N? skal vi ta et aldri s? lite dypdykk ned i et av de viktigste s?kalte "paradoksene" relativitet f?rer med seg. Vi skal nemlig se p? tvillingparadokset for ? illustrere at ikke alt som, med det f?rste, kan se ut som det ikke gir mening eller g?r an er umulig.
Vi hopper rett i det og begynner ? definere tankeeksperimentet v?rt. Vi er igjen i "deep space", her finner vi to planeter med en avstand p? 200 lys?r mellom seg. Disse planetene beveger seg ikke i forhold til hverandre og denne avstanden er derfor konstant. Vi kaller den ene planeten P1 og den andre for P2 (ikke de gamle norske radiokanalene). Vi er en astronaut som skal flytte oss fra P1 til P2 i et romskip som beveger seg i 99% av lysets hastighet, alts? 0.99c. Vi kommer derfor til ? ha to referansesystemer: et umerket referansesystem med tidromkoordinater \((t,x)\), som tilh?rer planetene, og et merket referansesystem med tidromkoordinater \((t',x')\), som tilh?rer astronauten. I det umerkede systemet er P1 i posisjon \(x=0\) og P2 i posisjon \(x=200ly\) (ly - light year). I det merkede referansesystemet er romskipet alltid i posisjon \(x'=0\). Da ser dette slik ut:
.png)
S? skal vi definere noen event:
Event A:
Skjer n?r \(t=t'=0\) og \(x=x'=0\) n?r romskipet forlater P1 mot P2:
.png)
Event B:
Romskipet ankommer P2 i \(x=200ly\)
.png)
N? skal vi gj?re litt regning. Jeg skal ikke gj?re veldig avanserte beregninger, og jeg kommer til ? dra fram endel formler som dere kanskje ikke har sett f?r uten ? forklare dem veldig detaljert. Dette er fordi det hadde tatt alt for lang tid og blitt alt for mye ? skrive. Vi skal f?rst finne ut av hvor langt tid det tar mellom A og B i de forskjellige referansesystemene:
I planetenes referansesystem:
I dette refereransesystemet er avstanden 200 lys?r og romskipet beveger seg i 0.99c slik at:
\(\Delta t_{AB}=\frac{200ly}{0.99c}\approx202yr\)
\(yr\) - year
I astronautens referansesystem:
Her m? vi bruke en formel for det som kalles tidsdilatasjon for ? finne tiden som klokka til astronauten viser at turen tok. Tidsdilatasjon betyr at tiden g?r saktere for noen som beveger seg veldig fort (n?r lysfarten). Formelen for tidsdilatasjon gir:
\(\Delta t_{AB}'=\frac{1}{\gamma}\Delta t_{AB}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}}\Delta t_{AB}\approx28.5yr\)
der gamma er en ofte brukt st?rrelse i relativitetsregning og ser slik ut:
\(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}\)
N? skal vi legge til et nytt event:
Event C:
Romskipet har snudd og ankommer n? P1 igjen:
N? skal vi finne tiden det tar for hele dette hendelsesforl?pet, alts? fra A til B til C. Vi kaller disse tidene \(\Delta t_{AC}\) og \(\Delta t_{AC}'\). Dette trenger vi ingen avanserte formler for ? gj?re, det blir nemlig bare det dobbelte av én vei. Og det gir jo mening. Alts? er:
\(\Delta t_{AC}=404yr\)
og
\(\Delta t_{AC}'=57yr\)
Flotte greier, n? skal skal vi gj?re noe som kan bli litt forvirrende. Vi skal n? bytte om koordinatene p? referansesystemene. Vi skal si at laboratoriesystemet (det man regner med at st?r i ro) er astronauten sitt referansesystem (i sted var det jo planetene sitt). Slik at det som skjer i astronautens referansesystem har tidromkoordinater \((t,x)\). Mens planeten blir n? v?rende i det merkede referansesystemet og har koordinater \((t',x')\). Relativitetsprinsippet (det som sier at alt er relativt) gir oss lov til ? gj?re dette, og sier at vi skal f? de samme resultatene n? som i sted. N? blir likevel systemet og eventene seende litt annerledes ut:
Event A:
N? er event A ikke at romskipet forlater P1, men at P1 flyr avg?rde fra romskipet med fart 0.99c. Romskipet derimot st?r helt stille.
.png)
Event B:
Event B blir n? at planet P2 ankommer romskipet med en fart p? 0.99c.
.png)
Husk at romskipet st?r stille.
Event C:
P1 ankommer romskipet igjen:
.png)
N? skal vi regne litt igjen. Vi skal p? nytt finne tiden det tar mellom eventene. N? m? vi imidlertid tenke at romskipet st?r stille, og vi vet hvor lang tid det tok for romskipet (\(\Delta t_{AB}=28.5yr\)). Da gir formelen for tidsdilatasjon at for planetene (som n? er de som beveger seg fort) vil tiden mellom event A og B v?re:
\(\Delta t_{AB}'=\frac{1}{\gamma}\Delta t_{AB}\approx4yr\)
Dette betyr igjen at rundturen A, B, C tar for romskipet:
\(2\Delta t_{AC}=57yr\)
og for planetene
\(2\Delta t_{AC}'=8yr\)
Dette virker jo helt umulig. Det var jo akkurat det samme som skjedde i begge tilfellene, men f?rst regnet vi ut at det tok 404 ?r for en observat?r p? P1, men n? kom vi nettopp fram til at det tok 8 ?r. Det er her paradokset ligger. Hva kan v?re ?rsaken til dette?
Beregningene er s? enkle at vi har nok ikke bare skrevet nor feil. Det m? v?re noe galt med antakelsene og/eller logikken v?r. Det vi antar er at det ikke spiller noen rolle hvilket referansesystem vi bruker som laboratoriesystem. F?rst lot vi planetenes referansesystem v?re laboratorie system, for deretter ? la romskipets system v?re laboratoriesystemet. Dette er ikke det samme! Men hvorfor ikke?
I det f?rste tilfellet vi s? p? startet astronauten med en fart 0.99c mot h?yre. Han endte imidlertid opp med en fart 0.99c mot venstre. Eneste m?ten det kan ha skjedd er ved akselerasjon. N?r astronauten n?dde P2 svingte han rundt ved hjelp av kraften til motorene hans. Formelen for tidsdilatasjon og spesiell relativitet i seg selv gjelder kun for referansesystemer med konstant fart, alts? ingen akselerasjon. Men hvorfor vil ikke dette gjelde i det andre tilfellet ogs? da? P1 begynner jo med en fart 0.99c mot venstre og ender med den samme farten mot h?yre. Hva er forskjellen? Jo, forskjellen er at P1 ikke bruker eller opplever noen kraft p? seg idet den snur. Med andre ord akselererer den egentlig ikke. Hvis vi ser for oss hvordan det vil v?re for en observat?r ? befinne seg p? de to forskjellige stedene i de to situasjonene kan det bli lettere ? skj?nne.
F?rste situasjon (planetene som laboratoriesystem):
Astronauten:
Astronauten vil oppleve at han flyr rolig og makelig i en fart p? 0.99c mot P2. Idet han ankommer og skal snu blir han presset hardt inn i setet av en helt voldsom akselerasjon (samme som n?r du akselererer i en bil, bare mye kraftigere). N?r akselerasjonen er over blir det en rolig flytur tilbake igjen til P1.
En observat?r p? P1:
Observat?ren p? P1 vil ha rolige dager hele tiden. Det virker ingen krefter p? P1, s? den vil heller ikke beveger p? seg.
Andre situasjon (romskipet som laboratoriesystem:
Astronauten:
Astronauten sitter stille og rolig i romskipet sitt med det han m?ler som null fart. Idet P2 ankommer romskipet hans vil han imidlertid bli klemt inn i setet sitt av en voldsom kraft f?r det igjen blir rolig. Romskipet hans fyrte nettopp av motorene, men han m?lte ingen fartsendring. P2 forsvinner n? i det fjerne og P1 n?rmer seg etter hvert igjen.
Observat?ren p? P1:
Ogs? n? vil observat?ren ha gode, rolige dager. Han vil m?le at han suser gjennom verdensrommet f?rst med 0.99c mot venstre f?r han plutselig har snudd og beveger seg mot h?yre. Han vil ikke merke noe mer enn vanlig siden det jo ikke virker noen krefter p? P1.
Dette er forskjellen mellom de to situasjonene og grunnen til at resultatene blir feil i det ene tilfellet. Det viser seg at referansesystemet til astronauten er akselerert, og da gjelder ikke spesiell relativitet.
N? skal vi pr?ve ? f? en forst?else for hva som skjer i dette tankeeksperimentet. Vi skal derfor legge til en ekstra planet, P3, og enda et romskip med en astronaut som vi kaller observat?r P. Da blir dette seende slik ut:
.png)
N? f?r vi et nytt referansesystem ogs?. Vi innf?rer et dobbelmerket system med tidkoordinater \((t'',x'')\) for observat?r P.
N? skal vi i tillegg endre litt p? m?ten vi ser p? dette systemet. I stedet for to romskip skal vi tenke p? det som to uendelige rekker med romskip. En rekke som beveger seg fra venstre, forbi P1 til P3, med en fart \(v=0.99c\), og en tilsvarende rekke som g?r motsatt vei med samme fart. Vi kaller den som g?r fra P1 til P3 for utg?ende, og den fra P3 til P1 for returnerende. En annen m?te ? se dette p? er ? tenke p? to uendelig lange heiser. Der mange heisvogner er satt sammen til to rekker:
.png)
I dette bildet er P1 kalt Earth, P2 Rigel og planeten uten navn er P3.
Astronauten g?r ombord i den utg?ende heisen og reiser mot P3, mens observat?r P kommer fra P3 og beveger seg mot P1.
Vi tenker ogs? at det er én observat?r P i hver heis som g?r fra P3 til P1 og at det er én astronaut i hver av heisvognene som g?r fra P1 til P3. La oss definere eventer:
Event A:
Skjer ved \(t_A=t_A'=0\) og \(x_A=x_A'=0\) n?r astronauten hopper ombord i den utg?ende heisen.
Event B:
Er n?r ankommer P2 og hopper over til den returnerende heisen
Event B':
Er litt mer komplisert. Akkurat idet astronauten v?r hopper over til den returnerende heisen ved P2 (dette m?lt i astronautens refereansesystem) passerer en annen astronaut i den utg?ende heisen P1 slik at \(x_{B'}=0\). N?r han passerer tar han en kikk p? en klokke p? P1 og sender et lyssignal som blir observert p? P1. Siden B' skjer samtidig som B i astronautenes referansesystem blir \(t_B'=t_{B'}'\).
Vi skal n? kalle avstanden mellom P1 og P2 som \(L_0\) i stedet for 200 ly. Det betyr at avstanden mellom P1 og P3 er \(2L_0\). Det f?rste vi skal finne ut av er n?r event B skjer i det umerkede referansesystemet (\(t_B\)).
Vi vet at astronauten hopper over i den utg?ende heisen ved \(t_A=0\), deretter skal han tilbakelegge en avstand \(L_0\) med en fart \(v\). Tiden dette m? ta er da gitt ved:
\(t_B=\frac{L_0}{v}\)
Deretter vet vi fra tidsdilatasjon at astronauten vil m?le denne tiden som:
\(t_B'=\frac{1}{\gamma}t_B=\frac{L_0}{\gamma v}\)
Da skal vi finne ut av hva \(t_{B'}\) skal v?re. Vi vet ved tidsdilatasjon at:
\(t_{B'}=\frac{1}{\gamma}t_{B'}'\)
Men vi vet jo at \(t_{B'}'=t_B'=\frac{L_0}{\gamma v}\) og dermed:
\(t_{B'}=\frac{1}{\gamma}\frac{L_0}{\gamma v}=\frac{L_0}{\gamma^2v}=\frac{L_0}{v}(1-v^2)=\frac{L_0}{v}-vL_0\)
Dette er jo n?dvendigvis den tiden som st?r p? klokken p? P1 n?r event B' skjer. Det er denne tida astronaut 2 ser n?r han passerer P1. Hvis vi setter inn for \(L_0\) og v finner vi at denne klokka viser at det har g?tt fire ?r siden astronaut 1 forlot P1. Vi vet ogs? at i det merkede koordinatsystemet til astronautene skjer B og B' samtidig. Det betyr at i det merkede systemet observerer astronaut 2 at reisen til astronaut 1 tok fire ?r, mens observat?ren p? P1 vil si at astronaut 1 bruker 202 ?r, som vi regnet ut i sted. S? her blir det mye uenighet. La oss fortsette.
Vi skal n? snart pr?ve ? komme fram til hva som faktisk skjer, og hvorfor det er s? forvirrende. Da m? vi f?rst inkludere noen nye eventer:
Event D:
Er n?r observat?r P starter fra P3. Han drar samtidig som astronaut 1 forlater P1 (\(t_A=t_D=t'_A=t''_D=0\)) og beveger seg med samme fart. Det betyr at b?de P og astronaut 1 ankommer P2 samtidig sett i det umerkede systemet. Og der vet vi jo at astronaut kommer over i P sin heis og dermed P sitt referansesystem.
Event B'':
En annen observat?r i den returnerende heisen passerer P1 idet astronaut 1 ankommer P i den returnerende heisen (m?lt i det merkede referansesystemet), denne observat?ren kikker p? klokken p? P1 og sender et lyssignal til P1.
N? m? vi innf?re et nytt konsept i regningen v?r. Siden klokkene til observat?ren p? P1 og
P ikke er synkronisert m? vi m?le forskjellene i tid mellom disse to klokkene med det som kalles tidromsintervallet. Dette er en m?te ? m?le "avstand" i b?de tid og rom. Det er definert slik at:
\(\Delta s^2=\Delta t^2-\Delta x^2\)
der \(\Delta s\) er tidromsintervallet.
N? m? vi finne endel st?rrelser. Vi begynner med \(\Delta x_{BD}\):
\(\Delta x_{BD}=x_D-x_B=2L_0-L_0=L_0\)
deretter finner vi:
\(\Delta t_{BD}=0-\frac{L_0}{v}=-\frac{L_0}{v}\)
videre:
\(\Delta x_{BD}''=0\)
siden P alltid er i posisjon null i det dobbelmerkede systemet.
til slutt finner vi at:
\(\Delta t_{BD}''=t_B''\)
Denne er vi n?dt til ? bruke tidromsintervallet for ? bestemme. Vi vet at
\((\Delta s_{BD}'')^2=(\Delta t_{BD}'')^2-(\Delta x_{BD}'')^2=(\Delta t_{BD}'')^2\)
Det fine med tidromsintervallet er at for to eventer er tidromsintervallet mellom disse eventene likt for alle referansesystemer. Dermed kan vi skrive:
\((\Delta s_{BD})^2=(\Delta t_{BD})^2-(\Delta x_{BD})^2=(-\frac{L_0}{v})^2-L_0^2=\frac{L_0^2}{v^2}-L_0^2\)
der
\((\Delta s_{BD})^2=(\Delta s_{BD}'')^2\)
alts? er
\((\Delta t_{BD}'')^2=\frac{L_0^2}{v^2}-L_0^2=t_{B''}^2\)
dette gir at
\(t_{B''}=\frac{L_0}{v\gamma}\)
Tiden det tar for det utg?ende mellom event A og B m? n?dvendigvis v?re den samme som den returnerende heisen m?ler mellom D og B'' siden de skal bevege seg like langt (\(L_0\)) med like stor fart, bare i motsatt retning.
N? skal vi regne ut hva klokka p? P1 viser n?r P og astronaut 1 er ved P2, alts? n?r P1 mottar lyssignalet som ble sendt fra den andre observat?ren i den returnerende heisen. Vi vil alts? vite hvilken tid (\(t_{B''}\)) denne andre observat?ren s? ved event B''. Husk at vi fant ut at \(t_{B'}\) var bare 4 ?r.
F?rst skal vi finne endel st?rrelser som kan hjelpe oss. Vi begynner med:
\(\Delta x_{DB''}=0-2L_0=-2L_0\)
videre:
\(\Delta t_{DB''}=t_{B''}-0=t_{B''}\)
og
\(\Delta x_{DB''}''=\frac{L_0}{\gamma}\)
dette virker litt rart, men hvis vi tenker at denne avstanden er avstanden P m?ler mellom P2 og P1, som m? v?re den samme P m?ler mellom P3 og P2. N? noen som beveger seg m?ler alltid en kortere lengde enn en som st?r i ro. Dette kalles lengdekontraksjon. Lengdekontraksjon sier at
\(L'=\frac{1}{\gamma}L\Leftrightarrow L=\gamma L'\)
og det er dette som gj?r at vi f?r \(\Delta x_{DB''}''=\frac{L_0}{\gamma}\).
og til slutt
\(\Delta t_{DB''}''=\frac{L_0}{\gamma v}-0=\frac{L_0}{\gamma v}\)
N? skal vi bruke dette og tidromsintervallet til ? bestemme \(t_{B''}\):
\((\Delta s_{DB''})^2=(\Delta t_{DB''})^2-(\Delta x_{DB''})^2=t_{B''}^2-4L_0^2\)
\((\Delta s_{DB''}'')^2=(\Delta t_{DB''}'')^2-(\Delta x_{DB''}'')^2=\frac{L_0^2}{\gamma^2v^2}-\frac{L_0^2}{\gamma^2}=\frac{L_0^2}{\gamma^2}\frac{1-v^2}{v^2}\)
\(=\frac{L_0^2}{\gamma^2}\frac{1}{\gamma^2v^2}=\left(\frac{L_0}{\gamma^2v}\right)^2=\left(\frac{L_0}{v}(1-v^2)\right)^2=\left(\frac{L_0}{v}-L_0v\right)^2\)
Siden \((\Delta s_{DB''})^2=(\Delta s_{DB''}'')^2\) f?r vi at:
\(t_{B''}^2-4L_0^2=\left(\frac{L_0}{v}-L_0v\right)^2=\left(\frac{L_0}{v}\right)^2-2L_0^2+L_0^2v^2\)
og dermed
\(t_{B''}^2=\left(\frac{L_0}{v}\right)^2+2L_0^2+L_0^2v^2=\left(\frac{L_0}{v}+L_0v\right)^2\)
\(t_{B''}=\frac{L_0}{v}+L_0v\)
La oss se hva slags tall dette gir oss om vi setter inn for \(L_0\) og v:
\(t_{B''}=\frac{200ly}{0.99}+200ly*0.99\approx400yr\)
La oss oppsummere dette: f?r astronaut 1 hoppet fra den utg?ende heisen til den returnerende hadde det p? P1 g?tt 4 ?r, etter at han har hoppet over (vi kan tenke at dette tok bare noen f? sekunder) har det n? g?tt 400 ?r p? P1. Det betyr at hoppet hans, sett fra P1 tok 396 ?r! Dette er p? grunn av akselerasjonen vi snakket om tidligere. Det er dette som gj?r at vi ikke kan la astronautens referansesystem v?re laboratoriesystemet.
For de som syntes dette var forvirrende nok kan dere f? gi dere her, men for de av oss som er sultne p? mer tvillingparadoks er det bare ? hoppe videre til neste logg. Eller var det forrige? Hvem vet, kommer vel an p? hvilke referansesystem du befinner deg i ...
-NLO Gustav
Logg inn for ? kommentere