Relativitetsteorien har hittil l?rt oss mye nytt om universet, men det er fortsatt mye mer ? l?re. Forel?pig har vi kun snakket om treghetssystemer. Det begynner ? bli p? tide ? finne ut hva som skjer i akselererte referansesystemer. Vi skal over til den generelle relativitetsteorien.
F?rst er det en liten misforst?else vi m? oppklare: Gravitasjon er ikke en kraft. Ikke en kraft? Vi har jo skrevet et halvt dusin blogginnlegg hvor vi bruker gravitasjonskraft! Men slik er det faktisk. For ? forst? hvorfor det blir slik, skal vi sette oss inn i det Einstein kalte for ekvivalensprinsippet. La oss gj?re et tankeeksperiment.
Tenk deg at du st?r p? en badevekt inni en rakett. Raketten st?r trygt plassert p? oppskytningsrampen sin, men den har ingen vinduer som lar deg 
se ut. Vekten m?ler 100 kg, som du vet betyr at du virker med en kraft \(mg = 981 \text{ N}\) p? den. Du slipper en ball, og ser den falle ned mot gulvet med en akselerasjon \(g = 9.81 \text{ m/s}^2\). Hva hvis raketten var midt ute i verdensrommet og akselererte med en konstant akselerasjon \(a = 9.81 \text{ m/s}^2\)? Vekta vil p?virke deg med en kraft \(F = ma = 981 \text{ N}\), og m?ler dermed 100 kg igjen. Du slipper ballen. Romskipet har en akselerasjon \(a = 9.81 \text{ m/s}^2\) i forhold til ballen. Sett fra deg som st?r inni romskipet vil ballen nok en gang falle ned mot gulvet med en akselerasjon \(a = 9.81 \text{ m/s}^2\). Eksperimentene du utf?rer i verdensrommet gir alts? n?yaktig de samme resultatene som da du stod p? bakken.
Men du har jo ikke noen vinduer som gj?r at du kan se hvor raketten egentlig befinner seg. Hvordan kan du da vite om du st?r trygt p? 
oppskytningsrampen eller om du suser av g?rde i verdensrommet med en akselerasjon \(a = 9.81 \text{ m/s}^2\)? Svaret er ganske enkelt at du ikke kan vite det. Dette er ekvivalensprinsippet: Et akselerert referansesystem er ekvivalent med et gravitasjonsfelt.
Dermed kan vi utvide det ene postulatet fra spesiell relativitetsteori til det generelle relativitetsprinsippet: Fysikkens lover har samme form i alle referansesystemer. Dette prinsippet er det den generelle relativitetsteorien bygger p?. Siden den likestiller alle referansesystemer og sier at gravitasjonsfelt og akselerasjon er ekvivalent, er den generelle relativitetsteorien en gravitasjonsteori. S?, hvordan fungerer gravitasjon i den generelle relativitetsteorien?
Det vi opplever som gravitasjon er i virkeligheten krumming av tidrommet. N?r man har akselererte referansesystemer, f?lger ikke tidrommet Lorentz-geometrien slik vi husker den fra spesiell relativitetsteori. N? bestemmes tidrommet av Einstein-likningen:
\(G_{\mu\nu} = 8 \pi T_{\mu \nu}\)
\(T_{\mu\nu}\) er energi-impulstensoren, som best?r av energi-innholdet i tidrommet. \(G_{\mu \nu}\) er Einstein-tensoren, som forteller geometrien til tidrommet. S? med andre ord, energi-innholdet i tidrommet bestemer hvordan geometrien til tidrommet skal v?re.
Det finnes bare noen f? analytiske l?sninger av Einstein-likningen. ?n av dem er Scwharzshilds l?sning for et linjeelement av tidrommet rundt et sf?risk symmetrisk legeme med masse \(M\) og radius \(r\). Det gjelder alts? rundt for eksempel stjerner og planeter. L?sningen ser slik ut (husk at \(\Delta s\) er tidromsavstanden):
\(\Delta s^2 = (1-\frac{2M}{r})\Delta t^2 - \frac{\Delta r^2}{(1-\frac{2M}{r})} - r^2 \Delta \phi^2\)
Merk at denne l?sningen gjelder for en observat?r utenfor gravitasjonsfeltet, en s?kalt langt vekk-observat?r, og bruker sf?riske koordinater. Formen kan minne litt om Lorentz-geometri, men den har noen ganske forskjellige egenskaper som vi skal unders?ke litt n?rmere n?.
Tenk deg n? at du st?r ute en vakker vinterkveld og ser opp p? nattehimmelen. Der ser du vennen din, Albert, som sitter i sitt svevende romskip langt vekk fra jorda. For ? fange hans oppmerksomhet bestemmer du deg for ? ta opp en laserpenn og lyse p? romskipet i noen periodiske tidsintervaller som du m?ler til ? v?re \(\Delta \tau\). Hvor lenge vil Albert observere at du lyser med laserpennen?
Siden du befinner deg p? et sf?risk symmetrisk legeme og Albert befinner seg langt utenfor jordas gravitasjonsfelt, vil han kunne beskrive hendelsene som skjer hos deg ved hjelp av Schwarzschild-geometri. Albert vil alts? m?le tidromsavstanden som Schwarzschilds linjeelement. Vi husker fra spesiell relativitetsteori at tidromsavstand er det samme som egentiden, som i dette tilfellet bare blir tiden \(\Delta \tau\) som du m?lte p? klokken din. Siden du st?r i ro relativt til Albert, vil \(\Delta r = \Delta \phi = 0\). Schwarzschilds linjeelement gir da
\(\Delta \tau ^2 = \Delta s^2 = (1-\frac{2M}{r}) \Delta t^2\)
Dermed blir tiden \(\Delta t\) som Albert m?ler p? klokken sin:
\(\Delta t = \frac{\Delta \tau}{\sqrt{1 - \frac{2M}{r}}}\)
Siden det som st?r under br?kstreken er mindre enn 1, vil Albert m?le tiden til ? v?re lengre enn du gjorde. Det oppst?r alts? en tidsdilatasjon, tilsvarende den som oppst?r n?r to observat?rer beveger seg relativt til hverandre.
Tidsdilatsjonen f?rer til et nytt interessant resultat. Da du sendte ut lyset fra laserpennen, hadde det en b?lgelengde \(\lambda_0\) og en frekvens \(\nu_0 = \frac{1}{\lambda_0}\) (siden \(c = 1\) i relativistiske enheter). Husk at frekvens ogs? kan skrives som \(\nu_0 = \frac{1}{\Delta \tau}\), der \(\Delta \tau\) er tiden mellom to b?lgetopper som du m?ler. Men n?r lyset har n?dd opp til Albert vil det jo ha oppst?tt en tidsdilatsjon, slik at han vil observere at tiden mellom to b?lgetopper er nettopp det uttrykket vi kom frem til. Frekvensen han observerer vil alts? v?re
\(\nu = \frac{1}{\Delta t} = \frac{\sqrt{1-\frac{2M}{r}}}{\Delta \tau}\)
Bruker vi relasjonen \(\nu = \frac{1}{\lambda}\), f?r vi at b?lgelengden vi observerte n?r vi sendte opp laserpennen var
\(\lambda_0 = \frac{1}{\nu_0} = \frac{1}{\frac{1}{\Delta \tau}} = \Delta \tau\)
Mens b?lgelengden Albert observerer blir
\(\lambda = \frac{1}{\nu} = \frac{\Delta \tau}{\sqrt{1-\frac{2M}{r}}}\)
B?lgelengden til lyset har ?kt p? samme vis som tiden gjorde. Vi har f?tt en gravitasjonell Doppler-effekt. Dopplerforskyvningen \(\Delta \lambda / \lambda_0\) blir alts?
\(\frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \frac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0} = \frac{\frac{\Delta \tau}{\sqrt{1-\frac{2M}{r}}} - \Delta \tau}{\Delta \tau} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2M}{r}}} - 1\)
Konklusjonen blir at Albert vil observere at lyset du sendte har blitt r?dforskj?vet. Denne effekten kommer vi til ? se p? nytt senere.
Men f?rst skal vi g? tilbake til Schwarzschilds linjelement og gj?re en observasjon. For hva ville egentlig skjedd dersom \(r = 2M\)? Da blir jo faktoren \((1-\frac{2M}{r}) = 0\), som gj?r at leddet med \(\Delta t\) blir null, og enda verre: Vi f?r \(\Delta r\) delt p? null! Det vi har kommet frem til er ikke en regnefeil av v?r venn Schwarzschild, men noe langt mer interessant: Et sort hull.
Et sort hull er et omr?de i rommet hvor gravitasjonsfeltet er s? sterkt at ikke engang lys kan slippe ut. Unnslipningshastigheten er h?yere enn lysets hastighet. Avstanden \(r = 2M\) er det vi kaller for hendelseshorisonten. Et objekt som passerer hendelseshorisonten kan ikke komme seg ut igjen.
Hva skjer dersom man faller inn i et sort hull? Slik vi har sett tidligere i relativitetsteori, kommer det an p? hvem du sp?r. Vi skal sende Lorentz ned i det sorte hullet og sp?rre hvordan hendelsen ser ut for:
- Lorentz, stakkaren som faller inn i det sorte hullet
- Albert, som svever i ro utenfor det sorte hullet
- Karl, som sitter langt vekk og ser gjennom teleskopet sitt
For ? finne ut hva som skjer, trenger vi en liten tilleggsopplysning: Dersom man bruker Schwarzschild-geometri, er den relativistiske energien i et gravitasjonsfelt gitt ved
\(\frac{E}{m} = (1 - \frac{2M}{r})\frac{dt}{d\tau}\)
der E er energien, m er massen til objektet, M er massen til det sorte hullet, r er avstanden til den sorte hullet for objektet sett av langt vekk-observat?ren, \(dt\) er et lite tidsintervall for langt vekk-observat?ren og \(d \tau\) er et lite tidsintervall for objektet. Vi skal snakke litt mer om hva dette betyr og hvor den kommer fra senere, men forel?pig skal vi bare akseptere at den er slik. Med dette i mente er vi klare til ? finne ut hva som skjer med Lorentz.
Som utgangspunkt sier vi at Lorentz starter i ro langt vekk fra det sorte hullet, s? \(r >> 2M\). Han har p? seg en klokke som bruker tiden \(\Delta \tau\) mellom hvert tikk.
La oss f?rst ta en tur innom Karl for ? h?re hva han ser i teleskopet sitt. Siden Karl er langt utenfor det sorte hullets gravitasjonsfelt, vil han kunne bruke Schwarzschild-geometri til ? beskrive hva som skjer med Lorentz. Derfor vil uttrykket vi fant for relativistisk energi gjelde for ham. Siden Lorentz starter en avstand \(r >> 2M\), vil energien han starter med v?re
\(\frac{E}{m} = (1-\frac{2M}{r})\frac{dt}{d\tau} = \frac{dt}{d\tau}\)
Siden Lorentz forel?pig er langt vekk fra det sorte hullet, er det ingen tidsdilatasjon mellom han og Karls klokke, \(dt = d\tau\). Dermed f?r vi
\(\frac{E}{m} = 1 \implies E = m\)
Energien til Lorentz er alts? bare hvileenergien (som vi husker fra spesiell relativitetsteori). Vi ?nsker ? bruke denne energien til ? finne et uttrykk for hastigheten Karl observerer. Vi husker at egentiden \(d\tau\) er den samme som tidromsintervallet \(ds\):
\(d\tau^2 = ds^2 = dr^2-dt^2\)
Vi kan sette inn dette for egentiden og bruke at relativistisk energi er bevart (\((1-\frac{2M}{r})\frac{dt}{d\tau}\) er alltid lik 1). Etter litt regning, kommer vi frem til
\((\frac{dr}{dt})^2 = \frac{2M}{r}(1-\frac{2M}{r})^2\)
N? er vi p? riktig spor. Siden \(dr\) er endringen av avstanden observert av Karl og \(dt\) er tiden observert av Karl, m? \(\frac{dr}{dt}\) v?re hastigheten Karl observerer. Dermed f?r vi at Karl observerer at hastigheten er
\(v = -\sqrt{\frac{2M}{r}}(1-\frac{2M}{r})\)
Dette resultatet er sv?rt interessant. Etter hvert som avstanden blir kortere, vil hastigheten f?rst ?ke. Men etter hvert n?r den et toppunkt og avtar raskt frem til den blir null ved \(r = 2M\)!
Dette virker ganske absurd. Hvordan kan et objekt i fritt fall plutselig stoppe opp? Svaret er at tiden stopper ved hendelseshorisonten (Kan du se dette med uttrykket vi tidligere fant for tidsdilatsjon?). Karl vil alts? observere at Lorentz stopper helt opp ved hendelseshorisonten og aldri kommer inn i det sorte hullet i det hele tatt! Husk at fenomener som dette i relativitetsteorien ikke bare er noen artige illusjoner som oppst?r. Tiden stopper til Karl stopper faktisk opp i Lorentz sitt referansesystem. Men Lorentz vil faktisk ikke kunne se Karl p? grunn av Dopllerforskyvningen vi tidligere utledet. Siden
\(\frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2M}{r}}} - 1\)
F?r vi at Dopplerskiftet g?r mot uendelig for \(r = 2M\). Lysb?lgene blir strakt uendelig langt ut, slik at de ikke lengre er observerbar.
Hva med Albert, hva vil han selv se? Siden han svever i ro relativt til det sorte hullet, men befinner seg i gravitasjonsfeltet, befinner han seg i en lignende situasjon som du gjorde da du stod ute og lyste med laserpennen hjemme p? jorda. Han kalles for en skallobservat?r. Alts? gjelder uttrykket vi fant for tidsdilatsjon for ham:
\(\Delta t = \frac{\Delta t_A}{\sqrt{1- \frac{2M}{r}}}\)
Der \(\Delta t_A\) og \(\Delta t\) er tiden henholdsvis Albert og Karl observerer mellom to tikk p? klokka. Et tilsvarende uttrykk kan finnes for lengdekontraksjonen observert av en skall-observat?r. Vi skal ikke ta med utledningen n?, s? vi f?r n?ye oss med resultatet:
\(\Delta r = \sqrt{1-\frac{2M}{r}} \Delta r_A\)
Der \(\Delta r_A\) og \(\Delta r\) er avstanden henholdsvis Albert og Karl observerer at Lorentz tilbakelegger mellom to tikk p? klokka. Setter vi inn at \(v = \frac{dr}{dt} = (1-\frac{2M}{r})\frac{dr_A}{dt_A}\) i formelen vi fant for hastigheten Karl observerte, f?r vi
\(\frac{dr_A}{dt_A} = v_A = -\sqrt{\frac{2M}{r}}\)
Som alts? m? v?re hastigheten til Lorentz observert av Albert. Dette f?rer til et helt annet scenario enn det Karl observerte. Albert vil se at Lorentz starter med hastighet 0 n?r \(r >> 2M\), mens ved \(r = 2M\) er \(v_A = -1\). Husk at i relativistiske enheter er lysets hastighet 1. S?, med andre ord: Albert vil observere at Lorentz' hastighet g?r mot lysets hastighet idet han n?rmer seg hendelseshorisonten. Vi har én observat?r som sier at Lorentz stopper opp, og en annen som sier at Lorentz faller i lysets hastighet. Det kan ikke bli s?rlig mer forskjellig enn dette!
S? til den mest spennende delen: Hvordan oppleves fallet inn i det sorte hullet for Lorentz selv? Han vil oppleve at han flytter seg mellom lokale inertialsystemer. Husk at et inertialsystem var et referansesystem hvor Lorentz-geometri gjaldt. Vi kaller dette for flat geometri. Tilsvarende er Schwarzschild-geometri det vi kaller for krummet geometri. Siden Lorentz befinner seg ved et sort hull, er han egentlig i et rom med krummet geometri. Men i sv?rt korte tidsintervaller kan den krumme romtiden se ut som flat romtid, akkurat som at jorden er tiln?rmet flat p? sm? flater selv om den i virkeligheten er rund. Dette gjelder i korte tidsintervaller for objekter i fritt fall: De kan ikke utf?re et eksperiment som viser at de er i den ene eller den andre geometrien. For Lorentz kan vi alts? bruke Lorentz-geometri n?r vi beskriver en liten forflytning \(dr\) over et lite tidsintervall \(dt\).
Idet Lorentz krysser hendelseshorisonten opplever han faktisk ingenting merkverdig. Men idet han passerer skjer det likevel noe interessant. Egentiden hans blir, ved Schwarzschilds linjeelement:
\(\Delta \tau ^2 = \frac{\Delta r^2}{|1 - \frac{2M}{r}|} - |1- \frac{2M}{r}| \Delta t^2\)
Tid- og romkoordinatene har byttet plass: N? har romkoordinatene et positivt fortegn, mens tidskoordinatet har et negativt fortegn. Rommet har overtatt én av rollene som vanligvis blir assosiert med tid, nemlig en uunng?elig bevegelse fremover. Hele fremtiden til Lorentz peker n? mot sentrum, singulariteten, og det er ingenting han kan gj?re for ? stoppe det. Singulariteten er et punkt i sentrum av det sorte hullet hvor, if?lge den generelle relativitetsteorien, gravitasjonsfeltet er uendelig sterkt. Man vet ikke om disse singularitetene faktisk eksisterer, eller om v?re kunnskaper om gravitasjon er utilstrekkelig til ? forklare dem. Hva som skjer med Lorentz idet han kommer hit forblir et mysterium.
Logg inn for ? kommentere