\documentclass[12pt]{article}
%\pagestyle{headings}


\usepackage{amsmath,amsthm,amsfonts,latexsym}

\setlength{\textwidth}{15cm}
\setlength{\evensidemargin}{.3cm}
\setlength{\oddsidemargin}{.3cm}
\topmargin = -40pt
\textheight = 690pt

\begin{document}


\newcommand{\N}{{\mathbb{N}}}
\newcommand{\R}{{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{{\mathbb{C}}}
\newcommand{\T}{{\mathbb{T}}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\K}{{\mathbb{K}}}
\newcommand{\HH}{\mathfrak H}
\newcommand{\KK}{\mathfrak K}
\newcommand{\LL}{\mathfrak L}

\def\A{{\cal A}}
\def\B{{\cal B}}
\def\H{{\cal H}}
%\def\K{{\cal K}}
\def\L{{\cal L}}
%\def\N{{\cal N}}
\def\M{{\cal M}}
\def\O{{\cal O}}
\def\P{{\cal P}}
\def\S{{\cal S}}
\def\T{{\cal T}}
\def\U{{\cal U}}
\def\u{{\mathbf u}}


\begin{flushleft}

\Large \textbf{MAT3000/4000 - V\aa ren 2013} 

\medskip
\textbf{Obligatorisk oppgavesett nr. 2}

\bigskip 

\large \textbf{Innleveringsfrist: torsdag 18/04-2013, innen kl 14.30.} 

\bigskip
\normalsize
{\it  Besvarelsen leveres p{\aa  } Matematisk Institutt, 7. etasje i N.H.\ Abels hus.  
 Husk {\aa   } bruke forsiden som du finner via hjemmesiden. 
 

\medskip Dersom du p{\aa  } grunn av sykdom eller andre tungtveiende
 grunner har behov for {\aa  } utsette innleveringen, m{\aa  } du i god tid f\o r
 innleveringsfristen sende s\o knad til} : 
 
 \medskip \quad \, \,  studieinfo@math.uio.no 
 
 \medskip 
 
{\it Husk at sykdom m{\aa  }  dokumenteres ved legeattest. 
 
 

 
 
 \bigskip
 For \aa\ f\aa\ 
godkjent oppgavesettet m\aa\ det  komme klart frem av besvarelsen at man 
har gjort et reelt fors\o k p\aa\ \aa\ l\o  se alle oppgavene. 
Videre m\aa\ over halvparten av oppgavesettet v\ae re besvart p\aa\ en tilfredstillende m\aa te. Det er meningen at besvarelsene til MAT4000-studenter skal skrives ved hjelp av et presentasjonsverk\o y for matematikk (LaTeX). Studenter p{\aa   } LEP-programmet kan avtale dette n\ae rmere med foreleseren.


\smallskip
Det er lov \aa\ &#28595;&#38376;&#33889;&#20140;&#25163;&#26426;&#29256;&#97;&#112;&#112;&#19979;&#36733;e om oppgavene. Men alle m\aa\ levere sin egen personlig besvarelse 
 og kunne gj\o  re rede for den muntlig om n\o  dvendig. 

\smallskip
Det vises ellers til det generelle regelverket for obligatoriske oppgaver, som  man finner p\aa\ hjemmesiden til emnet.
}
\end{flushleft} 


\medskip 
\Large  \begin{flushleft}\textbf{Oppgave 1}
\normalsize


\medskip
{\it  I denne oppgaven kan du godt bruke kalkulator/datamaskin til hjelp ved utregningene}.

\medskip  Du er blitt medlem i en hemmelig klubb som bruker RSA-kryptografi (slik som
beskrevet i kryptografi-notatet) til intern kommunikasjon. 
Som din offentlig n\o kkel har du valgt $N=377$ og $a=269$, mens lederen av klubben har 
valgt $N=1829$ og $a=7.$ Alle 
de valgte offentlige 
n\o klene er tilgjengelige i en felleskatalog. For \aa\ kunne komme inn p\aa\ neste m\o tet i klubbens lokaler
trenger du et passord som du nettopp har mottatt fra lederen i kryptert form : \large
$$ \overline{141}, \, \overline{200}, \, \overline{96}, \,  \overline{20}.$$
\normalsize
%\smallskip
a) \,Finn ut hva passordet er.

\medskip
b) \,�Du \o nsker \aa\ svare med meldingen OK etterfulgt av initialene i ditt fornavn og etternavn (velg ett fornavn og 
ett etternavn dersom du har flere !). 
Hvilken kryptert sekvens sender du da til lederen?



\bigskip
\Large  \begin{flushleft}\textbf{Oppgave 2}
\normalsize


\bigskip 

La $\, A=\left[\begin{matrix}a&z\\ 1/z&b\end{matrix}\right]$ der $a,b\in\R$, $z\in\C$,
$z\not=0$.

\bigskip
a)\ 
Begrunn at $A$ alltid er diagonaliserbar.

\bigskip
b)\ 
Finn n\aa{}r $A$ er Hermitisk.
Angi en unit\ae r matrise som diagonaliserer $A$ n\aa{}r\\ \, \, \, \quad $a=2$, $b=0$ og $z=i$.

\bigskip 
c)\ 
Begrunn at $A$ er normal $\Leftrightarrow A$ er Hermitisk.



\end{flushleft} 


\bigskip

\Large  \begin{flushleft}\textbf{Oppgave 3}
\normalsize

\bigskip La $\K$ v\ae re $\R$ eller $\C$ og 
la $A \in M_{n \times n}(\K) $. 

\medskip Betrakt line\ae roperatoren $T_A$ p\aa{�} $M_{n \times n}(\K) $ gitt ved  
$$T_A(B) = A B\, , \quad\, \,  B \in M_{n \times n}(\K) \, .$$

\medskip 
a) Beskriv $R(T_A)$ ved hjelp av Col($A$) og $N(T_A)$ ved hjelp av Nul($A$). 

\bigskip 
b) Begrunn at  $\, \dim R(T_A)= n \cdot�$rang$(A)$ og $\, \dim N(T_A)= n \cdot \dim \,$Nul($A$).

\end{flushleft} 

\bigskip
\Large  \begin{flushleft}\textbf{Oppgave 4}
\normalsize

\bigskip
La $\K$ v\ae re $\R$ eller $\C$ og la $V$ v\ae{}re et vektorrom over $\K$. La $T:V \to V$ v\ae{}re en line\ae{}r operator. 

\bigskip a) Begrunn at $ N(T)$ og $R(T)$ er invariante under $T.$

 \bigskip Sett $T^0=I_V$ (identitetsavbildningen) og $T^n= T\circ T^{n-1}, \, n \in \N.$ 
 
 \medskip  La $\u \in V$, $\, \u \neq \mathbf{0}$ og sett $ U =$ Span$ \big\{�\, T^n (\u)\, \mid�\, n \in \Z^{+}\big\}�$ der $\, \Z^+ = \{ 0, 1,2,\ldots\}$.

\bigskip b) Begrunn at $U$ er invariant under $T.$

\bigskip c) Anta at  $U$ er  endeligdimensjonalt.

\medskip \quad Vis at det fins en $k\in \N$ slik at  $\big\{�\u\, , \,T(\u)\,, \ldots, \,T^{k-1}(\u) \big\}�$ er en basis for $U.$ 




\end{flushleft} 







\medskip 
\normalsize
 

\begin{flushright}SLUTT \end{flushright}


\end{flushleft} 

\end{document}




