Andre stjernesystemer

Dopplereffekten av andre stjerners radielle fart
Vi kan tydelig se sterke lysstr?linger fra andre stjerner der ute, men hvordan ser egentlig disse str?lingene ut hvis vi pr?ver ? fange opp alt av dette lyset som kommer derfra? Vi kan se hvordan spektrallinjene i lyset fra stjernen endrer seg n?r stjernens fart i forhold til oss endrer seg. Vi kan dermed se den radielle farten til andre stjerner, og hvis vi ser p? et stjernesystem der banen til stjernen er parallelt med v?r sysnsvinkel vil vi da klare ? finne ut ganske mye om banen til den stjernen i systemet sitt.

Vi fant en litt st?vete bok her med denne tegningen, den syntes vi forklarte hva vi ser etter ganske bra. S? la oss sette opp en sensor, rette den opp mot en passende stjerne der ute som er normalt p? v?r synsvinkel, og la den ta opp signalene over noen ?r.

Hm jaha nettopp ja. Det var ikke noe mer spennende enn som s? nei. Men hva var det vi egentlig forventet? Jo det var vel egentlig de sm? endringene i lyset som kom fra stjernen mens den beveger seg i en bane. Kan vi kanskje se tydeligere p? endringene i hastighet ved ? fjerne alt den radielle farten som kommer av den konstante farten til hele stjernesystemet? Siden den er konstant m? vi klare ? oppn? dette ved ? fjerne den gjennomsnittlige farten mellom alle verdiene vi har m?lt, fra nettopp alle verdiene vi har m?lt.

S?nn ja, n? snakker vi. N? ligner det litt mer p? det bildet vi fant i den st?vete boken. Den var ikke like pen da. Det ser ut som at vi f?r inn ganske mye st?y. Vi m? nok gj?re noe med det. Vi ser at dette likner en cosinus kurve, vi pr?ver ? lage en passende modell.

Modellere signal
S? vi starter med en cosinusfunksjon:
\(v_r(t) = \cos(t)\)
Vi ser med en gang at vi kan ikke bare ha $t$ inni cosinus, vi m? dele den i et forhold som gir mening. Siden vi ser p? en planetbane gir det mening at radianene vi gir til cosinus er med hensyn p? stjernebanen. Vi m? da ta cosinus av $t$ i forhold til en oml?pstid $P$ med radianene rundt banen, alts? med $2\pi$.
$v_r(t) = \cos(2\pi \frac{t}{P})$
Men dette vil bare stemme n?r den st?rste radielle stjernefarten er n?r $\cos=1$, alts? ved $t=0$. S? vi m? legge til et offsett for ? kompensere for dette.
$v_r(t) = \cos(2 \pi \frac{t - t_0}{P})$
der $t_0$ er tiden til f?rste b?lgetopp.
N? begynner vi ? ha en god modell, men vi ser at styrken p? modellen er alt for sterk. Vi m? ha at b?lgetoppene i modellen, alts? n?r $\cos=1$ lik b?lge b?lgetoppen i observasjonene. Vi ender da opp med:
$v_r(t) = v_{\text{topp}} \cos(2 \pi \frac{t - t_0}{P})$
der $v{\text{topp}}$ er den antatte b?lgetoppen.
N? sitter vi bare igjen med ? finne passende verdier til variablene $v_{\text{topp}}, t_0, P$. Dette er ikke s? veldig vanskelig da vi kan egentlig visuelt se passende verdier utfra observasjonene, men vi har faktisk en ganske ¡°fin¡± matematisk m?te ? gj?re det p?.

Least Squares
Den heter Least Squares og m?ten den fungerer p? er ganske enkelt ? pr?ve alle slags fornuftige verdier av variablene og sammenlikne resultatene for alle $t$ med de verdiene vi faktisk observerte.
$\Delta = \sum_i (v_o(t_i) - v_{\text{topp}} \cos(2 \pi \frac{t_i - t_0}{P}))^2$
der $v_i$ er de observerte verdiene og $t_i$ er den henholdsvise tiden.
Dette uttrykket kan vi f? datamaskinene v?res til ? regne ut mange hundre ganger for flere verdier av hver av variablene, fors? huker ut variablene som ga det minste resultatet, alts? som hadde den minste differansen(opph?yd i andre) fra de observerte verdiene.

Finne fornuftige variabler ? teste
Vi kan la dataen teste alle disse parametrene for en rekkevidde med fornuftige verdier, alts? vi trenger ? finne en rekkevidde vi tror de beste verdiene.
Denne illustrasjonen viser hva de parametrene egentlig er og dermed hvordan vi finner fornuftige rekkevidder fra observasjonene.

Vi finner noen passende rekkevidder for parametrene og lar datamaskinen komme fram til de som passer best til observasjonene.
Vi kom da fram til en b?lgetopp $v_{\text{topp}}$ p? s?vidt over tre mikro AU/yrs, en oml?pstid $P$ p? nesten 0.4 ?r og et tidsoffsett $t_0$ p? ca. 0.35 ?r til f?rste b?lgetopp.
Vi kan plotte modellen over observasjonene og se om det vi har funnet virker fornuftig.

Dette ser ganske bra ut. Hva kan vi egentlig f? ut av dette, da?

Finne planetmasse
Ok, vi vil finne ut litt om dette andre stjernesystemet, gjerne f.eks. massen til en planet som trekker stjernen rundt. Vi f?r gj?re noen antagelser:

• Vi kjenner til stjernens masse. V?rt SNASA teknologi ser ut til ? funnet ut massen til stjernen uten at vi helt forst?r hvordan.
• Bare ¨¦n planet trekker p? stjernen. Vi tenker det samme som tidligere at for ? kunne modellere enklere s? ?nsker vi ? bare ta hensyn til ett legeme som trekker p? stjernen.
• Stjernen beveger seg i en sirkul?r bane. Denne andre planeten som trekker kan egentlig v?re i en elliptisk bane slik at stjernens bane ogs? er elliptisk, men da blir det vanskelig ? modellere banen riktig siden vi bare har den radielle hastigheten i banen.

Antagelser gj?r alt enklere.

Vi kan klare herfra ? finne ganske mye informasjon om hvordan banene er, men s? langt er vi bare ute etter massen til planeten. Hvordan? Vel det er ikke s? vanskelig, egentlig, det er bare en haug med kjedelig algebra og geometri. Vi stjeler heller det ferdige uttrykket fra den st?vete boken:
$m_p \sin i = \frac{m_{*}^{2/3}v_{*} P^{1/3}}{(2 \pi G)^{1/3}}$
Denne s? litt mystisk ut. La oss minne oss om variablene. $m_{*}$ er massen til stjernen, $G$ er gravitasjonskonstanten, $P$ er perioden alts? tiden legemene bruker rundt massesenteret og $v_{*}$ er farten til stjernen. Men har vi virkelig farten til stjernen? Vi har funnet ut den radielle hastigheten til stjernen men det er jo ikke det samme som farten til stjernen rundt massesenteret. Men siden vi har den radielle hastigheten betyr det at den h?yeste radielle hastigheten, alts? n?r v?r synsvektor er parallell med stjernens hastighetsvektor, s? m? farten vi m?ler v?re stjernens fart rundt massesenteret.
N? har det v?rt i lufta ganske lenge, og vi har s? vidt snakket om det tidligere, men hva er den $i$-variabelen i uttrykket vi ser p? venstre side?

Inklinasjon
Det er en ting som er nesten umulig ? vite om et stjernesystem, og det er inklinasjonen. Inklinasjonen forteller oss vinkelen mellom synsretningen til en observat?r og normalvektoren til baneplanet til et stjernesystem.

Dette betyr at siden vi egentlig ikke kan si helt sikkert om vi har en vinkelrett inklinasjon, s? kan vi ikke finne en helt sikker verdi p? massen til planeten. Men vi kan hvertfall finne den minste mulige massen p? planeten hvis vi antar at $i=90$. Vi f?r da
$m_p^{min} = \frac{m_{*}^{2/3}v_{*} P^{1/3}}{(2 \pi G)^{1/3}}$
Vi kan sette inn for variablene:
$m_p^{min} = \frac{(1.0580589)^{2/3}(3.0408 * 10^{-6}) (0.3724)^{1/3}}{(2 \pi (4 \pi^2))^{1/3}} = 3.61536 \cdot 10^(-7)$, som er ca. en ?ttendedel av jordas masse.

Da har vi minste masse for planeten i stjernesystemet. Er det noe annet vi kan se fra stjernesystemet?

Stjerneform?rkelser
De aller fleste stjernesystemene man ser p? vil ha en inklinasjon som er for liten til ? se noen form?rkelser, men for de systemene med en inklinasjon veldig n?rme $90^\circ$ s? vil man se et dypp i lys-fluksen fra sola n?r en planet passerer foran slik som vist p? figur 4 og 5. Mens planeten beveger seg inn foran stjerna vil man se ett gradvis ?kende dypp i fluksen. Mens hele planeten er foran stjerna er fluksen konstant fordi arealet planeten dekker er konstant. S? n?r planeten forlater stjernedisken g?r fluksen gradvis tilbake til normalt. N?r man oppdager en stjerne med et periodisk dypp i fluks, s? er det veldig flott. Fordi da vet man at inklinasjonen er ca. $90^\circ$ og dermed at minimums massen til planeten man finner ved ? se p? radiell farten til stjerna, ikke kan v?re s? langt unna den faktiske massen til planeten. I tillegg, om vi vet tidsintervallet mellom A og B i figurene 4 og 5, og vi vet farten til planeten med hensyn p? sola, s? kan vi finne radiusen til planeten.