Det n?rmer seg! S? n?r, og likevel er det s? mye som fortsatt kan g? galt. For ? minimere sannsynligheten for at landingsmodulen skal krasje i Kessels overflate i en enorm ildkule skal vi gj?re noen beregninger og simuleringer f?rst. Det er det denne loggen skal handle om. Vi skal bruke de modellene vi lagde for atmosf?ren i forrige logg til ? finne ut av hvordan vi best skal klare ? lande p? Kessel.
Det f?rste vi skal finne ut av er hvor stor luftmotstand landingsmodulen v?r kommer til ? oppleve. Det vi da m? ta hensyn til er at atmosf?ren ikke st?r stille. Siden planeten roterer vil atmosf?ren "dras" med p? grunn av friksjon mot bakken. Denne effekten vil egentlig avta lengre opp i atmosf?ren, men vi kommer til ? anta at atmosf?ren roterer like fort (med lik vinkelfart) oppe i atmosf?ren som nede p? bakkeniv?. Det betyr at dersom planeten roterer med en vinkelfart:
\(\omega=\frac{2\pi}{P}\)
der \(\omega\) (les omega) er vinkelfarten og \(P\) er perioden (alts? tiden planeten bruker p? én rotasjon om sin egen akse, alts? ett d?gn). Denne st?rrelsen har enheten radianer per sekund.
Da m? atmosf?ren i en hvilken som helst avstand \(r\) fra planetens sentrum rotere med den samme vinkelfarten \(\omega\). For ? finne den faktiske banefarten til gassene i atmosf?ren ganger vi med radiusen \(r\):
\(W_\theta(r)=r\omega\)
der \(W_\theta(r)\) er den s?kalte tangensielle banefarten til atmosf?ren som funksjon av avstanden til planetens sentrum. Det vil si farten som er normal (90 grader) p? linjen fra planetens sentrum til landeren.
Dette er viktig ? vite siden det vil p?virke hvor mye luftmotstand landingsmodulen m?ter n?r den kommer inn i atmosf?ren. Landeren kommer nok ikke til ? komme inn radielt, alts? rett inn mot planeten, men heller i en vinkel. Hvis landeren kommer inn i en vinkel som gj?r at den har fart med atmosf?rens rotasjon vil den bevege seg saktere i forhold til luften enn om den kommer inn mot atmosf?rens rotasjon. Det er denne farten i forhold til luften, som vi kaller \(v_{drag}\), som bestemmer hvor stor luftmotstanden blir. Denne hastigheten kan skrives:
\(\vec{v_{drag}}=\vec{v}-\vec{W_\theta}\)
der \(\vec{v}\) er hastigheten til landeren i forhold til planeten.
Dette gjelder imidlertid bare om vi ser p? systemet i et referansesystem der planeten roterer i referansesystemet. Jeg velger for enkelhets skyld (kanskje?) ? se p? systemet fra et referansesystem som roterer sammen med planeten, det vil si at i mitt referansesystem st?r planeten helt stille. Og n?r planeten st?r helt stille betyr det at atmosf?ren ogs? st?r helt stille. Det betyr at jeg kun trenger ? bry meg om hvordan landeren beveger seg i forhold til planeten. Da blir:
\(\vec{v_{drag}}=\vec{v}\)
der \(\vec{v}\) n? er landerens hastighet i forhold til planeten, i det roterende referansesystemet.
Jeg tenker ogs? ? regne p? en litt annen m?te enn leserne mine nok er vant til. P? videreg?ende bruker man utelukkende det som kalles kartesiske koordinater, ogs? kjent som xy-koordinater. Jeg ?nsker imidlertid ? bruke noe som heter polarkoordinater. Disse er mye enklere ? bruke n?r man ser p? et sirkul?rt system (og en planet sett ovenfra er ganske s? sirkul?r). I stedet for verdier for x og y i forhold til et aksekors i origo bruker jeg koordinatene \(r\) og \(\theta\). \(r\) beskriver avstanden fra et sentralt punkt (som jeg tenker er sentrum av planeten), og \(\theta\) beskriver vinkelen fra en linje som kan bestemmes. Her er en tegning som forh?pentligvis vil gj?re det lettere ? se for seg:
.png)
Figur 1: Her ser vi at punktet P enten kan skrives p? kartesiske (xy-)koordinater som \(P=(x', y')\approx(7,4)\) eller p? polarkoordinater som \(P=(r,\theta)=(8,60^\circ)=(8,\frac{\pi}{3})\) der jeg har skrevet \(\theta\) b?de i grader og i radianer. Sentrum kalles en pol i stedet for origo.
Det betyr at posisjoner oppgis p? formen \(p=(r,\theta)\), hastigheter oppgis p? formen \(\vec{v}=(v_r,v_\theta)\) der \(v_r\) er hastigheten inn eller ut langs linjen \(r\), og \(v_\theta\) er den tangensielle hastigheten som er den komponenten som st?r normalt p? linjen \(r\). Dette gj?r det lettere ? regne ettersom for eksempel tyngdekraften alltid virker inn mot midten alts? i minus r-retning (r peker utover fra sentrum), s? den endrer i praksis aldri retning bare st?rrelse.
Da har vi egentlig alt vi trenger. Jeg skal ikke g? s? mye inn p? akkurat hvordan vi gj?r simuleringene, for det har dere h?rt om mange ganger allerede. Det jeg skal gj?re er ? diskutere litt rundt kreftene som er involvert i de forskjellige stadiene i landingen. Vi begynner med starten:
\(r>R+25000m\) (utenfor atmosf?ren):
Her er det kun tyngdekraften som virker p? landingsmodulen. Denne kraften er vi blitt godt kjent med i l?pet av Prosjektet, og den er fortsatt gitt ved:
\(\vec{F}_{G}=-G\frac{mM}{r^2}\hat{r}\)
der \(G\) er gravitasjonskonstanten, \(m\) er massen til landingsmodulen, \(M\) er massen til planeten, \(r\) er avstanden til planetens sentrum og \(\hat{r}\) er enhetsvektor i radiell retning.
Denne kraften virker, som vi kan se av uttrykket, alltid inn mot planetens sentrum. Det betyr at fra landeren blir utl?st fra sonden til den treffer atmosf?ren er det kun tyngden som akselererer landeren mot planeten. Alts? vil hastighetens radielle komponent (\(v_r\)) bli st?rre (men i negativ retning), mens den tangensielle komponenten (\(v_\theta\)) vil v?re konstant (hang du med p? den?).
\(r\leq R+25000\) og \(r>\) h?yden vi utl?ser fallskjermen:
N? virker tyngdekraften fortsatt (naturligvis). Den store forskjellen er at luftmotstanden vil begynne ? gj?re seg stadig mer gjeldende. N?r landeren f?rst "entrer" atmosf?ren vil tettheten til gassene rundt den v?re s? lav, at de ikke vil p?virke mye, men som vi s? i forrige logg vil tettheten ?ke raskt:
.png)
Figur 2: Modellen for tettheten vi utviklet i forrige logg. Her f?r vi bruk for den.
En forskjell mellom tyngdekraften og luftmotstanden er retningen disse virker i. Som nevnt, virker tyngdekraften alltid radielt. Luftmotstanden virker derimot, naturlig nok, i motsatt retning av hastigheten til landeren. Dette betyr at n?r landeren kommer inn i en vinkel, vil luftmotstanden bremse i motsatt retning. I radiell retning vil da tyngdekraften dra innover, mens luftmotstanden vil virke utover. I tangensiell retning er det kun luftmotstanden som virker mot farten. En annen forskjell mellom tyngdekraften og luftmotstanden er at tyngdekraften avhenger av avstanden fra planetens sentrum, mens luftmotstanden er avhengig av farten til landeren (desto st?rre fart, desto st?rre luftmotstand og motsatt). Dette kan vi se fra uttrykket vi bruker for luftmotstanden:
\(F_d=\frac{1}{2}\rho(r)C_dAv^2\)
der \(\rho(r)\) er tettheten i en gitt avstand fra planetens sentrum gitt fra modellen v?r. \(C_d\) er en s?kalt "drag-koeffisient" som sier noe om hvor lett landeren beveger seg gjennom luft. Vi antar at denne er lik 1. \(A\) er overflatearealet til landeren og \(v\) er som vanlig farten.
Dette betyr at ettersom luftmotstanden minsker farten til landeren vil ogs? luftmotstsanden bli lavere. Til slutt vil dermed den tangensielle farten til landeren bli 0. Dessuten vil den radielle farten g? mot det som kalles terminalfart (dette har dere kanskje h?rt om f?r), som er den farten der tyngdekraften og luftmotstanden utlikner hverandre. Denne hastigheten vil endre seg ettersom tettheten til gassene blir st?rre nedover i atmosf?ren, men ved overflaten regner vi ut at den er omtrent 8 meter per sekund, alts? 29 km/t.
\(r<\) h?yden vi utl?ser fallskjermen:
Idet fallskjermen ?pner blir uttrykket for luftmotstanden:
\(F_d=\frac{1}{2}\rho(r)C_d(A_{lander}+A_{parachute})v^2\)
der \(A_{lander}\) er overflatearealet til landingsmodulen og \(A_{parachute}\) er overflatearealet til fallskjermen.
Dermed blir arealet mye st?rre og kraften tilsvarende. Dermed blir terminalhastigheten mindre. Vi ?nsker at terminalhastigheten ved planetens overflate med fallskjerm skal v?re under tre meter per sekund (av den enkle grunn at dette vet vi at landeren v?r kan t?le), s? vi m? regne ut hvor stor fallskjermen v?r m? v?re. Da setter vi opp:
\(F_G=F_d\)
og finner at fallskjermen m? ha st?rrelse:
\(A_{parachute}=\frac{2GM*m}{9\rho_0R^2}-A_{lander}\approx38.3m^2\)
der \(\rho_0\) er tettheten ved overflaten og faktoren 9 under br?kstreken kommer av den sikre hastigheten 3 meter per sekund kvadrert.
Dette vil gi det arealet fallskjermen m? ha for ? gi oss en fart p? tre meter per sekund ved overflaten. For sikkerhetsskyld legger vi til ti kvadratmeter (s? vi havner p? cirka 50 kvadratmeter), for at farten skal bli litt lavere enn strengt tatt n?dvendig. Dette er alts? prosessen vi forventer ? se i l?pet av landingen. N? kj?rer vi simuleringen for noen forskjellige inngangsverdier (starth?yde: 40 km over overflaten, starthastighet: 500 meter per sekund i tangensiell retning) og kikker p? grafer:
.png)
Figur 3: Her har vi tegnet banen til landeren (bl? stripe) p? veien ned mot bakken (oransje linje) gjennom atmosf?ren. Den gr?nne linjen er grensen der atmosf?ren blir gjeldende.
Dette er selvf?lgelig bare én mulighet for hvordan det kan g?, men her ser vi jo akkurat det vi forventet (yes!). Her har jeg simulert at landeren i starten kun beveger seg i tangensiell retning i 500 meter per sekund. Denne tangensielle farten er konstant inntil den treffer atmosf?ren. Da g?r den raskt til null p? grunn av luftmotstanden. Hvis vi tar en kikk p? den radielle farten:
.png)
Figur 4: Her har jeg plottet den radielle farten som funksjon av tiden.
Vi ser at den radielle farten begynner som null f?r den akselererer raskt p? grunn av tyngdekraften, inntil landeren treffer atmosf?ren som fort bremser den ned. Deretter g?r farten mot terminalfarten, som vi kan se blir litt mindre ettersom den faller lengre ned inn i tettere gasser. Om vi zoomer inn p? de siste sekundene:
.png)
Figur 5: Samme plottet som i Figur 4, men zoomet inn p? de siste 45 sekundene av landingen.
Vi ser at fallskjermen utl?ses omtrent 35 sekunder f?r landeren treffer bakken. Da blir terminalfarten betraktelig lavere (omtrent 2.7 meter per sekund fra omtrent 8). Dette betyr at landingsmodulen seiler sakte og rolig ned f?r den lander mykt p? overflaten (ish. 3 sekundmeter ville fortsatt gjort vondt). Dette betyr alts? at vi ikke har behov for noen landingsraketter for ? bremse fallet ytterligere.
Vi vet ogs? at landingsmodulen v?r t?ler en maksimal kraft p? 250 000 Newton. For denne simuleringen er den maksimale kraften landeren m? t?le bare litt 0ver 20 600 N. For st?rre initialh?yde vil denne naturlig nok bli h?yere. Denne simuleringen er heller ikke helt naturtro siden atmosf?ren ved 40 kilometer over planetens overflate allerede har gjort seg gjeldende, mens vi har lagt inn i beregningene at den starter f?rst ved 25 kilometer. Dette er ting vi kan endre p?, og teste for n?r vi n?rmer oss den faktiske landingen og ser hva slags verdier vi har ? jobbe med. N? sier jeg takk for i dag, p? tide ? legge seg n?.
- NLO Gustav
Logg inn for ? kommentere