Logg #029 (Dato: ????)

N? skal vi bruke litt tid p? ? bygge forst?else for et av verkt?yene en kan bruke n?r man gj?r relativistiske tankeksperimenter. Vi skal kikke litt p? det som kalles tidromsdiagrammer og verdenslinjer. Et tidromsdiagram er mye det samme som de vanlige diagrammene dere har brukt i skolen i ?revis, men n? skal vi ikke bare inkludere rom i diagrammene. Vi skal ogs? ta med tid. Vi skal ikke gj?re dette alt for avansert, s? vi skal kun se p? tidromsdiagrammer i to dimensjoner. Det er imidlertid ikke x og y vi skal ha p? aksene, men heller x og t. Et tidromsdiagram beskriver nemlig hvordan noe beveger seg gjennom tid og rom. Det kan for eksempel se slik ut:

Figur 1: Et hendelsesforl?p sett fra en observat?r som st?r i ro

Her har jeg tegnet et eksempel p? et tidromsdiagram. Det kan for eksempel beskrive mine bevegelser. F?rst begynner jeg i x lik en meter fra origo. Der st?r jeg i et sekund, f?r jeg bruker to sekunder p? ? g? bort til 2 meter fra origo, der jeg blir st?ende et nytt sekund. Deretter g?r jeg, litt fortere denne gangen, bort til 4 meter fra origo f?r jeg bruker to sekunder p? ? g? tilbake til der jeg startet. Klarer du ? f?lge hendelsesforl?pet i diagrammet? Bra, da begynner du ? f? en forst?else for hva et tidromsdiagram beskriver. Linjen som beskriver bevegelsene mine kalles en verdenslinje. Figur 1 viser bevegelsene mine sett fra en observat?r som st?r stille. Hvordan tror du tidromsdiagrammet for de samme bevegelsene ser ut fra mitt referansesystem (alts? det systemet der jeg alltid er i origo)? Det vil se slik ut:

Figur 2: Samme hendelsesforl?p sett fra mitt eget referansesystem

Skj?nner du hvorfor det m? bli s?nn? Jeg ga deg et hint n?r jeg sa at mitt referansesystem er det systemet der jeg alltid er i origo (legg merke til at jeg har forskj?vet aksene litt s? det skulle bli lettere ? se verdenslinjen min). S? verdenslinjen til en observat?r sett fra observat?rens eget referansesystem er alltid en rett linje gjennom tiden. N? skal vi pr?ve ? se p? et litt mer avansert system med flere objekter og observat?rer.

I systemet vi skal beskrive er det tre romskip og en romstasjon. Romskip 1 og 2 beveger seg med ulik, men konstant fart mot h?yre, mens romskip 3 akselererer sett fra romstasjonen og de andre romskipene. Sett fra romstasjonen g?r alts? 1 med en fart \(v_1\) mot h?yre, 2 g?r med \(v_2\) mot h?yre (der \(v_2>v_1\)) og 3 starter f?rst med en fart \(v_3<v_1\) men etter en liten stund akselererer den til en fart \(v_3>v_2>v_1\) til den har passert 1 og kommet opp p? linje med 2, da deakselererer 3 til en fart \(v_1<v_3<v_2\). Da f?r vi et tidromsdiagram som ser slik ut:

Figur 3: Viser tidromsdiagrammet til systemet sett fra stasjonens referansesystem.

Men hvordan blir det seende ut for romskip 1? Vi vet at i tidromsdiagrammet for romskip 1 er linjen til romskip 1 rett og parallell med t-aksen, hvordan blir det med de andre? Stasjonen vil jo, sett fra romskip 1, bevege seg bakover (alts? bevege seg mot negativ x). Romskip 2 vil fortsatt bevege seg fortere enn 1, s? den vil holde seg i positiv x. Men den har lavere relativ fart enn i Figur 2, s? hvordan ser det ut? Som noen kanskje allerede har lagt merke til er fart, i et tidromsdiagram, representert som helningen til verdenslinja til et objekt. Jo fortere en beveger seg, desto brattere blir verdenslinja. Dette vil ogs? gjelde for romskip 3, dermed f?r vi:

    Figur 4: Viser romtidsdiagrammet sett fra romskip 1

Det siste diagrammet vi skal tegne er for romskip 2. Her n?dvendigvis romskip 2 sin verdenslinje parallell med t-aksen. Stasjonen vil fort bevege seg bakover til negativ x. Romskip 1 vil ogs? bevege seg bakover sett fra 2, men ikke like fort som stasjonen. Romskip 3 vil begynne med ? falle bakover, men vil s? akselerere opp til fart og ta igjen romskip 2 (alts? vertikalen) f?r det faller litt bak igjen:

    Figur 5: Viser romtidsdiagrammet sett fra romskip 2

Er det noen som har lagt merke til noe interessant? Hva om jeg legger alle bildene ved siden av hverandre:

Ser dere at n?r vi skifter fra et referansesystem til et annet med en annen fart s? roterer vi bare verdenslinjene? Det er denne effekten fart har, n?r man ?ker farten sin s? roterer man verdenslinjene til alt rundt seg som beveger seg med en annen fart.

For romskip 3 sitt romtidsdiagram skal jeg bare forklare hvordan geometrien blir. For linjen til en av de andre objektene vil deres linje i romskip 3 sitt diagram v?re speilingen av romskip 3 sin linje om deres linje i deres eget diagram. For eksempel er verdenslinja til romskip 2 i 3 sitt tidromsdiagram en speiling av romskip 3 sin verdenslinje i romskip 2 sitt diagram om verdenslinja til 2 i dette diagrammet. Kanskje litt forvirrende, men egentlig ikke s? vanskelig (du kan se at dette stemmer for de andre diagrammene ogs?). Det blir seende slik ut:

     Figur 6: Tidromsdiagrammet til romskip 3 sitt referansesystem.

Ser du speilingene n?? Sammenlikn med med de tre bildene over, s? kan det bli lettere. N? skal vi tilbake til stasjonens tidromsdiagram og ta en n?rmere kikk p? tiden ting tar. For at det ikke skal bli for mye ? holde styr p? tar vi romskip 1 og stasjonen ut av diagrammet og fokuserer p? romskipene 2 og 3. Vi lar stasjonens referansesystem ha umerkede tidromkoordinater, mens 2 f?r merkede og 3 dobbelmerkede. Vi skal definere to eventer i hendelsesforl?pet. Det f?rste kaller vi A og er enkelt og greit starten av hendelsesforl?pet, der \(t_A=t_A'=t_A''=0\) og \(x_A=x_A'=x_A''=0\). Deretter sier vi at event B er n?r romskip 3 tar igjen romskip 2, alts? n?r verdenslinjene deres krysser og da er \(t_B=10ms\) i stasjonens referansesystem. For romskip 2 har det imidlertid g?tt \(t_B'=8ms\). Dette kan vi illustrere p? denne m?ten:

Figur 7: Viser verdenslinjene til romskip 2 og 3 i stasjonens referansesystem med tikkene p? stasjonens og romskip 2 sine klokker p?tegnet.

Her har vi tenkt at romskip 2 og romstasjonen har to synkroniserte klokker som tikker ¨¦n gang hvert millisekund. Dette demonstrerer noe vi har sett f?r nemlig tidsdilatasjon. Tidsdilatasjon sier at noen som observerer to event med en annen fart enn referansesystemet eventene skjer i (her observerer stasjonen eventene, men de foreg?r i referansesystemet til romskip 2) vil m?le en lengre tid enn observat?ren som er i dette referansesystemet. Alts?

\(\Delta t_{AB}=\gamma\Delta t_{AB}'\)

og siden vi n? vet hva b?de \(\Delta t_{AB}\) og \(\Delta t_{AB}'\) er kan vi regne ut hvilken fart romskip 2 m? ha i forhold til stasjonen:

\(\frac{\Delta t_{AB}}{\Delta t_{AB}'}=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\)

\(\left(\frac{\Delta t_{AB}}{\Delta t_{AB}'}\right)^2=\frac{1}{1-v^2}\)

\(1-v^2=\left(\frac{\Delta t_{AB}}{\Delta t_{AB}'}\right)^{-2}=\left(\frac{\Delta t_{AB}'}{\Delta t_{AB}}\right)^2\)

\(v=\sqrt{1-\left(\frac{\Delta t_{AB}'}{\Delta t_{AB}}\right)^2}=\sqrt{1-\left(\frac{8ms}{10ms}\right)^2}=0.6\)

Alts? m? romskip 2 bevege seg med en fart p? 0.6c i forhold til romstasjonen.

Da er sp?rsm?let: hvor lang tid m?ler romskip 3? Vi antar at 3 ogs? har en klokke som ble synkronisert med stasjonen og 2 ved event A, hvor mye viser denne ved B? Det er et veldig viktig prinsipp innen relativitetsteori som egentlig sier det samme som Newtons f?rste lov, bare litt mer presist (fordi det fungerer i andre tidromgeometrier, som vi ikke skal snakke om akkurat n?). Dette prinsippet kalles prinsippet om maksimal aldring, og g?r ut p? at den korteste verdenslinja (alts? den rette linja mellom to eventer) er den som tar lengst tid, og det er alltid den linja som gir lengst tid et objekt vil velge gjennom tidrommet med mindre det virker krefter p? det. Dette gir mening siden vi jo har funnet ut en rett verdenslinje vil si konstant hastighet, og Newtons f?rste lov sier at dersom summen av krefter p? et objekt er null vil det fortsette med konstant hastighet. Dette vil si at ettersom romskip tre har en lengre verdenslinje enn romskip 2 mellom de samme to eventene vil 3 m?le kortere tid mellom A og B:

Figur 8: Samme tidromsdiagram som Figur 7, men med tikkene p? romskip 3 sin klokke p?tegnet.

Vi ser at tikkene p? klokka til romskip 3 ikke har samme mellomrom gjennom hele hendelsesforl?pet. Det kommer ganske enkelt av at 3 endrer farten sin. Vi vet fra tidsdilatasjon at jo fortere du beveger deg, jo saktere g?r tiden for deg sammenliknet med dem rundt deg. Dermed vil tiden g? saktere for romskip 3 etter at det ?ker farten. Og som vi forklarte overfor sier prinsippet om maksimal aldring at det bruker kortere tid enn romskip 2.

Da kan du puste lettet ut, du har klart deg gjennom nok en logg om relativitet. Det neste n? blir generell relativitet. Takk for meg, vi snakkes.

- NLO Gustav