^2} = 10\cdot G\frac{M_* m_{sat}}{|\vec r_*|^2}\)
der vi l?ser for \(l = |\vec r_p|\). Med litt knaing og gnikking p? ligningen over f?r vi
\(l = |\vec r_*| \sqrt{\frac{ M_p}{10 M_*} }\) , der \(|\vec r_*|\) er avstanden mellom raketten og stjernen.
Vi lar alts? programmet kj?re frem til vi er innenfor denne radiusen fra Vicinus, og n?r vi klarte det fikk vi en verdi p? \(l\) der \(l \approx 1.590\cdot10^{-4} \) AU.
Til slutt kan vi skyte inn et par ord om metoden vi har brukt til ? regne ut posisjonen til Michelle. Siden vi har s? mange legemer i bevegelse i solsystemet finner vi ikke en eksakt l?sning p? dette problemet, vi m? i stedet gj?re en numerisk tiln?rming p? datamaskinen.
Kort fortalt m? vi l?se en differensialligning; for hvert tidspunkt kjenner vi akserasjonen til Michelle (ved ? se p? kreftene fra hver enkelt planet). Vi har da en verdi for akselerasjonen (den dobbeltderiverte av posisjonen), men vi vil finne selve posisjonen. N? skal ikke vi grave dypt i hvordan man l?ser et slikt problem (det minner litt om hvordan vi simulerte gasspartiklene i forbrenningskammeret), men vi vil bare p?peke at det finnes mange ulike metoder for ? gj?re det, og noen av dem har fancy navn som Euler-Cromer, Runge-Kutta 4 og Leapfrog.
Hvordan velger man s? mellom disse?
For ? f? mer p?litelige resultater kan man enten simulere for mindre tidsintervaller, eller s? kan man bruke en annen mer n?yaktig metode. Problemet er at begge deler ?ker tiden det tar for datamaskinen ? finne en l?sning, man m? alts? ta en avveining av hva som er viktigst for deg: presisjon eller tidsbruk. Vi har valgt den f?rstnevne (Euler-Cromer), fordi den er lynrask og kjempeenkel ? implementere. Den er ikke s? veldig presis, men siden vi kj?rer gjennom koden til hver prosjektdel opptil flere hundre ganger har vi her prioritert lav tidsbruk. For ? kompensere for en mer "simpel" metode oppdaterer vi hastighet og posisjon hvert hundretusendedels ?r for ? f? opp n?yaktigheten.
Avsnittene over ble litt tunge, men poenget er ? vise at det ofte ikke finnes noe fasitsvar p? hvordan en l?ser problemer i astrofysikk, men at man m? bruke litt skj?nn eller pr?ve seg frem for ? finne noe som funker. Neste gang hadde vi nok g?tt for en mer "eksotisk" metode som bevarte energien i systemet.
N? er det vel p? tide ? runde av for denne gang. Vi befinner oss for ?yeblikket like ved planeten, men vi ?nsker ? komme oss inn i en stabil bane rundt Vicinus. Vi planlegger nemlig en innsettingsman?ver for ? kunne lande en sonde p? planetoverflaten. Hvordan vi skal f? til det her vet vi ikke helt enda, men akkurat tar vi en velfortjent pustepause. Vi har kommet oss langt, men helt ferdige er vi ikke enda!
Logg inn for ? kommentere