Generalisere oppskytingen
Vi har allerede simulert oppskytningen av raketten, men da gjorde vi noen antakelser som vi ikke kan gj?re n?r vi skal pr?ve ? treffe m?l-planeten. Den ene er at vi m? kunne skyte opp til hvilken tid vi vil. Tidligere fant vi bare posisjonen etter en oppskytning for $t=0$. I tillegg m? vi kunne skyte opp i hvor vi vil fra planeten. Det er veldig viktig for ? kunne bestemme retningen p? unnslipningshastigheten i stjernas referansesystem.
F?rst og fremst, ? simulere oppskytingen p? et gitt tidspunkt er ikke noe problem ettersom vi allerede har funnet et godt estimat av planetenes posisjon i henhold til tid. Da er det bare ? bruke banedata fra tidligere til ? hente ut planetenes posisjon og bruke det som utgangspunkt. Det blir litt verre n?r man skal finne den nye posisjonen ved en gitt vinkel fra planeten. F?rst s? tenker vi at det er praktisk ? bestemme oppskytnings vinkelen basert p? radiell retning. Dvs. at om vi velger $0^{\circ}$ s? skyter vi alltid opp vekk fra sola uansett n?r vi skyter opp, og om vi velger $90^{\circ}$ s? skyter vi alltid opp i (ca.) planetens fartsretning.
I tillegg m? vi som tidligere kompensere for jordas rotasjon og fart. Det gj?r vi fortsatt ved ? plusse p? jordas fart og farten til bakken fra planetens egen rotasjon, ganget med tiden til oppskytningen. Da f?r vi at posisjonen etter oppskytning kan skrives som:
$R + r \hat{r} + (V_p + V_r)t$
Hvor $R$ er planetens posisjon, $r$ er satellittens avstand fra bakken etter oppskytning $\hat{r}$ er enhetsvektoren i oppskytningsretning, $V_p$ er farten til planeten, $V_r$ er rotasjonshastigheten til planeten p? overflaten, og $t$ er tiden brukt p? oppskytingen.
Hvordan simulere satellittbaner
Vi kan dessverre ikke bare rette raketten mot planeten vi skal til og fyre l?s. Vi har nemlig en en hastighet vi starter med som vi m? klare ? kompensere for slik at vi ender opp der vi skal. Det blir nok en utfordring ? finne n?yaktig hvilken og hva slags ny hastighet vi trenger. Satellitten skal alts? starte motorene p? spesielle tidspunkter i spesielle retninger p? en slik m?te at vi n?r m?let v?rt. Vi tenker dermed ? teste en hel rekke med forskjellige oppskytninger i forskjellige tider og posisjoner fra planeten, og igjen teste flere avfyringer i rommet. Som vanlig gj?r vi dette ved simulasjon.
M?ten vi simulerer dette er ikke veldig ulikt da vi simulerte banene. Da simulerte vi at hver planet ble p?virket av stjernens gravitasjonskraft og s? hvordan de ble dratt rundt stjernen. N? skal vi se p? hvordan satellitten beveger seg, men siden den vil bevege seg s? mye i kryss og tvers av baner m? vi ta med gravitasjonskraften fra alle planetene med stjernen. Dette er egentlig enklere enn sagt, vi trenger bare ? ta summen av kreftene for hver iterasjon vi simulerer. Men siden det egentlig bare er akselerasjonen vi er ute etter s? trenger vi bare ? finne summen av alle akselerasjonene vi f?r fra kreftene (N2: $F = m \cdot a => a = F/m$).
$a = -G\frac{m_1 m_2}{r^2} \vec{r}$, der $a$ er akselerasjonen, $G$ er den gravitasjonelle konstanten, $m_1,m_2$ er massene til objektene, $\vec{r}$ er posisjonsvektoren fra objekt 2 til objekt 1 og $r=|\vec{r}|$ er avstanden mellom objektene.
Summen av akselerasjonene som vi f?r fra stjernen og alle planetene kan vi dermed skrive som:
\(\sum a = -G\frac{m_1 m_2}{r^2} \vec{r}\)
Hvor n?rme trenger vi ? v?re
Vi ?nsker ikke ? akuratt kr?sje inn i planeten i full fart. Vi tenker at vi vil komme s? n?rme planeten at gravitasjonskraften satellitten f?r fra planeten vil v?re et gitt antall ganger sterkere enn gravitasjonskraften fra stjernen. Alts?
$F_p = k F_*$,
der $F_*$ er gravitasjonskraften fra stjernen, $F_p$ er gravitasjonskraften fra planeten og $k$ er skaleringsfaktoren. Fra Newtons gravitasjonslov har vi $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$, der $G$ er gravitasjonskonstanten, $m_1,m_2$ er massene til legemene og $r$ er avstanden mellom legemene. Setter vi inn dette f?r vi:
$F_p = k F_*$
$G \frac{M_p m}{r_p^2} = k G \frac{M_* m}{r_*^2}$,
der $M_p$ er massen til planeten, $M_*$ er massen til stjernen, $m$ er massen til satellitten, $r_p$ er avstanden mellom satellitten og planeten og $r_*$ er avstanden mellom satellitten og stjernen.
Herfra er det bare ? l?se for $r_p$:
$$ G \frac{M_p m}{r_p^2} = k G \frac{M_* m}{r_*^2} $$
$$ \frac{M_p}{r_p^2} = k\frac{M_*}{r_*^2} $$
$$ \frac{r_p^2}{M_p} = \frac{r_*^2}{k M_* }$$
$$ r_p^2 = \frac{r_*^2 M_p}{k M_*} $$
$$ r_p = \sqrt{\frac{r_*^2 M_p}{k M_*} }$$
$$ r_p = r_* \sqrt{\frac{ M_p}{k M_*} }$$
Da vet vi alts? at vi trenger ? finne en bane/kurs som plasserer oss innenfor en avstand av $r_p$ fra planeten vi skal til. Men vi trenger jo den skaleringsfaktoren $k$ som vi har tatt med her. Vi velger bare ? gi den skaleringen en faktor p? 10, ogs? tenker vi at det burde holde.
Finne passende kurs
N?r vi skal komme oss til planeten er det mange parametere ? finne ut av; n?r skal vi skyte opp, i hvilken retning skal vi skyte opp, n?r skal vi “booste” for ? endre fart, i hvilken retning og hvor mye skal m? vi endre farten og trenger vi ? booste flere ganger? Dette problemet forenkles en hel del om vi slipper ? booste, ettersom vi da bare trenger ? tenke p? n?r vi skal skyte opp, og i hvilken retning vi skal skyte opp. S? vi begynte med ? teste.
Vi tenkte at om man skyter opp i radiell retning utover, s? m? jo det f?re til at man kommer lengst ut fra stjerna. S? vi testa med $\theta=0$, men fant fort ut at det ikke holdt for ? komme seg ut til planeten. Litt skuffet, fortsatte vi ? pr?ve oss frem for andre vinkler og til v?r overraskelse s? vi at jo n?rmere oppskytningen var retningen til planetfarten, jo lenger ut fra sola kom satellitten. Det ga ikke helt mening for oss. At n?r man skyter opp vekk fra sola, s? kommer man kortere bort fra sola, enn n?r man skyter opp tangensielt p? sola.
Bilder under her viser hvordan satellitten gikk n?r vi skj?t opp radielt fra planeten v?r. Denne simulerte oppskytningen er utf?rt n?r planetene var p? nesten andre siden av stjernen, og den gr?nne(som blir senere r?d) kurven viser hvordan satelitten gikk etter oppskytningen.
Her skyter vi opp tangensielt, derimot. Vi ser tydelig at vi f?r en bane som g?r mye mer ut fra v?r planetens bane.
Men hvorfor er det egentlig s?nn at n?r vi langs retningen vi beveger oss s? kommer vi h?yere opp fra planeten v?r enn n?r vi skyter rett opp? Dette har nok bl.a. med at n?r vi skyter langs hastighetsretningen s? f?r vi en st?rre absoluttfart enn n?r vi gir den en hastighet som ikke er i samme retning som den allerede er i. Vi kan ogs? se dette litt enkelt matematisk. Vi kan finne absolutthastigheten ved Pytagoras, alts? den greia her: $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$. Hvis vi tenker oss at vi allerede har en hastighet $v_0$ langs $x$-aksen, og vil legge til en ny hastighet som vi bare sier er den halve av den f?rste, s? kan vi regne ut absolutthastigheten for tilfeldene der hastigheten vi legger til er langs $x$-aksen og en som er langs $y$-aksen.
Boost langs hastighetsretningen:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(v_0 + \frac{1}{2}v_0)^2 + (0)^2} = \sqrt{(v_0 + \frac{1}{2}v_0)^2} = \frac{3}{2}v_0$
Boost radielt p? hastighetsretningen:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(v_0)^2 + (\frac{1}{2}v_0)^2} = \sqrt{(v_0 + \frac{1}{4}v_0)^2} = \frac{5}{4}v_0$
S? vi skj?nner at vi kan forvente en h?yere totalfart n?r vi skyter opp langs planetens hastighet.
Vi finner alts? ut at vi kan komme oss opp til m?lplanetens bane ved ? skyte opp langs v?r egen bane, s? da gjelder det egentlig bare ? finne en riktig tid hvor vi skyter opp slik at satelitten kommer n?re nok m?lplaneten. Ved en del pr?ving og feiling, kom vi fram til at hvis vi skyter opp n?r det har g?tt nesten et helt ?r fra start (mer n?yaktig er 93% av et helt ?r) s? n?r vi m?lplaneten med en akseptabel rekkevidde.
Logg inn for ? kommentere