N?r man skal regne p? planetbaner s? er det en person man (nesten) kan stole p? og det er Johannes Kepler. Han var ikke politiker men han kom likevell p? begynnelsen av 1600-tallet frem til tre lover som fortsatt er relevante den dag idag. De g?r som f?lger:
1. Planetbaner er ellipser med sola i ett av brennpunktene.
Dette er egentlig ikke hele sannheten ettersom det kun gjelder planeter som er fanget i gravitasjonen til en stjerne (Det er ogs? en annen grunn til at dette ikke er helt riktig, men det kommer vi tilbake til i et senere innlegg). Dersom planeter har lik eller st?rre kinetisk energi enn potensiell, s? vil de ikke ende opp i en ellipsebane, men bare sveipe innom en tur i en parabel- eller hyperbelbane. Det er derfor mer riktig ? si at planeter f?lger kjeglesnitt baner ettersom det inkluderer nettop disse tre. Den generelle funksjonen for en planetbane kan dermed skrives som:
\(r(f)=\frac{p}{1+e\cos{f}}\)
hvor $p=\frac{h^2}{M}$, $e=\frac{Ah^2}{M}$ og $f$ er vinkelen fra perihelionen (det stedet i banen hvor planeten er n?rmest stjerna). Som vist i figur 2, er det verdien til $e$ som bestemmer om banen er en ellipse, parabel eller hyperbel. $e=0$ gir en sirkel, $0<e<1$ gir en ellipse, $e=1$ gir en parabel og $e>1$ gir en hyperbel.
2. En linje mellom en planet og sola vil sveipe over det samme arealet for et gitt tidsintervall.
Denne regelen forteller oss at en planet i bane vil bevege seg raskere n?rmere stjerna, og tregere n?r den er lenger unna. P? figur 3 kan du se en illustrasjon av hvordan planeten utspenner arealet. Her er $A_1$ og $A_2$ like.
3. Forholdet mellom oml?pstiden i annen potens og middelavstanden til sola i tredje potens er lik for alle planeter.
Dette kan utrykkes matematisk ved $T^2=ka^3$ hvor $T$ er oml?pstiden, $a$ er den store halvaksen som vist i figur 1, og $k$ er en skalar som er konstant for hvert stjernesystem. Newton utledet senere en mer omfattende verson av likningen: $T^2=\frac{4\pi a^3}{G(M+m)}$.
Keplers lover er veldig fine. Men de sier oss ikke hvor en planet er til en bestemt tid. Dersom vi skal klare ? navigere oss rundt i stjernesystemet, trenger vi ? vite, ikke bare hvor planetene er, men ogs? n?r de er. En m?te ? finne posisjon som funksjon av tid, er ? l?se differensiallikningen:
$\ddot{\vec{r}}(t)=-G\frac{M}{{|\vec{r}|}^3}\vec{r}(t)$
Her brukes prikk-notasjon for ? beskrive den tidsderiverte, $\ddot{\vec{r}}(t)$ er dermed den dobbel tidsderiverte av $\vec{r}(t)$ ogs? kjent som akselerasjon. Denne differensiallikningen finner man ved ? dele Newtons gravitasjonslov p? massen til planeten. For ? gj?re det enkelt skal vi ikke l?se den analytisk (det er sykt stress). S? da er det bare ? finne fram favoritt-pisken og f? PC’en til ? l?se differensiallikningen for oss.
Logg inn for ? kommentere