Logg #019 (Dato: 17.11.42)

Da var vi her. Nesten helt framme n?. Sonden g?r i skrivende stund i bane rundt planeten Kessel, den ankom for bare noen timer siden. For s? vidt kan du sp?rre hvordan jeg vet at den faktisk g?r i en stabil bane. Det er nemlig ikke helt ?penbart. For alt jeg vet, kan det jo hende at sonden ikke er helt fanget inn av tyngdefeltet. Eller kanskje enda verre; at den er kommet for langt inn og vil krasje inn i planeten. Det hadde jo v?rt ganske dumt, for ikke ? snakke om dyrt (budsjettet begynner ? slite ...), s? det ?nsker vi ? unng?. Heldigvis kan vi det. Vi m? bare vite hvordan banen, per n?, ser ut, s? vi kan gj?re korrigerende boosts om det trengs. Slike korreksjoner m? imidlertid gj?res relativt kort tid etter sonden har kommet i bane, s? vi kan ikke bare vente og se hvor sonden vil g?. Derfor skrev jeg for noen m?neder siden et dataprogram (hvem skulle trodd?!). Det er prosessen bak dette programmet denne loggen skal handle om.

Et av v?re f?rste bilder av Kessel fra bane!

Okey, da var det p?'an igjen med probleml?sning (begynner ? bli en gjenganger dette her ...). Noen som husker hva f?rste steget var? Dere som n? sa "identifisere problemet" har helt rett (dere andre m? ta dere sammen). Hva er s? problemet vi ?nsker ? l?se? Jo, sonden v?r (T.A.R.D.I.S) har en del m?leutstyr. P? dette punktet i romferden er vi s?pass n?r Kessel, at vi kan bruke en lokal radar til ? m?le avstanden fra og hastigheten i forhold til planeten. Det er alts? dette vi har som utgangspunkt for baneberegningene v?re. Fra tidligere vet vi at objekter som kun er p?virket av tyngdekraft g?r i ellipsebaner. Problemstillingen blir: vi skal gj?re en baneberegning for ? bestemme stabiliteten til sondens ellipsebane, ved hjelp av starthastighet og startposisjon i forhold til planeten.

Jeg kommer til ? bruke en del navn p? geometriske st?rrelser hos en ellipsebane, s? her har dere en figur av en ellipse som viser hva disse st?rrelsene representerer:

Figur 1: En ellipse med p?tegnede st?rrelser. \(a\) kalles "store halvakse", \(b\) kalles "lille halvakse". Brennpunktene er der \(m_1\)befinner seg, og samme punktet p? motsatt side av ellipsen. St?rrelsen \(ae\) (avstanden fra sentrum til det ene brennpunktet) kommer jeg til ? kalle \(c\). Aphelion er det punktet der sonden er lengst unna planeten, mens perihelion er det punktet der sonden er n?rmest planeten. \(\vec{r}\) er vektoren fra sentrum av planeten til sonden, og \(f\) - som jeg kommer til ? kalle \(\theta\) - er vinkelen mellom vektoren fra sentrum av planeten til perihelion og \(\vec{r}\).

I tillegg skal vi bruke utrykket "eksentrisitet" som er en st?rrelse representert ved bokstaven \(e\). \(e\) er et tall mellom null og en og beskriver hvor "flattrykt" ellipsen er. Det kan ogs? brukes om andre kjeglesnitt, men det skal jeg ikke diskutere n?. Figur 2 illustrerer hvordan eksentrisitet virker.

Figur 2: ?kende eksentrisitet gir en flatere ellipse. eksentrisitet lik null gir en sirkel. Image credit: https://planetplanet.net/2014/03/10/hd-80606-a-gas-giant-on-a-super-eccentric-orbit/

Vi ?nsker en s? sirkul?r bane som mulig. Med andre ord vil vi ha en eksentrisitet s? n?r null som vi klarer ? f? den.

Da var det tid for id¨¦myldring. Vi m? bestemme oss for en framgangsm?te, og vi kommer raskt fram til at vi kan angripe problemet p? to forskjellige m?ter. Sp?rsm?let er hvilken av dem som er best, og om de i det hele tatt vil f?re fram til et meningsfylt svar. F?rst pr?ver vi oss p? ? finne en analytisk l?sning. Hvis vi kan gj?re regningen p? papir f?rst vil det v?re mye lettere ? skrive et dataprogram som kan regne det ut. Det dukker imidlertid fort opp et problem. Vi har flere forskjellige m?ter ? uttrykke en ellipsebane p?. Dessverre inneholder alle disse m?tene en hel masse variabler som vi ikke kjenner til. For eksempel har vi et utrykk for en ellipse som ser slik ut:

\(r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}\)

Her regner vi ut avstanden \(r\) fra sentrum ved hjelp av: eksentrisiteten \(e\), som sier hvor "flattrykt" ellipsen er, store halvakse \(a\), som er st?rste avstand fra et brennpunkt til ellipsebuen (se Figur 1) og vinkelen \(\theta\). Med denne formelen kan du for enhver \(\theta\in[0,2\pi]\) finne en avstand og p? den m?ten tegne ellipsen. Problemet er bare at vi kjenner hverken \(e\) eller \(a\) og formelen blir dermed ubrukelig. Faktisk er konstanter som eksentrisiteten og halvaksene \(a\) og \(b\) noe vi trenger ? finne for ? kunne vite om banen v?r er stabil. Problemet med ukjente konstanter gjentar seg for alle de andre analytiske utrykkene vi finner. Vi ender derfor med ? g? for en numerisk l?sning. Med andre ord, ? la datamaskinen l?se ting for oss.

Fordelen med ? bruke en numerisk l?sning er at denne krever veldig lite i form av input. Ulempen er at det blir fort tunge beregninger som f?rer til trege dataprogram som kan komme til ? bruke mye tid p? utregningene. N?r det er sagt blir det mye enklere for oss ? bruke datamaskiner enn analytiske beregninger i dette tilfellet. Vi bruker i grunn akkurat samme strategi som vi gjorde da vi simulerte planetbanene. Vi starter med en initialposisjon og en initialhastighet, og s? ser vi hvordan hastigheten vil endre posisjonen i l?pet av et bittelite tidsintervall og hvordan gravitasjonen fra planeten vil endre hastigheten. I Logg #006 s? vi p? tolegemesystemet. Det er egentlig det vi gj?r n? ogs?, men siden sonden veier s? fryktelig lite i forhold til planeten, kan vi se bort fra den p?virkningen sonden har p? planetens bane. Dette kan vi gj?re fordi sonden veier 1100 kilo, mens planeten veier hele \(1.4\cdot10^{25}\) kilo. Da tenker vi at planeten "st?r stille" og at sonden beveger seg i forhold til den. Siden vi fortsatt er langt unna planeten trenger vi ikke ? tenke p? at atmosf?ren kan komme til ? p?virke sonden, derfor er det som tidligere bare tyngdekraften fra planeten (n? er vi s? n?r planeten at stjernas tyngdekraft ikke lenger har noen effekt) som p?virker sondens bevegelser. Atter en gang bruker vi Newtons andre lov og finner uttrykket for akselerasjonen til sonden:

\(\vec{a}=-G\frac{Mm}{r^2}\hat{u}_r\) (der akselerasjonsvektoren \(\vec{a}\) ikke m? forveksles med store halvakse \(a\). Det ble jaggu litt forvirrende dette her ...)

der \(G\) er den velkjente gravitasjonskonstanten, \(M\) er planetmassen, \(m\) er massen til sonden, \(r\) er avstanden fra sonden til sentrum av planeten og \(\hat{u}_r\) er retningen fra sentrum av planeten mot sonden. Deretter lar vi datamaskinen regne seg framover ett steg av gangen i to hundredeler av et ?r (litt over sju dager). Da har vi funnet posisjonen til sonden gjennom dette tidsrommet. N?r vi tegner det, f?r vi:

       Figur 3: Simulering av sondebanen over 0.02 ?r

Figur 3 viser en fin og stabil sondebane ... eller? Hvordan vet vi egentlig at den er stabil? For ? v?re helt sikre, m? vi vite at sonden n? har g?tt flere runder rundt planeten. Siden den bl? linjen er s? tynn, vet vi at sonden enten kun har g?tt ¨¦n runde rundt planeten eller at den har g?tt flere runder p? akkurat samme sted. Hvis det siste er tilfelle, er vi sikre p? at vi har en stabil bane. Dette kan vi vite om vi f?rst finner perioden, alts? hvor lang tid vi bruker p? en runde, og s? deler 0.02 ?r p? denne perioden. I tillegg ?nsker vi uansett ? vite litt mer om banen v?r: Hvor vi er n?r vi er n?rmest planeten (perihelion), hvor vi er n?r vi er lengst unna (aphelion), lille og store halvakse (hhv. \(a\) og \(b\)) og eksentrisiteten (\(e\)). Heldigvis er det ikke s? vanskelig ? oppdrive likninger for disse st?rrelsene:

\(b = \sqrt{a^2-c^2}\), der \(c=a-r_{min}\)

\(e = \sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^2}\)

\(P = \sqrt{\frac{a^3}{M+m}}\)

Da kan vi se at hvis vi f?rst finner \(a\) og den minste avstanden v?r fra planeten \(r_{min}\), kan vi bestemme resten av banekonstantene. Siden \(a\) er halvparten av lengden mellom perihelion og aphelion, er det egentlig bare disse to punktene og den korteste avstanden (avstanden fra planeten til perihelion) vi trenger. Det ber vi bare datamaskinen lese ut for oss, f?r vi ber den bruke disse til ? regne ut de andre konstantene ogs?. Da finner vi ut at perioden er p? ca. 0.018 ?r. Dette er veldig n?rme 0.02 ?r, s? vi bestemmer oss for ? pr?ve ? la sonden g? noen runder til i simuleringen f?r vi stoler p? at banen er stabil. Vi kj?rer simuleringen p? nytt og tegner resultatet:

        Figur 4: Simulering av sondebanen over 0.06 ?r.

Vi kan se at den bl? sondebanen er litt tykkere enn i Figur 3. Det er fordi det er sm? variasjoner i banen hver gang den g?r en runde.

Her kj?rte vi simuleringen for tre ganger s? lang tid, og sonden har derfor gjort mer enn tre runder. Vi ser at banen nesten ikke har endret seg i det hele tatt, noe som forteller oss at banen virker stabil. Dette er gode nyheter! Det betyr at vi slipper ? bruke drivstoff og tid p? ? justere banen v?r.

Vi kan n? g? rett i gang med ? forberede landingen. Det er disse forberedelsene vi skal snakke om i de neste loggene.

- NLO Gustav