Eksamen MEK1100 2020?

L?sningsforslag?

Dette l?sningsforslaget bruker b?de programmering og direkte regning til ? l?se de fleste oppgavene. Det er strengt tatt ikke n?dvendig ? bruke programmering p? annet enn plotteoppgavene (2b, 2d, 3b) og beregning av buelengde (3d).

Oppgave 1 - Divergens og curl?

Finn divergensen og virvlingen til f?lgende vektorfelt

• i) $\vec{u} = x \,\mathbf{i} + y \,\mathbf{j} + z \,\mathbf{k}$
• ii) $\vec{u} = r \cos \theta \,\mathbf{i_{r}} + r \sin \theta \,\mathbf{i}_{\theta} + z \,\mathbf{k}$
• iii) $\vec{u} = \mathbf{i_r} + \mathbf{i}$

Her er $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ og $\mathbf{k}$ de Kartesiske enhetsvektorene i henholdsvis $x$, $y$ og $z$-retning, mens $\mathbf{i}_r, \mathbf{i}_{\theta}, \mathbf{k}$ er enhetsvektorene i sylindriske koordinater for $r, \theta$ og $z$-retning.

i)?

Divergens?

\begin{align*} \nabla \cdot \vec{u} &= \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \\ &= \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} \\ &= 3 \end{align*}

Implementering?

Virvling?

\begin{align*} \nabla \times \vec{u} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ x & y & z \end{vmatrix} \\ &= \mathbf{i}\left(\frac{\partial z}{\partial y} - \frac{\partial y} {\partial z} \right) + \mathbf{j}\left(\frac{\partial x}{\partial z} - \frac{\partial z} {\partial x} \right) + \mathbf{k}\left(\frac{\partial y}{\partial x} - \frac{\partial x} {\partial y} \right) \\ &= \vec{0} \end{align*}

Virvlingen er lik nullvektor.

Implementering?

ii)?

Har n? sylinderkoordinater og

$$ \vec{u} = r \cos \theta \,\mathbf{i_{r}} + r \sin \theta \,\mathbf{i}_{\theta} + z \,\mathbf{k}. $$

Divergens?

Finner divergensen

\begin{align*} \nabla \cdot \vec{u} &= \frac{1}{r}\left(\frac{\partial r u_r}{\partial r} + \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial r u_z}{\partial z} \right) \\ &= \frac{1}{r}\left(\frac{\partial r^2 \cos \theta}{\partial r} + \frac{\partial r \sin \theta}{\partial \theta} + \frac{\partial r z}{\partial z}\right) \\ &= \frac{1}{r}\left( 2r \cos \theta + r \cos \theta + r\right) \\ &= 3 \cos \theta + 1 \end{align*}

Implementering?

Virvling?

\begin{align*} \nabla \times \vec{u} &= \frac{1}{r} \begin{vmatrix} \mathbf{i}_r & r\mathbf{i}_{\theta} & \mathbf{i}_z \\ \frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ r \cos \theta & r^2 \sin \theta & z \end{vmatrix} \\ &= \frac{1}{r}\left( \mathbf{i}_r \left( \frac{\partial z}{\partial \theta} - \frac{\partial r^2 \sin \theta}{\partial z} \right) +r \mathbf{i}_{\theta} \left( \frac{\partial r \cos \theta}{\partial z} - \frac{\partial z}{\partial r}\right) +\mathbf{i}_z \left( \frac{\partial r^2 \sin \theta}{\partial r} - \frac{\partial r \cos \theta}{\partial \theta} \right) \right) \\ &= \frac{1}{r}\mathbf{i}_z\left(2 r \sin \theta + r \sin \theta \right) \\ &= 3 \sin \theta \, \mathbf{i}_z \end{align*}

Implementering?

iii)?

$$ \vec{u} = \mathbf{i_r} + \mathbf{i} $$

Det er flere m?ter ? l?se denne oppgaven p?. Man kan velge ? transformere vektoren til Kartesiske eller sylinder-koordinater, men det er ikke n?dvendig da b?de divergens og virvling er line?re operatorer.

Ved konvertering kan man bruke

$$ \mathbf{i}_r = \cos \theta \,\mathbf{i} + \sin \theta \,\mathbf{j}, $$

og

$$ r = \sqrt{x^2+y^2}, \quad x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta, $$

og skrive vektoren i Kartesiske koordinater som

$$ \vec{u} = \left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \right) \mathbf{i} + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \,\mathbf{j}. $$

Alternativt, bruk

$$ \mathbf{i} = \cos \theta \mathbf{i}_r - \sin \theta \mathbf{i}_{\theta}, $$

og skriv vektoren som

$$ \vec{u} = \left( 1 + \cos \theta \right) \mathbf{i}_r - \sin \theta \mathbf{i}_{\theta}. $$

Alle fremgangsm?ter skal gi samme svar.

Divergens?

Eventuelt

\begin{align*} \nabla \cdot (\mathbf{i}_r + \mathbf{i}) &= \nabla \cdot \mathbf{i}_r + \nabla \cdot \mathbf{i}\\ &= \nabla \cdot \mathbf{i}_r = \frac{1}{r} \frac{\partial r}{\partial r} = \frac{1}{r} \end{align*}

Eller (hopper over litt lang, men triviell utledning.)

\begin{align*} \nabla \cdot \vec{u} &= \frac{\partial }{\partial x}\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) \\ &= \ldots \\ &= \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ &= \frac{1}{r} \end{align*}

Til slutt ved rene sylinderkoordinater

\begin{align*} \nabla \cdot \vec{u} &= \frac{1}{r} \frac{\partial r(1+\cos \theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial \sin \theta}{\partial \theta} \\ &= \frac{1+\cos \theta}{r} - \frac{\cos \theta}{r} \\ &= \frac{1}{r} \end{align*}

Implementering?

Her er $x_N$ og $y_N$ coordinatene i coordinatsystem N, alts? $x$ og $y$. Kunne ogs? ha implementert i sylinder-koordinater.

Virvling?

Eventuelt

\begin{align*} \nabla \times (\mathbf{i}_r + \mathbf{i}) &= \nabla \times \mathbf{i}_r + \nabla \times \mathbf{i}\\ &= \nabla \times \mathbf{i}_r = \vec{0} \end{align*}

siden kun konstant koeffisient og $h_r=1$.

Eller

\begin{align*} \nabla \times \vec{u} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ 1+\frac{x}{r} & \frac{y}{r} & 0 \end{vmatrix} \\ &= \mathbf{i}\left(\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{\partial y/r} {\partial z} \right) + \mathbf{j}\left(\frac{\partial 1+x/r}{\partial z} - \frac{\partial 0} {\partial x} \right) + \mathbf{k}\left(\frac{\partial y/r}{\partial x} - \frac{\partial 1+x/r} {\partial y} \right) \\ &= \mathbf{k} \left( -\frac{xy}{r^3} + \frac{xy}{r^3} \right) \\ &= \vec{0} \end{align*}

Eller

\begin{align*} \nabla \times \vec{u} &= \frac{1}{r}\begin{vmatrix} \mathbf{i}_r & r\mathbf{i}_{\theta} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ 1+\cos \theta & \sin \theta & 0 \end{vmatrix} \\ &= \frac{1}{r} \mathbf{i}_z \left(-\sin \theta - (-\sin \theta) \right)\\ &= \vec{0} \end{align*}

Implementering?

Oppgave 2 - Elliptiske koordinater?

Elliptiske koordinater $(u, v)$ er gitt ved posisjonsvektor

$$ \vec{r} = a \cosh u \cos v \mathbf{i} + a \sinh u \sin v \mathbf{j}. $$

2a) Finn enhetsvektorer og skaleringsfaktorer.?

• Finn enhetsvektorene $\mathbf{e}_{u}$, $\mathbf{e}_{v}$ og skaleringsfaktorene til de elliptiske koordinatene. Er enhetsvektorene ortogonale?

Skaleringsfaktorene er gitt ved

$$ h_u = \left|\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\right|, \quad h_v = \left|\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}\right|. $$

Enhetsvektorene er gitt ved

$$ \mathbf{e}_u = \frac{1}{h_u}\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}, \quad \mathbf{e}_v = \frac{1}{h_v}\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}.$$

Finner

\begin{align*} \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} &= \frac{\partial \cosh u \cos v}{\partial u} \mathbf{i} + \frac{\partial \sinh u \sin v}{\partial u} \mathbf{j} \\ &= \sinh u \cos v \mathbf{i} + \cosh u \sin v \mathbf{j} \end{align*}

og

\begin{align*} \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} &= \frac{\partial \cosh u \cos v}{\partial v} \mathbf{i} + \frac{\partial \sinh u \sin v}{\partial v} \mathbf{j} \\ &= -\cosh u \sin v \mathbf{i} + \sinh u \cos v \mathbf{j} \end{align*}

hvilket gir, hvis vi bruker $\cosh^2 u = 1 + \sinh^2 u$,

\begin{align*} h_u^2 &= (\sinh u \cos v \mathbf{i} + \cosh u \sin v \mathbf{j}) \cdot (\sinh u \cos v \mathbf{i} + \cosh u \sin v \mathbf{j}) \\ &= \sinh^2 u \cos^2 v + \cosh^2 u \sin^2 v \\ &= \sinh^2 u \cos^2 v + (1+\sinh^2 u) \sin^2 v \\ &= \sinh^2 u (\cos^2 v + \sin^2 v) + \sin^2 v \\ &= \sinh^2 u + \sin^2 v \end{align*}

Eventuelt kan vi bruke $\sinh^2 u = \cosh^2 u - 1$ og $\sin^2 v + \cos^2 v = 1$ og f?

\begin{align*} h_u^2 &= \sinh^2 u + \sin^2 v\\ &= \cosh^2 u - 1 + 1 - \cos^2 v \\ &= \cosh^2 u - \cos^2 v \end{align*}

Samme svar f?r vi for $h_v$

\begin{align*} h_v^2 &= (-\cosh u \sin v \mathbf{i} + \sinh u \cos v \mathbf{j}) \cdot (-\cosh u \sin v \mathbf{i} + \sinh u \cos v \mathbf{j}) \\ &= \cosh^2 u \sin^2 v + \sinh^2 u \cos^2 v \\ &= \sinh^2 u + \sin^2 v \\ &= \cosh^2 u - \cos^2 v \end{align*}

Man kan ogs? bruke andre forenklinger. For eksempel

\begin{equation*} \sinh^{2}u = \frac{1}{2}\left(\cosh 2u - 1 \right), \end{equation*}

og da f?r man

\begin{equation*} h_u = h_v = \sqrt{2 \cosh 2u - 2 \cos 2v}. \end{equation*}

S? skaleringsfaktorene er

\begin{equation*} h = h_u = h_v = \sqrt{\sinh^2 u \cos^2 v + \cosh^2 u \sin^2 v}. \end{equation*}

Med forenkling:

\begin{equation*} h = h_u = h_v = \sqrt{\sinh^2 u + \sin^2 v} = \sqrt{\cosh^2 u - \cos^2 v} = \sqrt{2 \cosh 2u - 2 \cos 2v}. \end{equation*}

Alle disse svarene er like gyldige.

Enhetsvektorene er dermed

\begin{align*} \mathbf{e}_u &= \frac{1}{h}\left(\sinh u \cos v \,\mathbf{i} + \cosh u \sin v \,\mathbf{j}\right), \\ \mathbf{e}_v &= \frac{1}{h}\left(-\cosh u \sin v \,\mathbf{i} + \sinh u \cos v \,\mathbf{j}\right). \end{align*}

Implementering?

Starter med ? importere funksjonalitet fra sympy, og lager to tupler (Python immutable list) for psi=(u, v) og rv=(sinh(u)*cos(v), sinh(u)*sin(v))

Bruker noen mer eller mindre generelle funksjoner for a finne basisvektorer, skaleringsfaktorer og enhetsvektorer. Disse er mer eller mindre eksakt som allerede g?tt igjennom p? forelesning for parabolske koordinater:

Merk at vi velger l?sningen med $h = \sqrt{\sinh^2 u + \sin^2 v}$.

Skriver ut enhetsvektorene etter f?rst ? forenkle noe s? det ikke blir s? rotete:

Printer ut sammen med de Kartesiske enhetsvektorene

Ortogonalitet?

Enhetsvektorene er ortogonale siden

\begin{equation*} \mathbf{e}_u \cdot \mathbf{e}_v = 0, \end{equation*}

og

\begin{equation*} \mathbf{e}_u \cdot \mathbf{e}_u = \mathbf{e}_v \cdot \mathbf{e}_v = 1. \end{equation*}

Har i koden at $e[0]=\mathbf{e}_u$ og $e[1]=\mathbf{e}_v$. Bruker dette:

Her ser vi at sympy trenger litt hjelp til ? forenkle

Den er med andre ord ortogonal. Samme med $\mathbf{e}_v$:

2b) Operatorer?

• Gitt et skalarfelt $f$ og en vektor $\vec{w} = w_u \mathbf{e}_{u} + w_v \mathbf{e}_v$. Gi $\nabla f$, $\nabla \cdot \vec{w}$ og Laplace operatoren $\nabla^2$ i elliptiske koordinater.

Under bruker vi $h = \sqrt{\sinh^2 u + \sin^2 v } = \sqrt{\cosh^2 u - \cos^2 v} = \sqrt{2 \cosh 2u - 2 \cos 2v}$ i formler fra Vector Calculus. Merk at man m? forenkle for $h_u=h_v$ for ? f? full pott.

$$ \nabla f = \frac{\mathbf{e}_u}{h}\frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\mathbf{e}_v}{h}\frac{\partial f}{\partial v}, $$$$ \nabla \cdot \vec{w} = \frac{1}{h^2}\left(\frac{\partial w_u h}{\partial u} + \frac{\partial w_v h}{\partial v} \right), $$$$ \nabla^2 = \frac{1}{h^2}\left( \frac{\partial^2}{\partial u^2} + \frac{\partial^2}{\partial v^2}\right). $$

For divergensen kan man ekspandere de deriverte, men uttrykket blir ikke enklere.

2c) Skisser koordinatkurvene?

• Presenter en skisse av koordinatkurvene i et Kartesisk koordinatsystem. Det vil si, skisser kurver med konstante verdier for b?de $u$ eller $v$, jamf?r Fig. 6.3 i Vector Calculus.

2d) Kontur- og pilplott?

• Lag konturplott av skalarfeltet $$ f(u, v) = (1-u^2)\cos(2v), $$ i b?de elliptiske og Kartesiske koordinater.

  Finn $\nabla f$ (i elliptiske eller Kartesiske koordinater) og lag et pilplott av denne i samme figur som det Kartesiske konturplottet. Kommenter retningen p? pilene.

Lager skalarfelt $f(u, v) = (1-u^2) \cos(2v)$

Merk at vi bruker $x=2uv$ og $y=u^2-v^2$ evaluert p? et strukturert grid. sp.lambdify er en effektiv (vektorisert) metode ? evaluere en sympy funksjon p?. S? under tilsvarer f(u, v) = sp.lambdify((u, v), f)(ui, vi).

Hvis vi n? velger ? plotte $f(u, v)$ i det nye koordinatsystemet f?r vi.

Men det er kanskje mer interessant ? se resultatet i fysiske (Kartesiske) koordinater. Vi trenger derfor ? finne kartesiske x, y fra de gitte u, v. Gj?r dette som f?lger

? plotte gradienten i Kartesiske koordinater er mer involvert siden vi har beregnet gradienten i de nye koordinatene og derfor trenger ? projisere ved ? ta prikk-produktet av gradientvektoren

\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x} &= \nabla f \cdot \mathbf{i},\\ \frac{\partial f}{\partial y} &= \nabla f \cdot \mathbf{j}. \end{align*}

For ? finne gradientvektoren deriverer vi f?rst for ? finne komponentene til $\nabla f$ i nye koordinater

Merk at df n? ikke inneholder enhetsvektorer. S? f?r vi prikker med $\mathbf{i}$ og $\mathbf{j}$ m? vi gange med enhetsvektorene $\mathbf{e_u}$ og $\mathbf{e_v}$ for ? f? $\nabla f$

$$ \nabla f = \frac{\mathbf{e}_u}{h}\frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\mathbf{e}_v}{h}\frac{\partial f}{\partial v}, $$

Det kan v?re morsomt ? se p? denne ogs? i Kartesiske koordinater selv om vi bare sp?r etter $\nabla f$ i elliptiske eller Kartesiske koordinater. Da m? vi multiplisere med enhetsvektorene

Merk at vi med denne summen n? har f?tt satt inn for $\mathbf{e_u}$ og $\mathbf{e_v}$, s? vektoren gradf over er gitt ved Kartesiske enhetsvektorer.

Ved prikking av denne vektoren mot $\mathbf{i}$ er resultatet gradf[0], mens prikking mot $\mathbf{j}$ gir gradf[1]. Derfor hopper vi over direkte regning av prikkproduktet og henter ganske enkelt de Kartesiske vektorkomponentene vi beh?ver til plottet

Merk at gradienten peker i retning av ?kende $f$.

Oppgave 3?

En Taylor-Green virvel er en to-dimensjonell analytisk modell for periodiske str?mningsvirvler som avtar i styrke over tid. Virvlene er gitt ved

$$ \vec{u}(x,y,t) = \left(\cos x \sin y \,\mathbf{i} - \sin x \cos y \,\mathbf{j} \right) \exp^{-2\nu t}, $$

for tiden $t>=0$ i et domene $\Omega = [-\pi, \pi] \times [-\pi, \pi]$. Parameteren $\nu$ er ? regne som en konstant.

3a) Str?mfunksjon og skalarpotensial?

• Vis at str?mfunksjonen er

  $$ \psi(x, y, t) = \cos x \cos y \exp^{-2 \nu t}. $$

  Hvordan kunne vi vite p? forh?nd at dette feltet har en str?mfunksjon?

Vi sjekker at divergensen til $\vec{u}$ er lik 0.

\begin{align*} \nabla \cdot \vec{u} &= \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} \\ &= \left(-\sin x \sin y - \sin x (-\sin y) \right) \exp^{-2\nu t} \\ &= 0 \end{align*}

Vi finner $\psi$ enkelt ved ? l?se disse

\begin{align*} -\frac{\partial \psi}{\partial y} &= \cos x \sin y \exp^{-2\nu t} \\ \frac{\partial \psi}{\partial x} &= -\sin x \cos y \exp^{-2\nu t} \end{align*}

Integrerer f?rste og andre likning mhp $y$ og $x$ og f?r

\begin{align*} \psi &= \cos x \cos y \exp^{-2\nu t} + f_1(x) \\ \psi &= \cos x \cos y \exp^{-2\nu t} + f_2(y) \\ \end{align*}

Ser at $f_1(x) = f_2(y) = $ konstant. Vi kan velge konstanten fritt for en str?mfunksjon og velger 0. Da har vi vist at str?mfunksjonen er som gitt i starten av oppgaven.

Implementering?

• Har dette vektorfeltet et skalarpotensial? Hvis ja, finn skalarpotensialet.

Vi sjekker om vektorfeltet er virvelfritt. Vi har et 2D vektorfelt, s? virvlingen kan kun ha ¨¦n komponent, i $z$-retning

\begin{align*} \nabla \times \vec{v} &= \mathbf{k} \left(\frac{\partial u_y}{\partial x} - \frac{\partial u_x}{\partial y} \right)\\ &= \mathbf{k} \left( -\cos x \cos y - \cos x \cos y \right) \exp^{-2 \nu t} \\ &= -2 \mathbf{k} \cos x \cos y \exp^{-2 \nu t} \end{align*}

Implementering?

Siden feltet ikke er virvelfritt har det ikke et skalarpotensial.

3b) Pilplott med str?mlinjer?

• Lag et pilplott av vektorfeltet $\vec{u}(x, y, 0)$. Plott i samme figur str?mlinjene til $\vec{u}$.

3c) Fluks og sirkulasjon?

• Hva blir fluksen

  $$ \oint_{C} \vec{u} \cdot \vec{n} ds, $$

  av vektorfeltet $\vec{u}$ ut av et rektangul?rt omr?de $\Omega = [0, \pi/2] \times [0, \pi/2]$ som omsluttes av kurven $C$? Her er $\vec{n}$ normalvektoren som peker ut fra omr?det og $ds$ er et linjeelement langs kurven $C$. Forklar hvorfor man kan bruke Gauss divergensteorem her selv om det bare er et to-dimensjonalt integral.

Merk at Gauss divergensteorem normalt gjelder en sammenheng mellom et flateintegral og et volumintegral.

Man kan vise at Gauss teorem gjelder i 2D ved ? vise til at det er en generalisering av Greens teorem, som forklart i kap 6.14.3 i Linstr?m og Hveberg "Flervariabel analyse med line?r algebra".

Man kan ogs? forestille seg at 2D kvadratet utvides til en kube ved ? ekstrahere i $z$-retningen en lengde $L$ (lengden er ikke viktig, bare at domenet n? blir 3D). Fluksintegralet over denne kuben er

$$ \oint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \,d\sigma, $$

der $d\sigma$ er et flateelement og $A$ er den omsluttende flaten til kuben. Vi vet at siden $\vec{u}$ ikke er en funksjon av $z$ s? vil, for dette fluks-integralet, de to flateintegralene i $xy$-planet kansellere (flatene ved $z=0$ og $z=L$). S? vi st?r igjen med et flateintegral rundt kurven $C$, ekstrahert en dybde L.

$$ \oint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} d\sigma = L \oint_{C} \vec{u} \cdot \vec{n} \,ds. $$

Venstresiden kan vi bruke vanlig Gauss teorem p?, s?

$$ \int_V \nabla \cdot \vec{u} \, dV = L \oint_{C} \vec{u} \cdot \vec{n} \,ds. $$

Dermed er det klart at vi kan bruke vanlig Gauss teorem til ? finne integralet p? h?yresiden. Vi kan eventuelt forenkle videre med ? bruke $dV = dx dx dz$

\begin{align*} \int_{0}^L \int_{0}^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} \nabla \cdot \vec{u} \, dxdydz &= \int_{0}^{L} dz \int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} \nabla \cdot \vec{u} \, dxdy, \\ &= L \int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} \nabla \cdot \vec{u} \, dxdy, \end{align*}

s? vi blir kvitt $L$'en. Men dette er ikke n?dvendig. Vi vet allerede at $\nabla \cdot \vec{u}=0$, s? vi ender opp med at

$$ \oint_{C} \vec{u} \cdot \vec{n} ds = 0. $$

• Hva blir sirkulasjonen

  $$ \oint_{C} \vec{u} \cdot d\vec{r}, $$ n?r vi beveger oss mot klokka (alts? fra $(0, 0)$ til $(\pi/2, 0)$ osv.)? Finn resultatet b?de ved direkte regning av kurveintegralet, og ved ? benytte et passende integralteorem.

Ved direkte regning deler vi opp linjeintegralet over de fire siden av kvadratet:

\begin{align*} \oint_{C} \vec{u} \cdot d\vec{r} &= \int_{x=0}^{\pi/2} \vec{u}(x, 0) \cdot \mathbf{i} \,dx \\ &+ \int_{y=0}^{\pi/2} \vec{u}(\pi /2, y) \cdot \mathbf{j} \,dy \\ &+ \int_{x=\pi/2}^{0} \vec{u}(x, \pi/2) \cdot \mathbf{i} \,dx\\ &+ \int_{y=\pi/2}^{0} \vec{u}(0, y) \cdot \mathbf{j} \,dy. \end{align*}

Merk at vi integrerer motsatt vei enten ved ? prikke mot negativ enhetsvektor, eller ved ? snu integrasjonsgrensene, men ikke begge to. Da kanselleres effekten. Integralet er rett frem og vi kan bruke sympy:

Ved ? benytte Stokes' teorem kan vi gjenbruke curlen:

$$ \oint_{C} \vec{u} \cdot d\vec{r} = \int_A (\nabla \times \vec{u}) \cdot \mathbf{k} \, d\sigma. $$

Siden dette vektorfeltet er i 2D, s? kan man ogs? velge ? bruke Green's teorem, siden Stokes er en generalisering av Green's teorem til 3 dimensjoner.

3d) Ekviskalarflate og buelengde?

• La $\psi(x, y, t=0)=z$ representere h?yde og $\beta(x, y, z) = z - \cos x \cos y = 0$ en ekviskalarflate. Finn flatenormalen.

\begin{align*} \nabla \beta &= \frac{\partial \beta}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial \beta}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial \beta}{\partial z} \mathbf{k},\\ &= \sin x \cos y \mathbf{i} + \cos x \sin y \mathbf{j} + \mathbf{k}. \end{align*}

Normaliserer (see s 28-29 i Gjevik) slik at flatenormalen $\vec{n}$ er gitt ved

$$ \vec{n} = \frac{\nabla \beta}{|\nabla \beta|}, $$$$ \vec{n} = \frac{\sin x \cos y \mathbf{i} + \cos x \sin y \mathbf{j} + \mathbf{k}}{\sqrt{\sin^2 x \cos^2 y + \cos^2 x \sin^2 y + 1}}. $$

Her kan nevner forenkles videre med ? bruke $\cos^2 x = 1-\sin^2 x$, men det er ikke n?dvendig. Sympy gj?r denne 'forenklingen':

• Hvis man holder seg p? ekviskalarflaten $\beta$ og g?r en full sirkel med radius 1 ($x^2+y^2=1$) rundt origo, hvor lang er da denne buelengden?

Denne oppgaven er veldig utmattende ? l?se med penn og papir, men kan l?ses enkelt i Geogebra ved ? bruke samme fremgangsm?te som i denne appleten, som ble g?tt igjennom i forelesning. L?ses kanskje enda enklere i sympy. Har parametrisering

$$ \vec{r} = \cos(\theta)\mathbf{i} + \sin(\theta) \mathbf{j} + \cos(\cos(\theta)) \cos(\sin(\theta)) \mathbf{k}, $$

og buelengden er

$$ \int_0^{2\pi} \left|\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta}\right| d\theta. $$

I sympy:

Vi beregnet buelengde i Python og Sympy i dette scriptet som ble g?tt igjennom i forelesning.

3e) Finn trykket?

• Newton's andre lov for inkompressibel str?mning (inkludert friksjon) gir oss momentumlikningen

  $$ \frac{D \vec{u}}{D t} = -\nabla p + \nu \nabla^2 \vec{u}. \label{eq:NS} $$

  Vis at den partikkelderiverte av feltet $\vec{u}$ er gitt ved

\begin{align*} \frac{D \vec{u}}{ Dt } &= \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \left(\vec{u} \cdot \nabla \right) \vec{u}, \\ &= -2 \nu \vec{u} - \frac{1}{2}\left( \sin 2 x \mathbf{i} + \sin 2 y \mathbf{j} \right) \exp^{-4 \nu t}. \end{align*}

Ser at dudt $=-2\nu \vec{u}$ og conv $=- 1/2 \left( \sin 2 x \mathbf{i} + \sin 2 y \mathbf{j} \right) \exp^{-4 \nu t}$.

Bruk dette og videre innsetting i momentumlikningen til ? finne trykket $p$.

Finner f?rst Laplace uttrykket:

Ser at Laplace og tidsderivert kansellerer eksakt:

St?r igjen med

$$ (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} = -\nabla p. $$

Har da

\begin{align*} \frac{\partial p}{\partial x} &= -(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} \cdot \mathbf{i}, \\ \frac{\partial p}{\partial y} &= -(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} \cdot \mathbf{j}. \end{align*}

Eller

\begin{align*} \frac{\partial p}{\partial x} &= -\frac{1}{2}\sin 2x \exp^{-4 \nu t}, \\ \frac{\partial p}{\partial y} &= -\frac{1}{2}\sin 2y \exp^{-4 \nu t}. \end{align*}

Som kan l?ses til

$$ p(x, y, t) = -\frac{1}{4}(\cos 2x + \cos 2y) \exp^{-4 \nu t} + p_0, $$

der $p_0$ er en vilk?rlig konstant.