\documentclass[12pt,fleqn]{article}
\textheight 23.5cm \topmargin 0cm \oddsidemargin 0.25cm \textwidth
15cm
\parindent 0em
\parskip 1ex

\renewcommand{\baselinestretch}{1.1}\pagestyle{empty}
\begin{document}
\noindent
\begin{center}
{\Large\bf\ F{\o}rste sett med obligatoriske oppgaver\\[0.4cm] i  STK1100
v{\aa}ren 2011}\\[0.8cm]
\end{center}

% NB!!! Husk ogsaa aa legge ut vedlegget 'dod.txt'

{\footnotesize Dette er det f{\o}rste settet med obligatoriske
oppgaver i
  STK1100 v{\aa}ren 2011.  Oppgavesettet best{\aa}r av to oppgaver.
  Den f\o rste oppgaven
  inneholder b{\aa}de
  teoretiske punkter, diskusjonspunkter og punkter der du {b\o r} bruke MATLAB.
  Den andre oppgaven er en ren teorioppgave.
  Det er valg\-fritt om du vil skrive besvarelsen
  for h{\aa}nd eller om du vil bruke et tekstbehandlingsprogram.
  Uansett skal resultater og figurer fra MATLAB-kj{\o}ringene  i oppgave~1 tas med
  i besvarelsen p{\aa} en hensiktsmessig m{\aa}te.  Hvis flere
  studenter   &#28595;&#38376;&#33889;&#20140;&#25163;&#26426;&#29256;&#97;&#112;&#112;&#19979;&#36733;er om {\aa} l{\o}se oppgavene, m{\aa} likevel hver student
  levere sin {\it selvstendige\/} besvarelse. Det m{\aa} g{\aa} fram av besvarelsen hvem du
  har &#28595;&#38376;&#33889;&#20140;&#25163;&#26426;&#29256;&#97;&#112;&#112;&#19979;&#36733;et med. Se ellers ``Regelverk for obligatoriske
  oppgaver" som er gitt p{\aa} kursets hjemmeside.

  Besvarelsen leveres ved ekspedisjonen til Matematisk institutt, 7.~etasje, Niels Henrik
  Abels hus. \\ {\it Frist for innlevering er torsdag 3. mars kl.
    14.30.}}\\

%

\subsection*{Oppgave 1}
Under ``Obligatoriske oppgaver'' p{\aa} hjemmesiden til STK1100 er
det gitt en tabell over ett{\aa}rige d{\o}dssannsynligheter for
norske kvinner og menn basert p{\aa} d{\o}delighets\-statistikk for
1993, se {\tt http://www.math.uio.no/avdc/kurs/STK1100/V10/dod.txt}

Du skal i denne oppgaven gj{\o}re en del beregninger med
utgangspunkt i
denne d{\o}delighetstabellen. \\[0.3cm]
%
{\footnotesize
Hvordan du f{\aa}r tallene i tabellen inn i MATLAB kan avhenge litt av operativsystem
og versjon av programmet. Her en variant som virket p{\aa} Linux:
%
\begin{itemize}
\item Klikk p{\aa} linken til tabellen for {\aa} f{\aa} fram tallene.
  Lagre filen med navnet \texttt{dod.txt} f.eks. p{\aa} dette omr{\aa}det
  \texttt{\textasciitilde/matlab} (som du kanskje m\aa\ lage f\o rst).
\item Siden det er noe tekst i filen f{\o}r selve dataene, kan du ikke bruke
  \texttt{load} for {\aa} lese inn dataene. Du m{\aa} i stedet
   bruke den mer generelle
  funksjonen \texttt{textread}.  G{\aa} inn i MATLAB og les inn dataene med
  kommandoen
  %%
\begin{verbatim}
  X = textread('matlab/dod.txt', '', 'headerlines', 7);
\end{verbatim}
  %%
  (Opsjonen \texttt{headerlines} angir st{\o}rrelsen p{\aa} filens
  ``header'', alts{\aa} hvor mange linjer som skal hoppes over f{\o}r
  dataene leses inn.)

\item Det er greit {\aa} ha hver kolonne i
tabellen i en egen variabel.  Det kan du gj{\o}re ved kom\-mandoene
  %%
\begin{verbatim}
  alder = X(:,1); menn = X(:,2); kvinner = X(:,3);
\end{verbatim}

\item Hvis du har problemer med {\aa} lese inn dataene, kan du sp{\o}rre en
medstudent, en av vaktene p{\aa} PC-stua eller en av l{\ae}rerne i
kurset.

\end{itemize}
%%
}


a) D{\o}delighetstabellen gir ett{\aa}rige d{\o}dssannsynlighetene
pr.\ 1000 individer.  Divider tallene i tabellen med 1000 slik at du
f{\aa}r sannsynligheter pr.\ individ.  Ta vare p{\aa} de
ett{\aa}rige d{\o}ds\-sann\-synlig\-hetene i variablene
\texttt{qmenn} og
\texttt{qkvinner}.\\[0.3cm]
%
b) Lag plott av de ett{\aa}rige d{\o}dssannsynlighetene som funksjon
av alder for b{\aa}de kvinner og menn.  Diskuter hvordan
d{\o}deligheten endrer seg med alder og hvordan den er forskjellig for
de to kj{\o}nn.\\[0.3cm]
%
{\footnotesize
Her er noen r{\aa}d som kan v{\ae}re til nytte n{\aa}r du plotter:
%%
\begin{itemize}

\item For at du lett skal kunne sammenligne d{\o}deligheten til kvinner og menn
  er det best {\aa} gi begge i samme plott.  Bruk kommandoen \texttt{hold~on}
  etter f{\o}rste plotting for at det neste plottet ikke skal erstatte
  eksisterende plott.  For at nye plott igjen skal erstatte eksisterende
  plott, bruk \texttt{hold~off}.

\item Da d{\o}deligheten stiger sterkt med alder, kan det v{\ae}re en
  fordel {\aa} plotte
  denne p{\aa} logaritmisk skala.  For {\aa} plotte med logaritmisk $y$-akse, bruk
  \texttt{semilogy}.  Funksjonen \texttt{semilogy} brukes akkurat som
  \texttt{plot}, men bruker en logaritmisk $y$-akse (skriv
  \texttt{help~semilogy} og \texttt{help~plot} for flere detaljer).

\item Pr{\o}v om du kan f{\aa} til andre ting som gj{\o}r plottene mer
  informative.  For eksempel kan du bruke ulike
  symboler for kvinner og menn (se hjelpeteksten for kommandoen
  \texttt{plot}) og gi informativ tekst langs aksene.

\end{itemize}
}


c) I punkt~a beregnet du ett{\aa}rige d{\o}dssannsynligheter for
kvinner og menn.  De ett{\aa}rige overlevelsessannsynlighetene er gitt
som \'en minus de ett{\aa}rige d{\o}ds\-sann\-synlig\-hetene.  Beregn de
ett{\aa}rige overlevelssannsynlighetene for kvinner og menn og ta vare
p{\aa} disse i variablene \texttt{pmenn} og \texttt{pkvinner}.\\[0.3cm]
%
d) Sannsynligheten for at en nyf{\o}dt skal bli minst $k$~{\aa}r
kalles overlevelses\-sann\-synlig\-heten til alder $k$~{\aa}r.  Denne er
gitt som produktet av de ett{\aa}rige overlevelses\-sann\-synlig\-hetene for
alle aldre fra 0~{\aa}r til og med $k-1$~{\aa}r.  Forklar hvorfor
dette er tilfellet.  Beregn overlevelsessannsynlighetene til alder
$k=1,2,\ldots,100$ for kvinner og menn og ta vare p{\aa} disse i
variablene \texttt{smenn} og \texttt{skvinner}.  Bruk funksjonen
\texttt{cumprod} til {\aa} gj{\o}re dette (\texttt{cumprod} st{\aa}r
for ``cumulative product'').\\[0.3cm]
%
e) Det er hensiktsmessig {\aa} ha overlevelsessannsynlighetene til
alder $k=0,1,2,\ldots,99$ i stedet for til de $k$-verdiene vi beregnet
i punkt~d.  Du oppn{\aa}r dette ved {\aa} lage en ny kolonnevektor
hvor det f{\o}rste elementet er 1 og de resterende elementene er de 99
f{\o}rste elementene fra vektorene beregnet i forrige punkt. For
eksempel \texttt{smenn=[1;smenn(1:99)]}.  (Merk at det med
dette blir overensstemmelse mellom kolonnen for alder og kolonnene med
overlevelsessannsynlighetene.)\\[0.3cm]
%
f) Lag plott av overlevelsessannsynlighetene fra punkt~e som funksjon
  av alder for b{\aa}de kvinner og menn.  Diskuter hvordan
  overlevelssannsynlighetene avhenger av alder og hvordan de er forskjellig
  for de to kj{\o}nn.  Bestem i denne forbindelse spesielt median levealder,
  dvs.\ den alderen det er 50\% sannsynlig {\aa} overleve til.\\[0.3cm]
%
 g) La den stokastiske variabelen $X$ betegne levealderen til en
  nyf{\o}dt jente/gutt.  Punkt\-sannsynlighetene $p(k)=\Pr\{X=k\}$ for
  $k=0,1,2,\ldots,99$ gir sann\-synlig\-hetene for de ulike verdiene $X$
  kan anta.  (Vi ser i dette punktet bort fra muligheten for {\aa} bli
  100~{\aa}r eller mer.)  Du f{\aa}r beregnet disse
  punktsannsynlighetene ved {\aa} multiplisere (elementvis)
  kolonnen med ett{\aa}rige d{\o}dssannsynligheter fra punkt~a og
  kolonnen med overlevelsessannsynligheter fra punkt~e.  Forklar
  hvorfor dette er tilfellet og foreta beregningene.  Ta vare p{\aa}
  punktsannsynlighetene for kvinner og menn i nye variable og lag
  plott av disse.  Kommenter plottene.\\[0.3cm]
%
h) Beregn forventet levealder for norske kvinner og menn.  Hvordan
  er disse sammenlignet med median levealder?  Kommenter.\\[0.3cm]
%
i) (punktet er frivillig)  D\o deligheten har endret seg siden 1993 og en tilsvarende fil 
for 2009 ligger p\aa\ {\tt http://www.math.uio.no/avdc/kurs/STK1100/V10/dod2009.txt}
der f鴕ste kolonne angir alder og 2. og 3. kolonne d\o dssansynligheter pr. 1000 for henholdsvis
menn og kvinner.
Gjennomf\o r beregninger av levetider for 2009 tilsvarende de du allerede har gjort for 1993 og
angi hovedtrekkene i forskjellene.   
\\[0.3cm]



\subsection*{Oppgave 2}

Heldigvis kan legene ofte teste om en person har en bestemt sykdom eller ikke. De fleste
slike tester har en viss usikkerhet knyttet til seg. Det vil si at testen kan gi positivt utslag
selv om personen er frisk, eller at testen gir negativt utslag selv om personen er syk.

Tuberkulose er en alvorlig infeksjonssykdom som ofte rammer lungene, og kan avsl\o res
ved hjelp av r\o ntgenbilder. I Norge er tuberkulose sjelden, men den har en \o kt hyppighet
i mange land. Vi skal se p\aa\ en unders\o kelse fra USA gjort p\aa\ 50 tallet (Brown
og Hollander, 1977).

R\o ntgenbilder gir ikke et 100 \% sikkert svar ang\aa ende tuberkulose, slik at noen ganger
kan man tro at en person har tuberkulose selv om personen ikke hadde det, eller at
personen ikke har tuberkulose selv om personen har det.

Unders\o kelsen viste at hvis en person led av tuberkulose ble dette oppdaget p\aa\ r\o ntgen
i 73.3 \% av tilfellene. Unders\o kelsen viste ogs\aa\ at selv om en person var frisk, viste
r\o ntgenunders\o kelsen tegn p\aa\ tuberkulose i 2.8 \% av tilfellene.

I studien fra USA ble andelen av befolkningen som har tuberkulose ansl\aa tt til \aa\ v\ae re
1.7 \%.

\begin{itemize}
\item[a)] Hva er sannsynligheten for at testen vil vise positiv?
\item[b)] Finn sannsynligheten for at en person er syk, gitt at testen viste positiv.
\item[c)] I dag er tuberkulose en sjeldnere sykdom enn det den var p\aa\ 50 tallet. La oss anta
at andelen av befolkningen som har tuberkulose n\aa\ er ansl\aa tt til v\ae re 1 per 1000. Hva
er n\aa\ sannsynligheten for at en person er syk, gitt at testen viste positiv?
Sammenlign med resultatet i b) og kommenter. Hvorfor tror du de aller fleste som
tester positiv i c) er friske?
\end{itemize}

\end{document}
