Svarte legemer
Det er mange viktige faktorer vi m? se p? n?r vi skal finne en passende planet, men kanskje det viktigste er temperaturen. Er planeten nesten inntil stjernen og er s? varm at alt vi sender ned til overflaten vil bare smelte? En annen planet kan sikkert v?re s? kald at det ikke blir noe gj?re der, for ? ikke snakke om hvor vanskelig det ville v?re ? fange opp nok energi til satellitten/proben v?r.
Det finnes nok mange m?ter ? estimere temperaturen for en planet, men vi skal gj?re det litt enklere for oss og sier at stjernen og alle planetene i stjernesystemet er svarte legemer. Et svart legeme er et legeme som ikke reflekterer noe lys eller elektromagnetisk str?ling, den bare absorberer alt som treffer den og ingenting g?r gjennom. Legemet kan likevel gi ut en str?ling i form av termisk str?ling, alts? elektromagnetisk str?ling som kommer av temperaturen p? legemet. Det er takket v?re denne str?lingen at vi kan finne temperaturen til planetene, alts? overflatetemperaturen.
Stefan-Boltzmann lov og luminositet
Stefan-boltzmann loven gir oss et forhold mellom overflatetemperaturen og overflatefluksen til et svart legeme. Vi skriver uttrykket slik:
\(j = \sigma T^4\)
der $j$ er fluksen p? overflaten til legemet, $T$ er temperaturen p? overflaten til legemet og $\sigma$ er en konstant kalt Stefan-Boltzmann konstanten.
bilde, stefan boltzmann, luminositet grafet med temperatur
I denne grafen ser vi dette forholdet mellom temperaturen og luminositeten til svarte legemer gitt ved Stefan-Boltzmann. Luminositet er den totale utstr?lingen til et legemet. Overflatefluksen er jo str?mningen av energi over et omr?de p? overflaten av legemet – luminositeten er da fluksen over hele legemet lagt sammen, alts? energi per tid [Watt].
Her er en liten illustrasjon av hvordan denne fluksen vi snakker om:
Her har vi alts? fluksen som g?r ut fra et gitt omr?de p? sf?ren. Fluks er energien som g?r gjennom et gitt omr?de per tid.
$F = \frac{E}{dt \, dA}= \frac{P}{dA}$, der $P$ er effekt.
Luminositeten er da fluksen over hele legemet, alts? $dA$ m? v?re overflatearealet av legemet.
$L = j \cdot A$,
der $L$ er luminositet, $j$ er overflatefluksen og $A$ er overflatearealet.
(Bemerk forresten at overflatefluksen er noe annet enn bare fluksen siden fluksen vil avhenge av hvor langt unna vi er fra kilden n?r selve arealet i seg selv er konstant. F?r du leser videre, s?rg for at du forst?r dette!)
Overflatearealet til en sf?re er $A = 4 \pi R^2$, der $R$ er radiusen. Alts? luminositeten til stjernen v?r kan vi finne ved ? bare sette inn siden vi allerede har overflatetemperaturen.
$L = j \cdot A = \sigma T_*^4 \cdot 4 \pi R_*^4 \approx 3,87 \cdot 10^{27} W$,
der $T_*, R_*$ er overflatetemperaturen og radiusen til stjernen.
Alts? v?r nye stjerne utstr?ler over ti ganger mer enn jordas sol!
Denne totale utstr?lingen er fin og flott, men hva trenger vi det til?
Finne temperaturen til planetene
Som sagt tidligere, s? antar vi at planetene i stjernesystemet er svarte legemer og har stabil temperatur. Hva betyr dette? Vel siden planetene mottar noe energi fra stjernen og absorberer dette, slikt et svart legeme gj?r, betyr det at den m? ogs? sende ut noe av sin egen energi for at temperaturen skal v?re stabil. Med andre ord, den totale energien som kommer til planeten m? v?re lik den totale energien som forlater planeten, alts? energien som planeten radierer i form av termisk str?ling. Denne energien planetene radierer er dermed denne overflatefluksen vi trenger for ? finne temperaturen med Stefan-Boltzmann uttrykket. Og siden denne skal v?re lik energien planeten mottar fra stjernen betyr det at hvis vi kan finne hvor mye av utstr?lingen fra stjernen treffer planeten s? vil vi klare ? finne temperaturen til planeten.
Det er her luminositeten kommer inn, kanskje du allerede klarer ? se det. For ? finne str?lingen som treffer planeten s? tenker vi at vi gir stjernen v?r en ny modell av overflatefluksen hvor denne “overflaten” egentlig bare er et virtuelt kuleskall som er akkurat s? stort rundt stjernen at skallet skj?rer rett gjennom planeten. Det betyr at hvis vi finner denne nye overflatefluksen ut fra luminositeten (fordi luminositeten vil fortsatt v?re den samme, ta en ekstra titt p? hvordan vi fant luminositeten om det er vanskelig ? forst?!) s? kan vi bare gange med arealet til planeten for ? finne den totale energien som treffer planeten.
Vi kan tenke p? det en annen m?te; siden luminositeten er den totale energien ut av kuleskallet, s? vil energien som treffer planeten v?re luminositeten til stjernen ganget med forholdet av overflatearealet til kuleskallet $A_{L_*}$ og arealet vi ser p? planeten $A_p$.
$P_{inn} = L_* \frac{A_p}{A_{L_*}}$,
der $L_*$ er luminositeten fra stjernen og $P_{inn}$ er energien som planeten mottar per tid.
Her blir dermed
$A_{L_*}=4 \pi r^2, \quad A_p = 2 \pi R_p$,
der $A_{L_*}$ er arealet til kuleskallet, $A_p$ er det synlige arealet til planeten (som blir bare et sirkelareal), $r$ er avstanden mellom stjernen og planeten og $R_p$ er radiusen til planeten.
N? som vi har effekten ($P_{inn}$) som treffer planeten s? m? vi gj?re dette om til overflatefluks $j$ slik at vi kan bruke det i Stefan-Boltzmann uttrykket
$j = \sigma T^4 \quad => \quad T = (\frac{j}{\sigma})^{1/4}$
Overflatefluksen finner vi n? ganske enkelt ved ? ta energien vi vet str?mmer ut, alts? $P_{ut}=P_{inn}$, og deler den over hele overflaten p? planeten. Alts?
$j_p = \frac{P_{ut}}{4 \pi R_p^2}$, der $j_p$ er overflatefluksen til planeten.
Setter vi inn i Stefan-Boltzmann f?r vi da
$ T_p = (\frac{\frac{P_{ut}}{4 \pi R_p^2}}{\sigma})^{1/4} = (\frac{ P_{ut}}{4 \pi R_p^2 \sigma })^{1/4} = (\frac{L_* \frac{A_p}{A_{L_*}}}{4 \pi R_p^2 \sigma})^{1/4} $
$ = (\frac{L_* \frac{2 \pi R_p}{4 \pi r^2}}{4 \pi R_p^2 \sigma })^{1/4} = (\frac{L_* \frac{ R_p}{2 r^2}}{4 \pi R_p^2 \sigma})^{1/4} = (L_* \frac{ R_p}{4 \pi R_p^2 \sigma 2 r^2})^{1/4} $
$ = (\frac{ L_*}{8 \pi R_p \sigma r^2})^{1/4} $
Nei huff det tror jeg var nok algebra for idag. Men da har vi hvertfall funnet en formel for temperaturen til planetene $T_p$ ved stjernens luminositet $L_*$, avstanden til planetene $r$ og radiusen til planetene $R_p$.
Da er det bare ? regne ut for hver planet i stjernesystemet v?rt og se hva vi f?r.
Planeten n?rmest stjernen har en temperatur p? 220°C, neste planet fra stjernen er hjemplaneten v?r og den har hele 50°C. Den neste planeten er den som er n?rmest v?r hjemplanet og den har en temperatur p? 5°C, noe som h?res ganske bra ut! Resten av planetene blir bare kaldere og kaldere og den som er lengst borte er kaldere enn -150°C!
Aktuelle planeter
Av alle disse planeten s? er det bare to vi tenker er mulige m?l; den tredje planeten fra stjernen alts? den med 5°C i temperatur, og den ett hakk lengre bort med temperatur p? -28°C. Disse sier vi er mulige m?l fordi de har temperaturer som virker overkommelige, spesielt n?r vi tenker p? at vi har gjort en del antagelser for ? finne disse temperaturene og de vil dermed v?re estimater som vi m? ta hensyn til ikke alltid vil v?re helt n?yaktige. Vi ser likevel hvilken planet vi synes ser finest ut, det er nemlig den n?rmeste oss alts? den tredje planeten fra stjernen. S? vi setter den som m?l for n?.
St?rrelsen p? solcellepaneler
Vi vet n? hvilken planet vi skal til, og vi tenker at vi burde allerede tenke p? hva vi skal ha med bort dit. Vi tenker jo ? lande en liten SNASA(SecretNASA) duppeditt og denne har vi funnet ut trenger ca 40W for ? fungere slik den skal. Dessverre s? har vi ikke f?tt med oss de absolutt beste av de beste SNASA solpanelene s? de vi har inne har en effektivitet p? 12%. Dvs, de klarer bare ? gj?re om 12% av energien de mottar til str?m. Hvordan skal vi klare ? finne ut av st?rrelsen p? disse solcellepanelene med dette? Du er kanskje blitt litt mett p? “fluks” og kuleskall, for ikke ? glemme all algebraen? Ha! Her kommer desserten!
Husker du den illustrasjonen her?
Vi kan tenke p? solpanelet som $dA$ p? illustrasjonen, bare at vi gj?r antagelsen at all den elektromagnetiske str?lingen treffer solpanelet normalt p?, alts? solpanelet er rettet rett mot stjernen og aldri “skr?tt p?” slik at vi alltid tar imot s? mye vi kan. Vi glemmer ogs? dag/natt sykluser siden dette er allerede tatt i beregningen inni det “40W”-tallet vi nevnte tidligere som duppeditten v?r trenger. Vi kan alts? starte litt sm?tt:
$P_d = F_p \cdot A, \quad \text{der} \quad P_d=\frac{40W}{0.12}$
$A = \frac{P_d}{F_p}$
der $P_d$($P_{\text{duppeditt}}$) er minste effekten vi trenger panelene skal motta, og $F_p$ er fluksen fra stjernen p? et “flatt” omr?de p? planeten.
Alt vi mangler da er bare $F_p$, og det har vi nesten funnet allerede. Vi fant nemlig den totale fluksen vi f?r fra stjernen p? planeten, alts? effekten $P_{inn}$. Men dette var egentlig bare effekten hele planeten mottar som produkt av det synlige arealet(alts? det arealet som str?lingen kan treffe; et sirkelareal) og “overflatefluksen” til dette virtuelle kuleskallet vi lagde. Ta en til skikk p? illustrasjonen vi hadde tidligere med dette st?rre kuleskallet vi satte rundt stjernen som spiddet planeten mitt p?. Denne “overflatefluksen” er nemlig det samme som $F_p$. Vi har dermed alt vi trenger og kan bare regne det ut siden vi har allerede funnet og l?st likningstykket for $A$.
En liten morsom greie kanskje ikke alle vet
Vi f?r et minste areal p? omtrent $0.244m^2$. S?nne kvadratmetere kan v?re en utfordring ? illustrere i hodet. Dette omr?det tilsvarer omtrent det samme omr?de du f?r om du setter to A4 ark ved siden av hverandre til et A3 ark, ogs? setter sammen to nye A4 ark og legger det rett over igjen slik at du har to A3 ark som blir ett A2 ark. Da har du solpanelet foran deg. Det er ikke st?rre enn som s?. Legg forresten merke til at du nettopp satte sammen A4 ark til omtrent en kvart kvadratmeter. Hva skjer hvis du gj?r det samme igjen? Legg til et til A2 ark ogs? har du et A1 ark, alts? en halv kvadratmeter. Doble omr?det igjen og du har et A0 ark, alts? en hel kvadratmeter! Det er nemlig slik vi har definert dette A5/A4/A3/osv systemet! S? hvis du noen gang skulle trenge ? vite hvor stort en del av en kvadratmeter er s? vet du at et A4 ark er 1/16 deler av en hel kvadratmeter.
Logg inn for ? kommentere