Logg #027 (Dato: ????)

N? skal vi fortsette fra forrige logg, hendelsene som foreg?r i denne loggen vil v?re ganske like de i forrige logg, s? det anbefales ? lese Logg #026 f?r du begynner p? denne. 

Denne gangen skal vi anta at vi vet litt mer om relativitet s? jeg skal begynne med ? introdusere noen veldig viktige prinsipper i spesiell relativitet (og relativitet for?vrig). I relativitet tar vi alltid utgangspunkt i at lysfarten i vakuum er lik i alle systemer. Dette heter at lysfarten er invariant. Det betyr at uansett hvilket referansesystem du m?ler farten til en lysstr?le i vil farten v?re den samme (hvilke konsekvenser dette f?r vil vi tidsnok se). Dette bringer meg inn p? noe annet som er veldig viktig i relativitet. Vi m? alltid definere hvor og n?r og hvordan noe skjer i forhold til et referansesystem. Dere vil, forh?pentligvis, f? mer oversikt over hva dette inneb?rer i l?pet av denne loggen. I relativitet er det vanlig ? regne med lysfarten \(c\) ikke som \(3\cdot10^8m/s\), men som 1. Dette er fordi man ellers m? skrive den s? ofte i utregningene, konsekvensen av dette blir at man skriver alle farter som en andel av \(c\) (for eksempel er \(240,000,000=0.8c=0.8\), vi skriver den alts? bare som 0.8). I tillegg skal vi begynne ? snakke om "eventer". Dette vil si noe som skjer i b?de tid og rom, alts? har et event A tidromkoordinater \((t,p)\) der \(p\) er posisjonen og har koordinater \(p=(x,y,z)\) (ofte regner vi p? ting som kun skjer i x-retning slik at det blir mindre greier ? holde styr p? og mye mindre regning).

Vi tenker oss at vi er i "deep space" det vil si langt unna all materie som kan ha en gravitasjonell effekt p? det som skjer her. Vi har to romskip med en avstand \(L'\) mellom seg, og en romstasjon som er p? samme sted som det venstre romskipet i begynnelsen. Vi skal definere to referansesystemer: et umerket referansesystem, det vil si et med romtidkoordinatene \((t,x)\), og et merket referansesystem med tidromkoordinater \((t',x')\) (vi leser \(t'\) som "t merket"). I det umerkede koordinatsystemet har romstasjonen null fart. Vi kan tenke at dette er referansesystemet til en som st?r p? romstasjonen og kikker ut av vinduet. For denne observat?ren i det umerkede referansesystemer beveger begge romskipene seg med en fart \(v\) (som er nesten lysfarten) mot venstre (alts? i mot negativ x i koordinatsystemet). Det venstre romskipet og romstasjonen starter p? samme sted i \(x=x'=0\) (det vil si x=0 i begge referansesystemene). Det merkede koordinatsystemet er imidlertid det systemet en observat?r i et av romskipene vil oppleve. Det betyr at i det merkede systemet st?r begge romskipene stille i en avstand \(L'\) fra hverandre. Dette m? ogs? bety at i det merkede systemet er det romstasjonen som beveger seg mot h?yre med en fart \(v\). Her er en figur av det hele:

Figur 1: Systemet vi ser p?. L' er avstanden mellom romskipene og v er farten romskipene beveger seg med i forhold til romstasjonen.

Da er vi klare for ? g? igang med tankeeksperimentet. Vi sier at tiden begynner n?r det venstre romskipet er p? samme stedet som romstasjonen (alts? \(x=x'=0\) som nevnt), det betyr at eksperimentet starter n?r \(t=t'=0\). I dette ?yeblikket sender det venstre romskipet ut en laserstr?le mot det h?yre romskipet. Dette kaller vi event A (alts? at romskipet sender ut str?len) det betyr at event A har tidromkoordinater \((t_A,x_A)=(t'_A,x'_A)=(0,0)\).

Figur 2: Event A: Det venstre romskipet sender ut en laserstr?le mot h?yre.

Deretter flyr denne laserstr?len gjennom rommet til den treffer et speil framp? det h?yre romskipet, som reflekterer den og sender den tilbake mot det venstre skipet. Denne refleksjonen kaller vi event B (med tidromkoordinater \((t'_B,x'_B)\) i det merkede systemet og \((t_B,x_B)\) i det umerkede. Vi skal bestemme dem n?rmere snart).

Figur 3: Event B: Her reflekteres laserstr?len av speilet foran p? det h?yre romskipet. Romstasjonen er litt n?rmer det h?yre romskipet siden romskipene har beveget seg mot venstre.

Deretter fortsetter str?len tilbake til det venstre skipet og blir reflektert en tredje gang. Dette er event D med tilsvarende tidromkoordinater som de andre.

Figur 4: Event D: Lyset har g?tt en hel runde og reflekteres av det venstre romskipet. 

Det siste eventet vi ser p? er n?r romstasjonen eksploderer. Dette skjer samtidig som event B, men vi vet ikke helt hvor. Vi kaller dette siste eventet C og gir det tilh?rende tidromkoordinater.

Figur 5: Event C: Romstasjonen eksploderer (ingen mennesker eller dyr ble skadet i dette tankeeksperimentet).

Det f?rste vi skal gj?re er ? bestemme hva tidromkoordinatene i det merkede systemet for eventene A, B, D og C skal v?re. Dette er ikke fordi vi skal regne p? dette n?, det er bare for ? deg, leseren v?r, et inntrykk av hvordan disse fungerer i tilfelle vi skal slumpe borti dem senere.

Vi vet allerede at \((t_A',x'_A)=(0,0)\). Vi vet at i det merkede systemet er det h?yre romskipet, der B skjer, \(L'\) unna det venstre skipet langs x-aksen. Dermed blir \(x_B'=L'\), s? er sp?rsm?let hvor lang tid det tar lyset ? bevege seg fra \(x'_A\) til \(x'_B\). Vei, fart, tid-trekanten sier at tid er lik avstand ganger fart, alts? avstanden \(L'\) ganger farten til lyset \(c\). Siden vi bruker \(c=1\) blir dermed tiden det tar fra A til B \(\Delta t_{AB}'=t_B'-t_A'=1\cdot L'-0=L'\). Med andre ord er tiden en avstand??? Dette er en konsekvens av at vi har fjernet enhetene som ellers ville hengt sammen med lysfarten (m/s). Dette er imidlertid en veldig vanlig m?te ? regne p? n?r man skal regne med relativistiske effekter. Okey, men dette betyr da at tidromkoordinatene til event B blir \((t'_B,x'_B)=(L',L')\). Da g?r vi til event D: for dette eventet vil x-koordinatet v?re null siden det venstre romskipet alltid er i \(x'=0\) i det merkede systemet. Tiden vil jo naturlig nok bli dobbelt s? stor som for event B siden lystr?len n? har g?tt begge veier. Alts? er tidromkoordinatene til D gitt ved \((t'_D,x'_D)=(2L',0)\). Siden vi vet at event B og C skjer samtidig i det merkede systemet m? \(t'_B=t_C'=L'\). I det merkede systemet beveger romstasjonen seg mot h?yre med en samme fart som romskipene beveger seg mot venstre i det umerkede systemet. Vi vet hvor romstasjonen startet i det merkede systemet (\(x'=0\)) og kan dermed finne ut hvor den er n?r den eksploderer. Vei, fart, tid-trekanten gir at avstand er gitt ved fart ganger tid, dermed f?r vi \(x'_C=v\cdot t_C'=vL'\). Da har event C tidromkoordinater \((t'_C,x'_C)=(L',vL')\). Slapp av, dette var den eneste matamatiske biten dere skal f? kikke p? i denne loggen.

Vi skal heller visualisere dette for oss selv. Vi skal begynne med ? se for oss hva som tar lengst tid: er det tiden det tar fra event A til event B eller tiden mellom event B og event D? Vi skal f?rst se p? det i romskipenes referansesystem: f?rst skal lyset bevege seg fra det venstre til det h?yre romskipet. I dette referansesystemet st?r begge romskipene stille s? det tar en gitt tid som vi kaller \(\Delta t_{AB}'\). Deretter reflekteres lyset ved det h?yre romskipet og skal tilbake til det venstre. Tiden dette tar kaller vi \(\Delta t_{BD}'\). Det vi vet er at lyset alltid beveger seg like fort og skal i begge tilfellene bevege seg like langt, dermed m? det ta like lang tid (\(\Delta t_{AB}'=\Delta t_{BD}'\)). N? skal vi pr?ve for romstasjonens referansesystem: i dette systemet beveger begge romskipene seg mot venstre. Det betyr at n?r lyset forlater det venstre skipet og beveger seg mot det h?yre, vil det h?yre romskipet komme lyset i m?te. N?r lyset skal den andre veien vil imidlertid det venstre romskipet pr?ve ? stikke av fra lysstr?len. Dermed blir avstanden lyset m? tilbakelegge fra det venstre til det h?yre mindre enn motsatt vei. Og siden lyset alltid beveger seg like fort m? dette bety at tiden mellom A og B er kortere enn tiden mellom B og D (\(\Delta t_{AB}<\Delta t_{BD}\)). Men det var jo akkurat det samme eksperimentet ... men avhengig av hvem det var som s? p?, en som sto i romskipet eller en som sto i romstasjonen, fikk vi forskjellig resultat? Velkommen til relativitet.

Hva om vi ser det for oss p? en litt mer jordn?r m?te: Se for deg at det kj?rer to biler med 50 km/t mot venstre langs en lang rett vei. I takluka p? begge bilene kikker det opp et par gubber. Den ene kaster en tennisball med en fart p? 80 km/t m?lt i bilen hans fra den venstre bilen til den h?yre. Idet ballen n?r den h?yre bilen sl?r gubben i denne bilen ballen tilbake med akkurat samme fart, 80 km/t, m?lt i forhold til bilen han sitter i. Den flyr da f?lgelig tilbake i den venstre bilen. Vi m? her tenke oss at det er en helt lufttom vei (ganske spesielt, men ok da). Ballen vil heller ikke falle nevneverdig i flukten fra bil til bil. For de som sitter i bilene er avstanden mellom bilene lik hele tiden og ballen beveger seg like fort hele tiden, dermed m? tiden den bruker fra den ene bilen til den andre v?re akkurat den samme begge veier. Hva med en observat?r som ser p? det hele fra veikanten? Vil han, som med romskipene, m?le at ballen bruker forskjellig tid fra den venstre bilen til den h?yre enn motsatt? Det blir vel akkurat det samme som for romskipene, blir det ikke. Nei, det gj?r det ikke av ¨¦n veldig enkel, men ofte oversett grunn. Tennisballer er ikke laget av lys. Hele den spesielle relativiteten baserer seg p? at lysfarten gjennom vakuum er konstant for enhver observat?r i et hvilke som helst referansesystem. Dette gjelder imidlertid ikke tennisballen. N?r gubben i den venstre bilen kaster tennisballen i 80 km/t mot h?yre m?lt fra der han sitter vil observat?ren i veikanten m?le at ballen beveger seg mot h?yre med bare 30 km/t (80 - 50) siden bilen ogs? beveger seg. N?r ballen blir sl?tt fra den h?yre bilen til den venstre vil gubben i bilen igjen m?le 80 km/t, mens typen i veikanten vil m?le at ballen g?r i hele 130 km/t (80 + 50). Dette er den store forskjellen p? lys og tennisballer (s? vet dere det).

Jaha ja, la oss g? tilbake til det relativistiske tankeeksperimentet v?rt i verdensrommet (de har v?rt s? snille og ventet p? oss, mens vi var p? landeveien). Da vet vi alts? at det tar forskjellig tid for lyset ? bevege seg rundt for forskjellige observat?rer. Hvis dere titter litt lengre opp s? st?r det at i romskipenes referansesystem skjedde even C og D samtidig. Alts? eksploderer romstasjonen samtidig som lyset reflekteres ved det h?yre romskipet og blir sendt tilbake til venstre. Hvordan vil dette se ut for noen i romstasjonens referansesystem? F?rst antar vi en observat?r vi kaller M som befinner seg midt imellom romstasjonen og det h?yre romskipet og beveger seg like fort som romskipet. Det betyr alts? at M er i romskipenes referansesystem og at for M skjer B og C samtidig. Alts? m? lyset fra event B og event C treffe/passere M samtidig. S? har det seg slik at hvis disse lysstr?lene er p? samme sted til samme tid i ett referansesystem m? de ogs? v?re det i alle andre referansesystem. Alts? m? lystr?lene passere M samtidig ogs? for en observat?r i romstasjonens system. Men for denne stasjonsobservat?ren vil jo M bevege seg mot event C og vekk fra event B. Dette betyr jo at lyset fra C har kortere reisevei til M og bruker derfor kortere tid p? reisen. For at str?lene likevel skal passere M samtidig m? event B rett og slett skje f?r C. Det er ingen annen m?te ? l?se problemet, s? slik m? det v?re. Alts? vil en observat?r i romstasjonens referansesystem se f?rst se at det venstre romskipet skyter ut laseren (event A), deretter vil laseren reflekteres av romskipet p? h?yre siden (event B) f?r romstasjonen eksploderer (event C), og til slutt vil laseren komme tilbake til det venstre romskipet og reflekteres enda en gang (event D). Alts? blir rekkef?lgen (A, B, C, D). For folka i romskipene vil imidlertid B og C skje samtidig, alts? at rekkef?lgen blir (A, B = C, D). And these are the wonders of relativity. Dere skal f? tenke litt p? dette n?, jeg sier meg ferdig for denne gang. Les gjerne gjennom det en gang til for ? sjekke om du forsto det.

- NLO Gustav