Vi har satt sammen noen ting vi fant liggende og har en satellitt p? rundt 1.1 tonn som vi m? f? opp. Vi er ikke helt sikre p? hvilket utstyr som blir med p? satellitten, men det f?r vi finne ut av n?r vi har kommet opp. Vi tenker at for ? f? satellitten opp s? trenger vi en stor rakettmotor med masse drivstoff nok til at vi kan komme oss opp og forbli oppe. Det inneb?rer at vi m? finne ut hvordan vi kan “l?fte” satellitten oppover, finne ut hvordan vi kan forlate denne planeten slik at satellitten ikke faller tilbake ned igjen, hvor mye drivstoff og hvor stor rakettmotor vi trenger og hva v?r siste posisjon er s? vi har et bedre utgangspunkt n?r vi skal videre.
Hvordan lager man en rakettmotor?
Vi trenger ? f? denne satelitten opp. Newtons tredje lov forteller oss at vi kan oppn? en slik effekt ved ? dytte noe i motsatt retning. Vi tenker at hvis vi kan pr?ve ? kontinuerlig skyte ut en eller annen substans under raketten s? kan vi oppn? denne effekten. Vi h?rer at rakettfolk bruker spesifikke gasser og v?sker som varmes opp i et trykkammer slik at disse forskjellige stoffene g?r sammen og danner noe nytt, i den prosessen ogs? gir fra seg store mengder energi som igjen holder trykket og temperaturen oppe i kammeret. Dette h?res bra ut. Vi tenker ? pr?ve dette der vi f?r produsert veldig varm hydrogengass for s? slipper dette l?s under raketten med dens eksplosive energi. Vi har funnet ut dette betyr hydrogengassen vil ha en temperatur p? tre tusen kelvin.
For ? slippe ? sl?se med rakketter og drivstoff, noe vi har begrenset med, s? kommer vi til ? teste oppskytninger ved hjelp av simulering for ? finne et godt estimat av hvor stor motor og hvor mye drivstoff vi trenger. Men ? simulere en hel motor er ikke realistisk selv for SNASA, s? for ? gj?re beregningene lettere simulerer vi en liten del av motoren, som for eksempel den vist i r?dt p? figur1, og ganger opp resultatene. N?r man skal simulere gass partikler m? man kunne litt termodynamikk. Dersom du har litt statestikkfobi (slapp av, du er ikke alene) s? er det lov ? hoppe over dette avsnittet. F?rst og fremst s? holder det dessverre ikke ? simulere gassen p? liten skala, vi skal ogs? anta ideell gass og at temperaturen og trykket i den lille boksen er konstant. Det kan vi gj?re fordi selv om det bare er en tiln?rming til virkeligheten, s? er det en veldig god tiln?rming for de temperaturene vi jobber med. Ideell gass betyr enkelt sett to antakelser; at partiklene er mye mindre enn avstanden mellom dem slik at de ikke kr?sjer i hverandre, og at alle st?t er elastiske slik at energien er bevart. N?r vi da har gjort disse antakelsene blir problemet mye lettere ? jobbe med, men vi trenger fortsatt ? gi partiklene i simuleringen en posisjon og hastighet. Det har seg slik at hastigheten til partiklene ikke er jevnt fordelt. Farten i hver dimensjon er nemlig normalfordelt. Fordelingen av noe forteller oss hvor mange av enheten som har forskjellige verdier. For eksempel kan man ha en skjev fordeling som tendenserer mot positive verdier hvor man da finner mye flere enheter med positive verdier enn negative og motsatt. En normalfordeling ser ut som vist p? figur 2. Det en fordeling som dukker opp overraskende mange steder i naturen. Noen eksempler p? ting som f?lger denne normalfordelingen; h?yder p? folk, blodtrykk, IQ, avvik i m?linger og resultater p? pr?ver. Fordelingen har de fleste verdiene rundt gjennomsnittet og har den veldig spesielle egenskapen at omtrent 68% av enhetene er innenfor det gjennomsnittlige avviket fra gjennomsnittet, kjent som standardavvik.
.jpg)
Hvordan skal vi forbli der oppe?
N? har vi en m?te ? komme oss opp, men vi tenker det kan da ikke v?re fornuftig ? tro at vi vil alltid trenge ? bruke drivstoff for ? holde oss der oppe ogs?. Newtons formel for generell gravitasjon forteller oss at gravitasjonskraften vil eksponensielt senke seg n?r vi beveger oss lenger bort fra planeten. Men denne formelen gir oss bare kraften vi m? kjempe imot n?r vi skal oppover. Vi trenger noe annet her som kan faktisk hjelpe oss beregne hva vi trenger for ? forbli oppe. Vi tenker utf?re en del enkle simuleringer for ? sikre oss en god oppskytning og reise, dette vil inneb?re at vi skal ikke tenke s? mye p? mange andre eksterne, “kjedelige” krefter som luftmotstand. Uten luftmotstand og andre kjedelige nyanser s? kan vi bruke energibevaring til ? hjelpe oss! Husk: bevart energi medf?rer bevart glede!
Vi har to veldig viktige typer energi vi kan bruke til dette, den kinetiske energien og den potensielle energien. Energi er jo noe vi sier f?r noe til ? bevege seg, og den kinetiske energien m?ler vi som den energien vi har tilf?rt legemet slik at den beveger seg. Men av og til kan vi ogs? “fjerne” slik energi, hvor vi f?r legemet til ? g? imot noe som ?nsker ? holde energien “nullstilt”, da kan vi si at vi tilf?rer potensiell energi. Vi kaller det potensiell energi fordi dette er energi legemet kan i praksis ogs? bruke men bare ikke er brukt enda. N?r vi driver med planeter og gravitasjon s? kan vi kalle den potensielle energien som et resultat av gravitasjonen som vil trekke et objekt vi kaster opp i lufta tilbake mot bakken igjen. N?r vi kaster et eple opp s? gir vi eple en kinetisk energi som produkt av farten den har og eplet f?r ogs? en potensiell energi den kan bruke for ? motvirke den energien vi har p?f?rt i form av kinetisk energi. Men hvis vi vet at gravitasjonskraften senker seg jo h?yere opp vi kommer, s? m? vel ogs? den potensielle energien ?ke saktere og saktere jo h?yere opp den kommer. Hvis vi sier at vi kan kaste et eple s? sterkt oppover at den vil f? en kinetisk energi h?yere enn den potensielle s? vil eplet klare ? holde seg oppe og forh?pentligvis fortsette ? bevege seg videre uten at potensialet klarer ? bli st?rre en den kinetiske energien. Vi kan dermed finne ut hvor sterkt dette kastet m? v?re helt eksakt med litt matte.
Vi har denne formelen for potensiell energi vi kan finne ved ? derivere gravitasjonskraften:
\(U = -\frac{G m_1 m_2 }{r}\)
der \(G\) er gravitasjonskonstanten, \(m_1,m_2\) er massene til objektene gravitasjonskraften fungerer mellom, og \(r\) er avstanden mellom objektene. Vi har ogs? denne formelen her for kinetisk energi:
\(K = \frac{1}{2}m v^2\),
der \(m\) er massen til objektet og \(v\) er farten.Hvis vi setter disse formlene mot hverandre, og sier kinetisk skal v?re st?rre enn den potensielle, s? kan vi finne et uttrykk for hastigheten vi trenger.
\(K > U\)
\( \frac{1}{2}m_1 v^2 > -\frac{Gm_1 m_2}{r} \)
\( v^2 > 2 G m_2 \)
\( v > \sqrt{\frac{2Gm_2}{r}} \),
der \(m_2\) er massen p? objektet vi vil forlate(planeten), og \(v\) er farten til objektet som forlater. Da vet vi hva slags fart vi trenger for ? forlate, men vi ser ogs? at dette uttrykket avhenger av avstanden mellom legemet, s? vi m? huske ? rekalkulere hva denne farten er mens raketten v?r beveger seg oppover og vi f?r en stadig synkende gravitasjon ? kjempe imot.
Drivstoff??
Da er vi jo nesten snart i m?l! Vi vet hvordan vi skal dytte raketten oppover og vi vet hvor h?yt og hvor fort vi trenger ? g?. Men, dessverre, vi kan nok ikke bare slenge p? en rakettmotor p? st?rrelse med halve planeten, med tilsvarende drivstoff. Selv med v?r SNASA (secret NASA) steknologi (secret teknologi) s? vil en s? stor motor bety en altfor stor kraft og vil antageligvis ?delegge raketten med satellitten v?r.
Vi trenger derfor ? finne en rimelig st?rrelse motor, eller evt. rimelig antall, og pr?ve ? finne ut hvor mye drivstoff vi trenger for ? f? den hele veien opp til m?let. Det som er vanskelig med ? finne disse tallene er at de er to veldig viktige tall for resultatet v?rt og begge avhenger av hverandre (til en viss grad). Det gj?r at det er mulig det enkleste er ? ta et godt gjett p? det ene tallet ogs? derfra finne det andre tallet. Det andre tallet kan vi da finne gjennom flere simuleringer slik at vi ikke trenger ? faktisk skyte opp noe uten ? v?re helt sikker p? hvordan og hvor mye, vi har ikke akkurat det st?rste lageret av SNASA ressurser heller. S? det vi gj?r er at vi setter antall rakettmotorer til et tall vi har gjettet oss fram til, vi startet p? 3e6 (3 * 10^6) ogs? gir vi simulasjonen en urimelig h?y mengde drivstoff.
Vi lar raketten i simuleringen starte motoren sin men raketten vi ikke klare ? lette med en gang fordi vi har jo gitt den s? store mengder drivstoff at den veier for mye. Men ettersom motoren fortsetter ? brenne drivstoffet s? vil det m?tte komme til et punkt der vi har brent s? mye at raketten har blitt s? mye lettere at motoren n? klarer ? lette den fra bakken. Vi tar da m?linger av hvor mye drivstoff vi hadde igjen n?r vi n?dde dette punktet slik at vi vet n?yaktig hvor mye drivstoff vi trenger senere. Vi fortsetter simuleringen ogs? ser vi om vi faktisk har nok drivstoff og kraft til ? n? unnslipningshastigheten. Som sagt s? m? vi da sjekke dette hele tiden underveis i simuleringen fordi, som vi fant ut tidligere, s? vil unnslipningshastigheten avhenge av hvor langt unna vi har kommet fra planeten. Om vi ikke n?r det f?r vi er tomme for drivstoff s? m? vi bare pr?ve igjen med flere motorer og mere drivstoff.
Det er klart vi finner ut hvor mye vi trenger for ? komme s? langt at vi n?r unnslipningshastigheten men problemet er at hvis vi fortsetter ? gjette oss fram til antall motorer s? kan vi ende opp med ? f? en s? stor akselerasjon (spesielt n?r vi kommer s? langt vekk fra planeten der gravitasjonen blir s? lav) at satellitten og hele raketten i seg selv ikke vil t?le det. I simuleringen er jo dette rimelig enkelt ? gj?re noe med, vi kan f.eks. “senke kraften p? motoren” n?r vi kommer h?yere opp ved ? f.eks. senke mengde drivstoff vi slipper inn i trykkammeret, men vi vil ikke forutsette at vi klarer noe slikt i virkeligheten.
M?ten vi l?ste dette problemet p? var at vi brukte en halveringsmetode, en numerisk utregning for ? finne nullpunkt til en funksjon. M?ten denne metoden fungerer p? er at vi starter med et antall motorer som ikke gir oss unnslipningshastigheten, og et annet antall som heller gir oss unnslipningshastigheten, ogs? tar vi det gjennomsnittlige tallet mellom disse to og simulerer/sjekker om vi klarer ? n? unnslipningshastigheten med gjennomsnittet. Hvis vi n?r det med gjennomsnittet, s? har vi et nytt tall som kan klare ? n? hastigheten med f?rre motorer og gir oss en mindre kraft. Hvis vi ikke n?r hastigheten, s? kan vi kj?re testen igjen men da har vi et nytt og n?rmere tall for et antall motorer som gir oss for lite kraft. Dette testen kan vi kj?re om igjen og om igjen til vi har et s? lite antall motorer som kan gi oss unnslipningshastigheten men likevel ikke gi for stor akselerasjon.
Logg inn for ? kommentere